Основы римановой геометрии

Во многом суть искривленных двумерных пространств иллюстрируется свойствами поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. При больших размерностях искривленных пространств аналогами могут служить гиперповерхности (подпространства) плоских пространств больших размерностей. Поэтому мы, прежде всего, рассмотрим геометрию таких гиперповерхностей.

1. Гиперповерхности в евклидовых пространствах.

В разделе "Основы евклидовой геометрии" мы на языке расстояний определили, что означает размерность пространства. Здесь мы сразу начнем с того, что будем идентифицировать точки пространства координатами в заданной прямоугольной декартовой системе координат.

Обозначим через евклидовое -мерное пространство. При заданном наборе ортонормированных базисных векторов каждая точка этого пространства однозначно определяется набором из упорядоченных чисел Этот же набор в качестве компонент определяет и радиус-вектор данной точки

Компоненты вектора, связывающего две точки, являются разностями соответствующих координат. Поэтому в отличие от компонент радиус-векторов компоненты таких векторов не меняются при переносе начала координат (при трансляциях). Учитывая эту оговорку, мы будем называть любой набор чисел компонентами некоторого (абстрактного) вектора , разлагаемого в виде

Любой такой вектор можно считать исходящим из любой точки так, что при этом однозначно определяется некоторая другая точка. В частности, перенося его в начало координат, мы имеем дело с радиус-вектором.

Скалярное произведение двух произвольных векторов определяется, если его задать для базисных векторов. Скалярные произведения ортонормированных векторов определяются соотношениями

Тогда скалярное произведение векторов и равно

Модуль (длина) вектора определяется в виде

Два вектора и называются ортогональными (перпендикулярными), если .

Гиперповерхность в есть множество точек, радиус-векторы которых определяются функциями от переменных :

Здесь и далее, если иное не оговорено, верхний символ есть индекс, а не показатель степени.

Чтобы каждая точка взаимно однозначным образом отображалась одним набором значений переменных , необходимо положить

где

Область допустимых значений переменных , которые будем называть криволинейными координатами, есть область определения функций (4), в которой удовлетворяется условие (5). Далее, если иное не оговорено, будем говорить о точках, принадлежащих гиперповерхности . Иногда будем употреблять следующие обозначения:

Расстояние между бесконечно близкими точками и определяется соотношением

Здесь и далее, если греческие индексы повторяются сверху и снизу, то по ним производится суммирование от до .

Кривую на будем задавать параметрически:

Длина кривой от точки до точки равна

Если параметром является длина кривой, отсчитываемая от некоторой точки, то вместо (8) можно писать

где

Кривая, соединяющая свои точки кратчайшими путями, называется геодезической линией. Фиксируя в (9) точки и , методом вариации получим следующее уравнение геодезической:

где

а тензор, обратный к :

Таким образом, представляет искривленное -мерное пространство, в котором соотношениями (8) или (9) определены правила расчета расстояний между точками, а уравнениями (11) определяются аналоги прямых линий. В тоже время все точки этого пространства являются точками привычного нам евклидового пространства . Это обстоятельство позволит нам определить все характеристики искривленных пространств, не привлекая какие-либо дополнительные абстрактные понятия. Достаточно будет задания функций (4), определяющих гиперповерхность .

2. Алгебра векторов на гиперповерхности.

Базовыми векторами в являются частные производные от вектор-функции (4), определяющей данную гиперповерхность:

Если мы говорим, что некоторый вектор принадлежит , то это означает, что он в каждой точке однозначно представляется разложением

где

В общем случае вектор раскладывается в виде

где внешние нормали к . Мы будем считать их ортонормированными:

Преобразование координат называются допустимым, если

где

При этом

Отсюда следует, что

Естественно, что при этом сохраняются расстояния:

В разделе "Тензоры" рассматриваются вопросы преобразования объектов при преобразовании координат. Тензорами считались объекты, которые преобразуются так, что каждый нижний индекс свертывается с верхним индексом матрицы , а каждый верхний - с нижним индексом обратной матрицы . В частности и являются тензорами 2-го ранга (соответственно ковариантным и контравариантным).

Итак, набор величин называется контравариантным, а набор величин называется ковариантным векторами (тензорами 1-го ранга), если они преобразуются по законам

Отметим, что свертка вектора с или с , меняющая его вариантность, обозначается тем же символом

Рассмотрим на конкретных примерах геометрический смысл векторов в искривленном пространстве . Пусть есть некоторое векторное поле в . На гиперповерхности этот вектор есть функция криволинейных координат: . Преобразование этих координат не меняет компоненты вектора относительно прямоугольной декартовой системы: . А вот проекции

представляют ковариантный вектор в , так как преобразовываются соответствующим образом. При этом в разложение данного вектора

набор есть контравариантный вектор в .

