Тензоры

Обобщением векторных полей являются тензорные функции точек -мерного пространства. Каждая точка пространства в заданной системе координат однозначно определяется упорядоченной совокупностью действительных чисел , которые называются координатами данной точки. Здесь и далее (если иное не оговорено или неочевидно) верхние символы являются индексами, а не показателями степеней. По сути дела, именно индексы и являются объектами операций с тензорами. Образно говоря, алгебра тензоров - это арифметика индексов. И вся сложность работы с тензорами чаще всего обязана нагромождению индексов. Достаточно понять смысл операций с индексами и научиться удачно их обозначать, и тензорная алгебра оказывается более простой, чем элементарная.

1. Преобразования координат

Совокупность , которую часто будем обозначать одним символом , представляет точку в -мерном арифметическом пространстве. В зависимости от выбора системы координат одна и та же точка физического (базового) пространства отображается разными точками арифметического пространства. Связь разных систем координат задается преобразованием, сопоставляющим каждой точке арифметического пространства другую точку этого же пространства. Обычно сопоставляемые координаты и объекты двух систем отличают с помощью знака штриха. Однако из-за обилия индексов этот знак не слишком заметен. Поэтому в этом разделе, чтобы отличать величины, записанные в разных системах координат, мы будем использовать знак .

Допустимое преобразование координат означает, что каждой точке ставится во взаимно однозначное соответствие точка :

Введем следующие обозначения для матриц:

Обратимость означает, что . При этом матрицы (2) являются обратными друг другу:

Далее, чтобы не громоздить знаки суммирования, введем следующее правило. Если в некотором выражении, являющемся или отдельным тензором, или произведением тензоров, какой-то индекс повторяется и снизу, и сверху, то это означает суммирование по этому индексу:

Такого рода индексы называют немыми, а операции типа (3) - сверткой по данному индексу. Многократные суммы определяются соответствующим числом немых индексов.

Множество допустимых преобразований (1) составляет группу, в которой групповой операцией является последовательное применение двух преобразований. В подгруппе линейных преобразований матрица не зависит от координат. В частности, вращения (повороты) представляют такую подгруппу, в которой матрица является ортогональной:

Многие физические величины зависят от точки пространства, в которой они измеряются. Любая такая величина может быть определена как функция координат: . Преобразование (1) меняет вид этой функции: . Подчеркнем, что речь идет не об изменении величины в данной точке пространства, а просто о замене переменных. Поэтому далее равенство функций надо понимать как равенство значений этих функций в одной и той же точке пространства. Например, означает, что или .

Объекты, связанные с точками пространства, могут определяться разным структурным содержанием. Для одних объектов это содержание выражается заданием одной функции точек пространства, и преобразование (1) для них означает только замену переменных. Другие объекты имеют более сложную структуру и задаются набором определенным образом упорядоченных функций. Для таких объектов преобразование (1) ведет не только к замене переменных, но и к преобразованиям внутри самого набора функций. Т.е. замене переменных сопутствует новый набор функций, являющихся линейными комбинациями функций старого набора.

Первые объекты называются скалярами (тензорами нулевого ранга). Вторые называются тензорами 1-го или большего ранга, если линейная комбинация функций старого набора определенным образом привязана к преобразованию системы координат. Далее при обозначении объекта, состоящего из набора функций, ограничимся записью идентификатора в виде заглавной буквы с индексами. Например, - это набор , а - набор .

2. Определение тензоров.

Итак, тензором нулевого ранга (скаляром) называется объект, который определяется одной функцией . Преобразование координат означает замену переменных так, что

Подчеркнем, что скаляр, вообще говоря, это не инвариант преобразования. Для инварианта равенство (4) надо было бы усилить в виде:

Прежде чем определять тензоры следующих рангов, попробуем выяснить, в чем смысл объектов, не являющихся скалярами, и каков может быть принцип их преобразования при переходе к новым координатам.

Из сказанного выше следует, что речь идет об объектах целостности. Если мы видим, что какой-то набор величин, образно говоря, "перемешивается" при преобразовании координат, то ясно, что каждая из этих величин представляет лишь часть чего-то целого. Рассмотрим два примера: частные производные и дифференциалы.

