Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Векторный анализ

 

1. Дифференцирование

 

Введем в трехмерном евклидовом пространстве ортонормированный базис векторов и будем обозначать компоненты радиус-вектора точки пространства через :

Функцию координат вместе с областью ее определения будем называть скалярным полем (скаляром). Аналогично вектор

где являются функциями координат, будем называть векторным полем. Далее будем считать систему координат декартовой, т.е. базисные векторы не зависят от координат.

Частные производные от скалярной функции представляют компоненты вектора, обозначаемого :

Оператор называют градиентом:

Дивергенцией векторной функции называют скалярное произведение (действие) градиента с данным вектором:

Ротором вектора называют векторное произведение:

Учитывая разложение (3) и правила дифференцирования, нетрудно доказать следующие соотношения

Скалярный оператор

называют оператором Лапласа (или лапласианом).

При повторных дифференцированиях получим соотношения:

 

2. Интегралы по траекториям и поверхностям

 

Траектория определяется зависимостью радиус-вектора от некоторого параметра :

Обозначим эту траекторию кривой .

Дифференциалом вектора (векторным элементом линии) называется вектор

(вектор направлен по касательной к кривой в данной точке). При этом

называют дифференциалом длины кривой . Тогда интеграл

есть длина дуги кривой на участке .

На любой части непрерывной кривой можно определить криволинейные интегралы:

где

Часть кривой определяется некоторой областью изменения параметра , в частности, . Если интегрирование ведется по замкнутой кривой , то интеграл называют контурным и обычно изображают в виде .

Как увидим ниже, в некоторых случаях скалярных или векторных полей интегралы (13) зависят только от конечных точек (т.е. не зависят от пути интегрирования).

Поверхность определяется зависимостью радиус-вектора от двух параметров: . Векторный элемент поверхности равен

(вектор направлен по нормали к поверхности в данной точке). Элемент площади

Обозначим через , где и некоторые области изменения и , часть поверхности. Пусть существует интеграл

определяющий площадь поверхности . Тогда существуют и следующие поверхностные интегралы:

Второй из интегралов (17) называют потоком вектора через поверхность .

Производной по направлению () называют предел

Если - векторный элемент поверхности в точке , то, полагая в (18) , приходим к определению нормальной производной, которую обозначают в виде :

 

3. Интегральные теоремы.

 

Градиент, дивергенцию и ротор можно выразить в интегральной форме. Выберем точку и некоторую замкнутую поверхность , внутри которой находится эта точка. Объем всей области внутри обозначим через . Предел будет означать, что поверхность "сжимается" так, что внутренняя область все время остается трехмерной (и, разумеется, все время содержит в себе точку ). Тогда для любой точки , в которой все нижеследующие функции определены, имеем:

При подходящих видах подынтегральной функции можно перейти к интегрированию по области меньшей размерности.

Переход от объемных интегралов к поверхностным. Пусть является некоторой трехмерной областью, ограниченной поверхностью . Элемент объема обозначим через . Тогда при однозначности и дифференцируемости нижеследующих функций имеют место теоремы о градиенте, о дивергенции и о роторе:

Приведем также теоремы Грина:

Переход от поверхностных интегралов к криволинейным. Пусть некоторая односвязная поверхность, ограниченная замкнутой кривой . Если нижеследующие функции однозначны и дифференцируемы, то

Здесь соотношение (23) представляет теорему Стокса.

Векторное поле называется безвихревым в области , если для всех его ротор равен нулю:

Нетрудно доказать, что векторное поле является безвихревым тогда и только тогда, когда оно является градиентом некоторого скалярного поля. При этом обычно пишут и называют скалярным потенциалом безвихревого векторного поля.

Криволинейный интеграл от безвихревого поля есть функция конечных точек кривой и не зависит от пути интегрирования:

Из (26) следует, что интеграл от вихревого поля по любому замкнутому пути равен нулю:

Векторное поле называется соленоидальным в области , если для всех его дивергенция равна нулю:

При этом является соленоидальным тогда и только тогда, когда

где векторное поле называют векторным потенциалом поля .

Любое поле в области , в которой оно определено вместе с ротором и дивергенцией, может быть представлено суммой безвихревого и соленоидальнего векторных полей:

В заключение приведем некоторые наиболее распространенные дифференциальные уравнения с векторными полями.

Если

то , а

Если

то в сумме (30) потенциалы можно выразить через объемные интегралы по всему пространству:

где , и предполагается, что интегралы существуют.

Содержание