В разложении

величины при каждом являются компонентами ковариантного вектора в . В то же время при каждом являются компонентами вектора в . Аналогичный смысл имеют и вектора (контравариантные в ), связанные с соотношениями

(далее иногда будем обозначать, опуская запятую, через ).

В общем случае будем говорить, что совокупность векторов , где индексы пробегают значения от до , есть тензор в , если тензором в является совокупность скалярных произведений при любом . Очевидно, что скалярные произведения таких векторов также являются тензорами в . Но, в отличие от самих векторов, их произведения уже не зависят от выбора базиса в .

Из соотношений

нетрудно найти связь символов Кристоффеля с :

Отметим, что и , вообще говоря, не являются тензорами. Поэтому необходимо решить вопрос о том, как определить тензорный аналог производной в криволинейном пространстве.

3. Ковариантная производная.

Итак, частные производные от тензоров в не представляют в общем случае тензор следующего ранга. Если тензор, то будет тензором только в классе линейных преобразований.

При преобразование (4) есть переход в от прямоугольных координат к криволинейным. В разложении (16) векторного поля внешние нормали отсутствуют, поэтому

При любой вектор можно однозначно разложить в каждой точке по локальному базису . В частности,

Из (18, 19) получим

Нетрудно убедиться, что в (20) выражение в скобках есть смешанный тензор 2-го ранга. Обозначим его через . Очевидно, что

Таким образом, при наиболее естественным обобщением дифференцирования вектора в случае криволинейных координат будет операция вида

которая называется ковариантным дифференцированием.

Абсолютным дифференциалом контравариантного вектора в криволинейных координатах называется величина

Аналогично определяется абсолютный дифференциал ковариантного вектора :

При этом

Формула ковариантной производной от произвольного тензора имеет вид

где

Отметим одно важное обстоятельство: тензоры и при ковариантном дифференцировании можно считать константами, так как

В силу того, что , ковариантное дифференцирование вектора перестановочно:

так как можно представить в виде

Это свойство, как увидим ниже, имеет особый смысл.

Теперь пусть . Чтобы не громоздить индексы, положим . Т.е. у гиперповерхности в каждой точке есть только одна нормаль для всех .

Введем обозначение

(заметим, что не является тензором).

Допустим, некоторое векторное поле принадлежит , т.е.

Это поле однозначно определено лишь в , и для нас неважно, какие значения оно имеет в других точках . Т.е. можно "вырвать" из и исследовать такие поля в "самостоятельном" искривленном пространстве. Однако производные от таких векторов не могут быть таким же образом "оторваны" от , так как

Т.е. содержит компоненту, связанную с внешней нормалью.

Чтобы при каждой операции дифференцирования получать вектора вида (31), достаточно каждый раз проецировать результаты в , т.е. учитывать только компоненты, связанные с векторами . Так, аналогично (22, 23), можно определять абсолютные дифференциалы в виде

В результате общая формула ковариантного дифференцирования (26) имеет место и при . В частности, корректными будут и равенства (27). Однако соотношения (28, 29) в общем случае уже не корректны, так как в (29) появляются слагаемые, связанные с (точнее, с ).

Геометрический смысл ковариантной производной можно раскрыть следующим образом. Пусть векторное поле вида (31), и мы хотим сравнить его значения и в точках и . Для этого необходимо их привести в одну точку. Например, вектор переместить в точку . Однако в общем случае , в то время как . Т.е. вектор в точке может не принадлежать , и перенос без изменения теряет смысл в плане сравнения.

В евклидовом пространстве было понятие параллельного переноса вектора, когда он переносился вдоль прямой в нужную точку, сохраняя углы этого вектора с базисными векторами. Если это обобщить на криволинейное пространство, то параллельный перенос в точку означает, что переносится вдоль геодезической, проходящей через точки и , сохраняя углы этого вектора с векторами . В результате такого переноса исчезнет проекция вектора на . Это значит, что мы сразу можем отнять соответствующую составляющую и перенести по прямой в из точки в точку вектор

Разумеется, в такой постановке мы привязываем перенос в к (через нормаль ). Однако при достаточной близости точек и (34) можно выразить без такой привязки:

Второе слагаемое в (35) представляет изменение компонент вектора при параллельном переносе его из точки в точку :

Абсолютный дифференциал определяется как разность

где

есть обычный дифференциал, связанный с зависимостью компонент вектора от координат точки. Как видим, совпадает с абсолютным дифференциалом, данным в (22). Соответственно из (38) вытекают и все свойства ковариантного дифференцирования.