При этом набор частных производных и набор дифференциалов составляют два самостоятельных (независимых друг от друга) объекта. Целостность объекта обеспечена тем, что производные берутся от одной и той же функции. Набор же дифференциалов связывает то, что они в совокупности определяют взаимное положение двух близких точек.

Обозначим и рассмотрим, как они преобразуются при переходе к новой системе координат:

Как видим, коэффициентами линейных преобразований в (6, 7) являются элементы матриц . И именно это обстоятельство станет основой определения тензоров.

Определение вектора (тензора 1-го ранга): объект называется ковариантным вектором, а объект - контравариантным вектором, если в новой системе координат они преобразуются в соответствии с (6, 7):

Нетрудно убедиться, что свертка является скаляром.

Нижний индекс называют ковариантным, а верхний - контравариантным. Отметим, что оператор частной производной имеет нижний индекс. Распространены следующие обозначения:

Произведения векторов образуют новые объекты с большим количеством индексов:

Закон преобразования таких объектов автоматически получается из (8). Например:

А теперь представим себе объект , состоящий из функций, который не обязательно определен произведением двух векторов (т.е. функциями). Если он преобразуется в соответствии с (10), где , то мы имеем все основания считать его объектном целостности. То же самое можно сказать об объектах , преобразование которых аналогично преобразованию произведения векторов.

Чтобы в дальнейшем не громоздить индексы с индексами, условимся о некоторых обозначениях, касающихся индексов.

1. Обозначение означает набор индексов .
2. Точка означает любой набор индексов, в частности, и их отсутствие.
3. Если у объекта или в произведении объектов одинаковый комплекс индексов встречается и сверху, и снизу, то это означает суммирование по всем индексам, входящим в этот комплекс.

С учетом этого произведения (внешние) преобразующих матриц будем записывать в виде:

При в (11) имеется в виду единичная матрица.

Общее определение тензоров: совокупность величин называют тензором -го ранга ( раз контравариантным и раз ковариантным), если при преобразовании координат (1) эта совокупность преобразуется следующим образом:

В случае мы имеем дело со скалярами. Если и (или и ), то речь идет о ковариантных (или контравариантных) векторах. При говорят о смешанном тензоре.

Тензоры, преобразующиеся по формулам (12) называют истинными (абсолютными) тензорами.

Преобразование относительных тензоров (псевдотензоров) веса отличается от (12) наличием множителя ():

здесь - это показатель степени, равный целому числу. Если , то тензор называют тензорной плотностью. Такое название связано со следующим обстоятельством.

Элемент -мерного объема является псевдоскаляром веса , так как преобразуется по формуле

Т.е. произведение является истинным тензором. А значит и интеграл от по любой -мерной области является истинным тензором, плотностью которого и является подынтегральная функция.

3. Алгебра тензоров.

Операция сложения определена для тензоров одинаковых рангов и весов:

где все три тензора имеют одинаковый вес. Особым типом сложения является свертка тензора по каким-либо индексам, которая приводит к тензору того же веса, но меньшего ранга.

Операция умножения имеет различные варианты. Во всех вариантах результатом произведения будет тензор суммарного ранга:

Учитывая (16), мы не будем ниже уточнять вес сомножителей произведения.

Внешнее произведение приводит к тензору суммарного ранга:

где .

Свертка по одной (или более) паре индексов, относящихся к разным сомножителям в (17), называется внутренним произведением.

Очевидно, что результат свертки тензора зависит от того, где находятся индексы, по которым производится суммирование. Например, свертки

являются разными тензорами. Если ранги тензоров невелики, то обычно результат выражают, обозначая пробелом те места, где стояли немые индексы. Так для (18) имеем соответственно:

Однако и здесь есть свои неудобства. Тензоры и еще можно различить, но увидеть разницу между и труднее. Для тензоров больших рангов эта проблема усугубляется. Обычно выход находят в том, что разные результаты свертки обозначают разными символами. Хотя отметим, что на практике эта проблема не очень актуальна. Чаще всего в приложениях имеют дело с тензорами высоких рангов, обладающими той или иной симметрией по индексам.

