Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Векторы

 

1. Определение и основные свойства

 

Векторы являются тензорами 1-го ранга, и их можно было бы определять в рамках тензорной алгебры, как частный случай. В то же время они являются одними из объектов, характеризуемых линейно упорядоченными наборами чисел, о которых упоминалось в арифметике чисел. И можно было бы попросту считать их такими абстрактными объектами, определяя лишь операции, которые можно совершать с их участием. Однако мы примем во внимание то, что векторы используются не только в науке, но и во многих других сферах человеческой деятельности. Т.е. сталкиваться с этим понятием приходилось не только ученым, но и многим другим людям. И то, что это понятие воспринималось без особых усилий, было обязано возможности наглядной геометрической интерпретации векторов. Мы этой интерпретацией и воспользуемся. Но сделаем это максимально строго, чтобы все обстоятельства, в том числе и очевиднейшие, были четко формализованы (что-то есть неопределяемая данность, остальное или определяется, или выводится из определенного).

Будем считать исходными (неопределяемыми) понятия точек и расстояния между двумя точками в 3-мерном пространстве. С помощью этих понятий можно определить понятие прямой, как множество точек, расстояние между которыми связаны обычными правилами сложения (для любых трех точек прямой большее из расстояний равно сумме меньших). Полагая, что пространство евклидово, считаем, что через две точки проходит одна и только одна прямая (подробнее см. в разделе "Основы евклидовой геометрии").

Пусть даны две точки и . Отрезок прямой между этими двумя точками определяет вектор, если мы укажем направление отрезка (из какой точки он исходит). Назовем вектором отрезок прямой между двумя точками и , направленный от точки к точке . Длиной (модулем, абсолютным значением) вектора называется расстояние от точки до точки (обозначение ).

Таким образом, вектор однозначно определяет положение точки , если задана точка (или наоборот , если задана ). Вектор отличается от только направлением, что записывается в виде:

Из (1) приходим к понятию нуль-вектора:

Рассмотрим теперь три точки , и . Вектор определяет положение точки относительно , а вектор - положение относительно . Отсюда следует, что вектора и однозначно определяют положение точки относительно точки . Мы это оформим как определение операции сложения:

Отметим, что сложение (3) определено для любых трех точек. В частности, если две точки из трех совпадают, то с учетом (2) приходим к (1).

Обобщением (3) для точек будет равенство

Далее определим операцию умножения вектора на действительное число. Пусть точка лежит на прямой, проходящей через точки и . Рассмотрим три расстояния , и . Если максимальным из них является ( лежит между и ), то

Если максимальным является ), то

В обоих случаях направление от к совпадает с направлением от к , поэтому с учетом (3) можем записать

Если максимальным является , то

а направление от к противоположно направлению от к , поэтому

Таким образом, произведение определяет точку на прямой, проходящей через точки и . Эта точка удалена от на расстояние, равное , и в зависимости от знака находится или в той же стороне, что и (), или в обратной стороне (). Точка , которая делит отрезок прямой между и на равные части, задается вектором

Далее определим сложение векторов связанных с разными парами точек. Векторы, исходящие из одной точки, будем называть векторами в данной точке. Такие векторы мы умеем вычитать, например, . Чтобы сложить эти векторы, достаточно найти точку такую, что . Тогда . А как быть с векторами, у которых нет общих концевых точек? То, что мы имеем на данный момент, не дает ответа на этот вопрос. Необходимо задать некое правило переноса векторов из одной точки в другую так, чтобы в нем был заложен однозначный критерий равенства любых двух векторов.

Пусть заданы четыре точки, и мы хотим сравнить два вектора и . Построим два вектора и и найдем точки и , лежащие посередине этих векторов так, что

Теперь можно сформулировать следующий критерий равенства:

векторы и равны тогда и только тогда, когда точки и совпадают.

В геометрической интерпретации этот критерий означает, что , если точки и являются вершинами параллелограмма, пронумерованными по порядку смежности. При этом есть вектор , параллельно перенесенный в точку (или есть результат такого переноса в точку ).

Таким образом, любой вектор определен с точностью до параллельного переноса, что и определяет процедуру сложения произвольных векторов. Чтобы сложить векторы и , переносим вектор в точку , т.е. находим точку такую, что . Тогда

Итак, сложение векторов определено (причем множество векторов есть группа по сложению, в которой "единицей" является нуль-вектор). Однако операции с векторами не ограничиваются сложением. Два неравных друг другу вектора, приведенных в одну точку, характеризуются углом между ними, а учитывая 3-мерность пространства - вектором, ортогональным к ним обоим. Соответствующие характеристики определяет введение операций скалярного или векторного произведения. Можно было бы определять эти операции, пользуясь исключительно понятиями расстояний между точками и прямых, проходящих через две точки. Например, скалярное произведение векторов и определяется выражением

Для определения векторного произведения достаточно было бы определить понятие перпендикулярности двух прямых, что также можно было бы сделать на основе изложенного. Однако на таком пути при дальнейшем анализе получаются слишком громоздкие процедуры и результаты. Поэтому мы далее введем понятие системы координат, которая заметно упрощает анализ. При этом отметим, что система координат сама по себе полностью определяется через понятия "расстояние" и "прямая".