При мы пришли бы к тем же результатам, которые получили для . Отличие заключалось бы в промежуточных выкладках, в которых нам пришлось бы вычленять не одну проекцию на нормаль, а несколько проекций на соответствующее число нормалей.

4. Тензор кривизны гиперповерхностей.

Пусть по прежнему . Вектор кривизны кривой определяется соотношением

Если кривая является геодезической, то () и

( вектор нормали).

По мере перебора направлений геодезических в данной точке величина меняется от одного экстремума к другому. Направления, соответствующие главным кривизнам, определяются системой уравнений

а сами главные кривизны являются корнями алгебраического уравнения -ой степени:

Мы не будет останавливаться на структуре корней этого уравнения. Отметим только то, что каждому из корней () соответствует свое направление геодезической . Кроме того, если , то .

Дифференциал , где , представляет касательную к -ой главной геодезической в данной точке. В силу (41) имеем

Выберем какие-либо два вектора и (). Очевидно, если , то эти векторы ортогональны

Гауссова кривизна относится к поверхности, определяемой -ой и -ой геодезическими. Элементы площади такой поверхности составляют тензор

Введем тензор

(суммирование по и не производится!). Безразмерные компоненты этого тензора определяют изменение направления нормали (углы) при перемещении из точки в точку . Можно показать, что, если некоторый вектор параллельно переносить по замкнутому контуру , то изменение этого вектора будет равным

Учитывая (42), тензор (44) можно записать в виде

где

является тензором, антисимметричным внутри пар и и симметричным по этим парам:

Отметим, что частные производные

не зависят от номеров геодезических. Таким образом, тензор (47) зависит только от данной точки. В то же время, проецируя его на элемент площади какой-либо поверхности, проходящей через данную точку, мы определяем гауссову кривизну этой поверхности в данной точке. Учитывая все это, тензор называют тензором кривизны.

Величины связаны с внешней нормалью и поэтому не составляют тензор. Однако в (47) зависимость от исчезает. Из

имеем

Отсюда получим

Выше мы полагали . В общем случае мы просто должны суммировать вклады по каждой внешней нормали. Пусть , а внешние нормали составляют ортонормированный набор . Тогда вектор кривизны (40) обобщается в виде

Вместо (49) имеем

Суммируя (46) по каждой нормали получим следующее обобщения тензора кривизны

Учитывая (52), нетрудно убедиться, что (53) в точности совпадает с (50).

Отметим, что тензор кривизны, кроме всего прочего, определяет асимметрию при двойном ковариантном дифференцировании произвольного вектора :

При в соответствии с (28) имеем . Это лишний раз подчеркивает тензорный характер , демонстрирующий, что кривизна есть атрибут пространства, не зависящий от выбора системы координат.

Приведем некоторые общие свойства тензора кривизны.

Циклическая сумма, образованная по любым трем индексам, равна нулю:

Тождество Бианки:

Свертка по индексам из разных пар дает симметричный тензор 2-го ранга, называемый тензором Риччи:

Скалярная кривизна . Из тождества Бианки имеем

5. Псевдоевклидово пространство.

Геометрия неевклидовых пространств в количественном плане немногим отличается от геометрии гиперповерхностей плоского пространства. Но в качественном плане речь идет о совершенно иных объектах.

Во-первых, искривленные пространства рассматриваются сами по себе без какой-либо связи с пространствами большей размерности. Поэтому имеется большая свобода в выборе вариантов аксиоматики (аффинные пространства, пространства с кручением и т.д.).

Во-вторых, связь двух близких точек неевклидового пространства характеризуется квадратичной формой, которая не обязательно является положительно определенной. В евклидовом пространстве (а также на гиперповерхностях ) она определялась как квадрат расстояния между точками и в прямоугольной декартовой системе имела вид

Наиболее естественным и простым обобщением евклидовых пространств являются псевдоевклидовы пространства, в которых эту форму можно привести к виду

Разность между числом положительных и отрицательных слагаемых в (59) называют сигнатурой пространства. Отметим, что случай , когда (59) отрицательно определенная величина, по сути есть переобозначенная форма (58) и представляет .