Понятие симметрии сформулируем для ковариантных индексов (для контравариантных индексов определения аналогичны). Тензор называют симметричным (антисимметричным) по индексам и , если для любых значений всех индексов

Т.е. перестановка симметричных индексов не меняет значение тензора, а перестановка антисимметричных индексов меняет лишь его знак. Причем, эти свойства сохраняются при преобразовании координат.

Абсолютно симметричный (антисимметричный) по нижним и (или) по верхним индексам тензор симметричен (антисимметричен) по любой нижней и (или) верхней паре индексов.

Большое значение для компактного представления выкладок и результатов имеет обобщенный символ Кронекера , который определяется следующим образом:

1. тогда и только тогда, когда значения всех верхних индексов различны, а значения нижних индексов являются некоторой перестановкой верхних;
2. при этом , где показатель степени равен числу парных перестановок, в результате которых из набора можно получить набор .

Как видим, тензор является абсолютно антисимметричным по нижним и верхним индексам. Любой аналогичный тензор можно представить произведением скаляра на .

Приведем соотношение, определяющее результат свертки :

Отметим широко используемый символ Кронекера 2-го ранга ():

Свертку смешанного тензора можно считать внутренним произведением этого тензора на :

Символы Леви-Чивита определяются как символы Кронекера -го ранга с заданными нижними или верхними индексами:

Причем и являются абсолютно антисимметричными тензорами -го ранга с весами соответственно равными и .

Таким образом:

1. , если среди индексов есть хотя бы одна пара одинаковых;
2. (или ), если совокупность получена из совокупности четным (или нечетным) числом парных перестановок (парная перестановка - это перестановка друг с другом двух индексов местами).

Внутреннее произведение символов Леви-Чивита дает символ Кронекера:

Определитель матрицы () можно выразить с помощью внутренних произведений:

Пусть даны ковариантных векторов . Можно доказать, что эти вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда

во всех точках пространства. Аналогичный вывод имеет место и для контравариантных векторов.

Обобщением векторного произведения, определенного в 3-мерном пространстве, в -мерном случае будет внутреннее произведение векторов и символов Леви-Чивита:

Подчеркнем, что символы Кронекера и Леви-Чивита сами по себе не имеют какого-либо физического содержания и дают лишь способы компактного представления некоторых специальных операций с тензорами (аналогично знаку суммы или произведения). Можно было бы обойтись и без них, но тогда некоторые формулы занимали бы целые страницы.

Прежде чем идти дальше, попробуем объяснить, зачем все это нужно. Разве недостаточно было бы говорить просто о наборах упорядоченных функций и ввести систему обозначений, упрощающих записи операций с этими функциями?

В действительности, принципиально важно не то, что выработана система обозначений для компактного представления соотношений, а то, что речь идет о тензорных величинах. А важнейшим преимуществом работы с тензорами является следующее обстоятельство: вид уравнений (или других выражений), в которых все величины являются тензорами, не меняется при допустимых преобразованиях (1) системы координат.

К примеру, рассмотрим уравнения для неизвестных величин :

где коэффициенты являются тензорами. Очевидно, что решением этого уравнения могут быть только векторы . Это означает, что при любом преобразовании (1) оно в новой системе координат имеет такой же вид:

Почему все это так важно в физических приложениях? Если коротко, то ответ прост - законы природы не зависят от языка, на котором они формулируются. Физические величины, структура пространства, суть явлений и т.п. - все это исследователь может количественно анализировать лишь тогда, когда он определится с системой и методами измерений. А это значит, что надо задать точки отсчета, ориентиры, эталоны единиц измерения и т.п. Иначе говоря, нужно "зайти" в определенную систему координат. При этом исследователь должен понимать - то, что от него не зависит, не должно зависеть и от выбранного им "языка".

Таким образом, физический закон может считаться объективным, если он выражен через тензорные величины. Если при анализе какого-то нового явления возникает величина (или набор величин), не имеющая тензорный характер, то это значит, что что-то упущено, и есть веское основание для новых поисков. К примеру, производные от тензоров в общем случае не являются тензорами. И раньше, пользуясь такими величинами, приходилось ограничивать класс преобразований, чтобы эти величины можно было бы считать тензорами. Или мириться с тем, что, например, в криволинейных координатах, уравнения имели иной вид. Впоследствии в рамках общей теории относительности, эта проблема была снята.