 

2. Координатное представление.

 

В трехмерном пространстве любая точка может быть идентифицирована тремя действительными числами (координатами). Причем это соответствие является взаимно однозначным. Будем обозначать заданную точку тремя числами, заключенными в фигурные скобки.

Все сказанное выше о векторах обеспечивается, если мы определим вектор тремя числами, являющимися разностями координат крайних точек. Обозначать вектор будем, заключая эти три числа в круглые скобки. Таким образом, вектор, связывающий точки , , записывается в виде

При этом, например, средняя точка на отрезке прямой, проходящей через точки и , определяется в виде:

Координаты любой точки на прямой, проходящей через и , могут быть выражены следующим образом:

где - некоторое число.

Таким образом, координаты всех точек данной прямой идентифицируются одним числом.

Чтобы идти дальше, необходимо определить понятие перпендикулярности и выразить модуль вектора через его координаты.

Пусть есть средняя точка на прямой между точками и , лежащими на этой прямой, а - некоторая точка, не лежащая на данной прямой. Тогда можно сформулировать следующее определение.

Вектор перпендикулярен (ортогонален) вектору тогда и только тогда, когда .

Ортогональность векторов и будем обозначать в виде Прямые, задаваемые такими векторами, называются перпендикулярными. Вектор будем называть единичным, если его модуль равен в данной системе мер для расстояний.

Система координат определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости, а конкретнее точкой начала отсчета и тремя (обычно взаимно ортогональными) единичными векторами. Приведем процедуру определения прямоугольной (ортогональной) системы координат.

Выберем некоторую точку в качестве начала отсчета координат так, что . Найдем какую-нибудь точку такую, что , и обозначим . На таком же единичном расстоянии от выберем точку такую, что вектор будет ортогональным вектору . Далее ищем точку такую, что вектор единичен и ортогонален и , и (). При заданных и такие точки (в силу того, что пространство трехмерно) есть, и их всего две: и . Причем . Принято выбирать точку так, чтобы, глядя с нее на векторы и и направив вектор на "восток", вектор оказывался направленным на "север". Такая нумерация векторов называется правой. А вся тройка единичных и взаимно перпендикулярных векторов называется ортонормированным базисом векторов (базисными векторами в декартовой прямоугольной системе координат). Отметим, что замена знака у одного из базисных векторов превращает правую систему в левую (и наоборот).

Существует бесконечное число систем координат. И все они связаны друг с другом преобразованиями трех видов: отражения, трансляции и вращения. При отражении какой-либо из базисных векторов меняет знак (правая система переходит в левую и наоборот). Трансляция - это перенос начала координат без изменения ориентации базисных векторов. Вращениями называют повороты базиса вокруг начала координат. Если задействованы два или все три вида преобразований, то порядок их совершения не имеет значения. Любые две системы координат однозначно связаны определенной комбинацией из этих преобразований.

Итак, будем считать, что у нас заданы начало координат и правая система ортонормированных векторов . Вектор , направленный от начала координат к точке , называют радиус-вектором точки . Он разлагается в сумму

Причем для любых двух точек и имеем

Далее векторы будем обозначать стрелкой наверху (в частности, , где ) и рассматривать их безотносительно к точкам, из которых они исходят (радиус-вектор есть относительное понятие, так как любой вектор при соответствующей трансляции можно назвать таким).

Учитывая (16, 17), любой вектор можно записать в виде:

Сумму в (18) называют разложением по базисным векторам, а числа и - компонентами данного вектора в данной системе координат. Иногда будем писать , предполагая, что базис задан.

Сложение векторов и приводит к вектору , где (). Модуль вектора определим в виде

 

3. Произведения векторов.

 

Одним из вариантов умножения векторов является скалярное произведение, которое ставит в соответствие двум векторам и некоторое число (скаляр), обозначаемое . Эта операция является коммутативной и ассоциативной:

здесь - любое число.

Конкретный смысл скалярного произведения можно определить разными способами. Можно исходить из уже упомянутого выше определения, исходящего из соотношений расстояний между тремя точками:

(здесь и - векторы, направленные из одной точки в две другие).

Если определено понятие угла между двумя векторами (прямыми), то имеет смысл и следующее определение

А можно просто задать значения скалярных произведений для векторов ортонормированного базиса:

Все эти варианты эквивалентны, и каждое из соотношений (21-23) дает один и тот же результат, выраженный через компоненты векторов. Для любых двух векторов и имеем:

Отметим, что . Если и , то (и, наоборот, из ортогональности и , следует ).

Далее (если иное не оговорено), чтобы не громоздить формулы знаками сумм, будем считать, что по одинаковым индексам в произведениях производится суммирование:

Векторное произведение, обозначаемое (или ), мы определим, постулируя его результаты для векторов ортонормированного базиса:

добавив к этому следующие общие свойства:

При этом

где - угол между векторами и , - площадь треугольника, определяемого векторами и , приведенными в одну точку.

