![]() |
![]() |
|
![]() | ![]() |
ТензорыОбобщением векторных полей являются тензорные функции точек
1. Преобразования координат
Совокупность Допустимое преобразование координат означает, что каждой точке ![]() ![]() Введем следующие обозначения для матриц: Обратимость означает, что Далее, чтобы не громоздить знаки суммирования, введем следующее правило. Если в некотором выражении, являющемся или отдельным тензором, или произведением тензоров, какой-то индекс повторяется и снизу, и сверху, то это означает суммирование по этому индексу: Такого рода индексы называют немыми, а операции типа (3) - сверткой по данному индексу. Многократные суммы определяются соответствующим числом немых индексов. Множество допустимых преобразований (1) составляет группу, в которой групповой операцией является последовательное применение двух преобразований. В подгруппе линейных преобразований матрица Многие физические величины зависят от точки пространства, в которой они измеряются. Любая такая величина Объекты, связанные с точками пространства, могут определяться разным структурным содержанием. Для одних объектов это содержание выражается заданием одной функции точек пространства, и преобразование (1) для них означает только замену переменных. Другие объекты имеют более сложную структуру и задаются набором определенным образом упорядоченных функций. Для таких объектов преобразование (1) ведет не только к замене переменных, но и к преобразованиям внутри самого набора функций. Т.е. замене переменных сопутствует новый набор функций, являющихся линейными комбинациями функций старого набора. Первые объекты называются скалярами (тензорами нулевого ранга). Вторые называются тензорами 1-го или большего ранга, если линейная комбинация функций старого набора определенным образом привязана к преобразованию системы координат. Далее при обозначении объекта, состоящего из набора функций, ограничимся записью идентификатора в виде заглавной буквы с индексами. Например,
2. Определение тензоров.
Итак, тензором нулевого ранга (скаляром) называется объект, который определяется одной функцией Подчеркнем, что скаляр, вообще говоря, это не инвариант преобразования. Для инварианта равенство (4) надо было бы усилить в виде: Прежде чем определять тензоры следующих рангов, попробуем выяснить, в чем смысл объектов, не являющихся скалярами, и каков может быть принцип их преобразования при переходе к новым координатам. Из сказанного выше следует, что речь идет об объектах целостности. Если мы видим, что какой-то набор величин, образно говоря, "перемешивается" при преобразовании координат, то ясно, что каждая из этих величин представляет лишь часть чего-то целого. Рассмотрим два примера: частные производные и дифференциалы. Пусть![]() При этом набор частных производных Обозначим
Как видим, коэффициентами линейных преобразований в (6, 7) являются элементы матриц Определение вектора (тензора 1-го ранга): объект Нетрудно убедиться, что свертка Нижний индекс называют ковариантным, а верхний - контравариантным. Отметим, что оператор частной производной Произведения векторов образуют новые объекты с большим количеством индексов: Закон преобразования таких объектов автоматически получается из (8). Например: А теперь представим себе объект Чтобы в дальнейшем не громоздить индексы с индексами, условимся о некоторых обозначениях, касающихся индексов.
С учетом этого произведения (внешние) преобразующих матриц будем записывать в виде: При Общее определение тензоров: совокупность величин В случае Тензоры, преобразующиеся по формулам (12) называют истинными (абсолютными) тензорами. Преобразование относительных тензоров (псевдотензоров) здесь Элемент Т.е. произведение
3. Алгебра тензоров.
Операция сложения определена для тензоров одинаковых рангов и весов: где все три тензора имеют одинаковый вес. Особым типом сложения является свертка тензора по каким-либо индексам, которая приводит к тензору того же веса, но меньшего ранга. Операция умножения имеет различные варианты. Во всех вариантах результатом произведения будет тензор суммарного ранга: Учитывая (16), мы не будем ниже уточнять вес сомножителей произведения. Внешнее произведение приводит к тензору суммарного ранга: где Свертка по одной (или более) паре индексов, относящихся к разным сомножителям в (17), называется внутренним произведением. Очевидно, что результат свертки тензора являются разными тензорами. Если ранги тензоров невелики, то обычно результат выражают, обозначая пробелом те места, где стояли немые индексы. Так для (18) имеем соответственно: Однако и здесь есть свои неудобства. Тензоры Понятие симметрии сформулируем для ковариантных индексов (для контравариантных индексов определения аналогичны). Тензор Т.е. перестановка симметричных индексов не меняет значение тензора, а перестановка антисимметричных индексов меняет лишь его знак. Причем, эти свойства сохраняются при преобразовании координат. Абсолютно симметричный (антисимметричный) по нижним и (или) по верхним индексам тензор симметричен (антисимметричен) по любой нижней и (или) верхней паре индексов. Большое значение для компактного представления выкладок и результатов имеет обобщенный символ Кронекера
Как видим, тензор Приведем соотношение, определяющее результат свертки Отметим широко используемый символ Кронекера 2-го ранга ( Свертку смешанного тензора можно считать внутренним произведением этого тензора на Символы Леви-Чивита определяются как символы Кронекера Причем Таким образом:
Внутреннее произведение символов Леви-Чивита дает символ Кронекера: Определитель матрицы Пусть даны во всех точках пространства. Аналогичный вывод имеет место и для контравариантных векторов. Обобщением векторного произведения, определенного в 3-мерном пространстве, в Подчеркнем, что символы Кронекера и Леви-Чивита сами по себе не имеют какого-либо физического содержания и дают лишь способы компактного представления некоторых специальных операций с тензорами (аналогично знаку суммы или произведения). Можно было бы обойтись и без них, но тогда некоторые формулы занимали бы целые страницы. Прежде чем идти дальше, попробуем объяснить, зачем все это нужно. Разве недостаточно было бы говорить просто о наборах упорядоченных функций и ввести систему обозначений, упрощающих записи операций с этими функциями? В действительности, принципиально важно не то, что выработана система обозначений для компактного представления соотношений, а то, что речь идет о тензорных величинах. А важнейшим преимуществом работы с тензорами является следующее обстоятельство: вид уравнений (или других выражений), в которых все величины являются тензорами, не меняется при допустимых преобразованиях (1) системы координат. К примеру, рассмотрим уравнения для неизвестных величин где коэффициенты являются тензорами. Очевидно, что решением этого уравнения могут быть только векторы Почему все это так важно в физических приложениях? Если коротко, то ответ прост - законы природы не зависят от языка, на котором они формулируются. Физические величины, структура пространства, суть явлений и т.п. - все это исследователь может количественно анализировать лишь тогда, когда он определится с системой и методами измерений. А это значит, что надо задать точки отсчета, ориентиры, эталоны единиц измерения и т.п. Иначе говоря, нужно "зайти" в определенную систему координат. При этом исследователь должен понимать - то, что от него не зависит, не должно зависеть и от выбранного им "языка". Таким образом, физический закон может считаться объективным, если он выражен через тензорные величины. Если при анализе какого-то нового явления возникает величина (или набор величин), не имеющая тензорный характер, то это значит, что что-то упущено, и есть веское основание для новых поисков. К примеру, производные от тензоров в общем случае не являются тензорами. И раньше, пользуясь такими величинами, приходилось ограничивать класс преобразований, чтобы эти величины можно было бы считать тензорами. Или мириться с тем, что, например, в криволинейных координатах, уравнения имели иной вид. Впоследствии в рамках общей теории относительности, эта проблема была снята.
4. Ковариантное дифференцирование.
Рассмотрим, как преобразуется набор частных производных от вектора: где величины тождественно равны нулю лишь при линейных преобразованиях. Таким образом, в общем случае Обычно говорят, что линейные преобразования - это сдвиги, отражения и повороты системы координат, а также масштабное преобразование. Однако такое наглядное разделение имеет смысл для случаев, когда координатные оси являются прямыми евклидового пространства. В криволинейных координатах такое разделение не всегда возможно. Другими словами, в классе систем с криволинейными координатами линейные преобразования могут иметь совершенно иной смысл, чем для прямолинейных координат. Поэтому, говоря о линейных преобразованиях, обычно подразумевают, что речь идет о декартовых системах координат, в которых базисные вектора не меняются от точки к точке. Тем более, что любые две декартовые системы связаны определенным линейным преобразованием. Таким образом, ограничиваясь линейными преобразованиями, мы по существу выделяем из всех возможных систем координат декартовые системы. А как быть в тех случаях, когда какие-то задачи удобнее решать в других системах координат? Или тогда, когда декартову систему в принципе нельзя ввести (например, на сферической поверхности), а частными производными от векторов приходится пользоваться. Выбор тут простой - или отказываться от тензорного "теста", или обобщить понятия расстояний и прямых так, чтобы, например, частные производные имели тензорный аналог. Итак, придерживаясь принципа "тензорности", рассмотрим свойства тензоров в искривленных пространствах, когда ко всему, что было сказано о тензорах, добавляется понятие метрики. Метрический тензор Этот тензор симметричен (по определению) и как матрица имеет отличный от нуля определитель: (здесь Особая роль метрического тензора заключается в том, что с его помощью можно поднимать или опускать индексы: (далее в качестве примеров будем ограничиваться векторами). Подчеркнем, что в (35) имеется в виду не просто обозначение свертки. Например, внутреннее произведение Это свойство позволяет обобщить понятие частной производной так, чтобы в результате получался тензорный оператор. Подробнее все это описывается в разделе "Риманова геометрия", а здесь приведем конечные результаты. Абсолютными дифференциалами где, так называемые символы Кристоффеля, равны Нетрудно убедиться, что В общем случае тензоров действие ковариантной производной имеет вид где запись Отметим, что метрический тензор ведет себя как константа по отношению к ковариантному дифференцированию: Ковариантные производные от сумм и произведений тензоров берутся так же, как и обычные производные. Однако очередность дифференцирования имеет значение, так как в общем случае В заключение приведем некоторые соотношения для тензоров низших рангов, связанные с ковариантным дифференцированием Другие из наиболее важных соотношений можно найти в разделе "Риманова геометрия". Там же приведен и геометрический смысл разности в (42) (к примеру, в каких случаях эта разность равна нулю). |
|