4. Ковариантное дифференцирование.

Рассмотрим, как преобразуется набор частных производных от вектора:

где величины

тождественно равны нулю лишь при линейных преобразованиях.

Таким образом, в общем случае не является тензором. Но если считать, что допустимыми являются только линейные преобразования, мы можем, так сказать, директивно утвердить статус тензоров для всех частных производных от тензоров. В этом, конечно, есть свой резон, так как системы координат, связанные линейными преобразованиями, намного ближе друг другу (можно сказать - ближайшие "родственники"), чем к прочим системам. Однако не для любого класса "родственников" линейные преобразования имеют наглядный смысл.

Обычно говорят, что линейные преобразования - это сдвиги, отражения и повороты системы координат, а также масштабное преобразование. Однако такое наглядное разделение имеет смысл для случаев, когда координатные оси являются прямыми евклидового пространства. В криволинейных координатах такое разделение не всегда возможно. Другими словами, в классе систем с криволинейными координатами линейные преобразования могут иметь совершенно иной смысл, чем для прямолинейных координат. Поэтому, говоря о линейных преобразованиях, обычно подразумевают, что речь идет о декартовых системах координат, в которых базисные вектора не меняются от точки к точке. Тем более, что любые две декартовые системы связаны определенным линейным преобразованием.

Таким образом, ограничиваясь линейными преобразованиями, мы по существу выделяем из всех возможных систем координат декартовые системы. А как быть в тех случаях, когда какие-то задачи удобнее решать в других системах координат? Или тогда, когда декартову систему в принципе нельзя ввести (например, на сферической поверхности), а частными производными от векторов приходится пользоваться. Выбор тут простой - или отказываться от тензорного "теста", или обобщить понятия расстояний и прямых так, чтобы, например, частные производные имели тензорный аналог.

Итак, придерживаясь принципа "тензорности", рассмотрим свойства тензоров в искривленных пространствах, когда ко всему, что было сказано о тензорах, добавляется понятие метрики.

Метрический тензор определяет расстояние (интервал) между бесконечно близкими точками и :

Этот тензор симметричен (по определению) и как матрица имеет отличный от нуля определитель: . Обратный тензор (также симметричный) определяется из уравнений:

(здесь является алгебраической функцией компонент тензора ).

Особая роль метрического тензора заключается в том, что с его помощью можно поднимать или опускать индексы:

(далее в качестве примеров будем ограничиваться векторами).

Подчеркнем, что в (35) имеется в виду не просто обозначение свертки. Например, внутреннее произведение также можно было бы записать в виде . Принципиально важно другое. Допустим, что на вектор . действует некоторый скалярный оператор так, что . также является вектором. Тогда из (35) следует

Это свойство позволяет обобщить понятие частной производной так, чтобы в результате получался тензорный оператор. Подробнее все это описывается в разделе "Риманова геометрия", а здесь приведем конечные результаты.

Абсолютными дифференциалами и называются выражения

где, так называемые символы Кристоффеля, равны

Нетрудно убедиться, что и являются векторами. Достаточно рассмотреть, как преобразуются выражения, заключенные в (37) в скобки, и убедиться в их тензорном характере. Эти выражения являются тензорным аналогом частных производных от вектора и называются ковариантными производными. Обозначают их, отделяя индекс производной знаком ";":

В общем случае тензоров действие ковариантной производной имеет вид

где запись означает, что в последовательности индекс заменен на индекс . В частности,

Отметим, что метрический тензор ведет себя как константа по отношению к ковариантному дифференцированию:

Ковариантные производные от сумм и произведений тензоров берутся так же, как и обычные производные. Однако очередность дифференцирования имеет значение, так как в общем случае

В заключение приведем некоторые соотношения для тензоров низших рангов, связанные с ковариантным дифференцированием

Другие из наиболее важных соотношений можно найти в разделе "Риманова геометрия". Там же приведен и геометрический смысл разности в (42) (к примеру, в каких случаях эта разность равна нулю).

Содержание