Таким образом, векторное произведение двух векторов и дает вектор , где

Введем символы (так называемый полностью антисимметричный тензор 3-его ранга), отличные от нуля лишь тогда, когда значения всех индексов различны. Причем

Тогда формулы (26, 29) можно записать более компактным образом:

Символы очень удобны во многих приложениях, учитывая, что

Отметим следующие свойства:

Т.е. вектор ортогонален и , и . Причем по направлению вектор такой, что тройка векторов по взаимной ориентации аналогична базисной тройке (в порядке перечисления).

Скалярное произведение, в котором одним из сомножителей является векторное произведение, называют смешанным произведением трех векторов. Пусть . Тогда их смешанное произведение, обозначаемое , равно

(иногда стрелки под круглыми скобками опускают, когда ясно, что речь идет о векторах). Нетрудно видеть, что

Т.е. круговая перестановка векторов в смешанном произведении не меняет его, а любая перестановка двух векторов меняет его знак.

Отметим еще, что

где элементы матрицы равны

(в левой системе координат (36) меняет знак).

Смешанное произведение имеет следующий геометрический смысл:

где - объем параллелепипеда, построенного на векторах и , приведенных в одну точку; знак будет, если тройка векторов по взаимной ориентации аналогична базисной тройке ; в противном случае в (38) стоит знак .

Если , то это означает, что векторы лежат в одной плоскости и не образуют 3-мерную фигуру.

Пусть . Тогда любой вектор можно разложить в виде

где некоторые числа, однозначно определяемые из уравнений:

Решение системы уравнений (40) можно записать в виде:

В общем случае любые четыре вектора связаны соотношением

которое является количественным выражением того, что любые четыре вектора в 3-мерном пространстве являются линейно зависимыми.

Отметим ряд весьма полезных для расчетов соотношений:

 

4. Преобразования координат.

 

Прежде всего, подчеркнем, что переход от одной системы координат к другой никак не влияет на суть векторов, как объектов, связывающих пары точек пространства (не меняются взаимная ориентация векторов, результаты их суммирования, углы между векторами и т.п.).

Когда говорят о преобразовании вектора, то речь идет не о векторе как таковом, а только о его представлении в виде разложения по базисным векторам. Меняется базис - меняются и коэффициенты в разложении. Т.е. преобразуются не сами векторы, а их компоненты. При этом очевидно, что перенос начала координат не меняет базис (он просто параллельно переносится в другую точку), а, значит, не меняются и компоненты. А вот повороты и отражения приводят к другой системе базисных векторов и соответственно к изменению компонент векторов.

Любой новый набор ортонормированных векторов , и можно определить разложениями по векторам , и старого базиса:

Причем величин связывают уравнений (с учётом симметрии):

Отметим, что

Из (44, 45) следует обратное преобразование

Если , то это означает, что (44) представляет чистое вращение. Если же , то вращение сопряжено с отражением одной или всех трех осей координат.

Подставляя в разложение вектора преобразование (46), получим:

Отсюда следует, что компоненты в новом базисе связаны со старыми компонентами соотношениями

Т.е. компоненты преобразуются так же, как и базисные векторы.

В силу уравнений (45) вращение определяется тремя независимыми величинами. Приведем один из способов выделения этих величин. Любое вращение можно определить поворотом системы координат вокруг какой-то оси на некоторый угол. Ось вращения можно задать единичным вектором (это две величины). Угол поворота (третья величина) отсчитывают против хода часовой стрелки, если смотреть с "конца" вектора . Тогда (48) записывается в виде:

где

Отметим инвариантность скалярных произведений при вращениях:

До сих пор мы подразумевали под вектором объект, который любой точке пространства ставит во взаимно однозначное соответствие другую точку пространства. Вектор полностью определяется длиной (модулем) и направлением. Причем модуль вектора не зависит от выбора системы координат. Чтобы определить направление, нужны какие-нибудь ориентиры. Т.е. конкретизация направления (а значит и вектора) может быть лишь относительной. Другими словами, содержательные свойства вектора заключаются не в его исходной сути, а в том, что он определяется тремя компонентами, которые нужно соответствующим образом менять при переходе в другую систему координат.

Рассмотрим движение тела по некоторой траектории в 3-мерном пространстве. Траекторию можно описать, задавая радиус-вектор , компоненты которого являются функциями времени: . Производная

есть вектор, описывающий скорость и направление движения тела в момент времени . Т.е. при переходе от одного базиса к другому величины преобразуются в соответствии с (48) или (49). В тоже время этот вектор отличается по своей интерпретации от векторов, связывающих различные точки пространства.

Обобщая, будем говорить, что 3-мерным вектором является всякий объект, определяемый тремя величинами, которые при преобразовании координат преобразуются в соответствии с (48).

В частности, вектором является набор частных производных от некоторой функции компонент радиус вектора :

Нетрудно убедиться, что при преобразовании координат набор (52) связан соотношениями (48) с новым набором

где

(функции задаются соотношениями (48)).

Векторы могут задаваться и в виде векторных полей, когда компоненты вектора зависят от координат точки пространства. А различные виды дифференцирования и интегрирования приводят к скалярным или новым векторным полям (подробнее см. "Векторный анализ").

Содержание