Важное прикладное значение имеет 4-мерное псевдоевклидово пространство с сигнатурой, равной . Речь идет о пространстве-времени, в котором точкой является событие, определяемое временем и местом свершения. Другими словами точка пространства характеризуются еще временной координатой , и событие обозначается в виде .

Квадратичную форму (59) обычно записывают в виде

(выбрана система единиц, в которой скорость света равна единице). Физическая трактовка (60) следующая. Два события и могут находиться в непосредственной причинно-следственной связи только в случае . Если , то это означает, что данные события сами по себе друг с другом никак не связаны. Например, если и в (60) , то никакое физическое тело или сигнал не может, исходя в момент из точки , попасть в момент (или ранее) в точку . Это следствие постулата о том, что скорость света является предельной для любых физических процессов.

Линейные преобразования координат, не меняющие значение формы (60), являются или вращениями пространственных осей, или определяют переход к системе отсчета, движущейся с постоянной (по модулю и направлению) скоростью. Например, координаты события в системе отсчета, движущейся со скоростью , связаны с координатами этого события в неподвижной системе отсчета следующими соотношениями

где .

Системы отсчета, в которых интервал определяется формулой (60), называются инерциальными системами в пространстве-времени.

Прямые и плоские гиперповерхности в псевдоевклидовом пространстве определяются так же, как и в евклидовом пространстве - линейными функциями от параметров. Однако прямые при этом делятся на три разных класса в зависимости от знака квадратичной формы (59) (этот знак одинаков для любой пары точек данной прямой). В пространстве-времени прямые, вдоль которых называют времениподобными. Если , то говорят о пространственноподобных прямых, если , то речь идет об изотропной прямой. Аналогичным образом разделяются и другие объекты пространства-времени, в которых сохраняется знак формы (60).

6. Неевклидовые пространства: определения.

Рассматривая искривленное пространство как самостоятельный объект, мы должны определять его свойства без всякой связи с пространством, в которое оно могло бы быть вложено. Есть различные варианты введения исходных понятий при определении таких пространств.

В одном из вариантов сначала определяется пространство аффинной связности, когда задаются коэффициенты, от которых зависит изменение вектора при параллельном переносе. Т.е. по существу сначала определяется правило параллельного переноса. Затем определяются понятия ковариантной производной и геодезической. Например, геодезическая определяется как кривая, вектор касательной к которой в каждой точке является параллельно перенесенным из какой-либо другой точки кривой. Далее в этом аффинном пространстве задается метрика, определяющая обобщение квадратичной формы (59). В зависимости от свойств коэффициентов связности пространства могут быть с кручением и без кручения. Пространство без кручения полностью определяется метрическим тензором, и все его свойства совпадают с внутренними свойствами соответствующей (по метрике) гиперповерхности в евклидовом или псевдоевклидовом пространстве.

Мы пойдем несколько иным путем. Сначала определим метрику. Геодезические будем определять как кривые, вдоль которых интервал, задаваемый квадратичной формой, минимален. А уже при определении абсолютного дифференциала выделим вариант, при котором задается пространство без кручения.

Обозначим рассматриваемое -мерное пространство через . В заданной системе координат каждая точка однозначно определяется набором действительных чисел . Как и раньше, такой набор координат иногда будем обозначать одним символом . Однако индексы для нумерации компонент будем обозначать латинскими буквами, а не греческими (этим мы подчеркиваем, что речь идет об отдельном пространстве, а не о гиперповерхности).

Объект называется тензором ( раз контравариантным и раз ковариантным), если при преобразовании координат он преобразуется по формулам

где

(здесь и далее по повторяющимся сверху и снизу латинским индексам производится суммирование от до ).

Связь близких точек и () мы определим интервалом таким, что

Здесь симметричный вещественный тензор называется метрическим тензором. Функции считаются дифференцируемыми достаточное число раз. При этом матрица должна быть невырожденной во всех точках:

Задание такого метрического тензора означает определение метрики в .

Тензор, обратный тензору , называют контравариантным метрическим тензором :

С помощью преобразований координат квадратичную форму (62) можно в любой заданной точке привести к псевдоевклидовой форме (59). При этом сигнатура форм в разных точках будет одна и та же. Т.е. понятие сигнатуры формы имеет однозначный смысл и является одним из атрибутов данного пространства.

Далее с помощью метрических тензоров мы будем опускать или поднимать индексы:

Здесь требуется небольшое пояснение. Изначально какой-либо вектор задается или в ковариантном, или в контравариантном виде. Это касается и геометрических, и физических величин. Например, контравариантный вектор , составленный из дифференциалов координат, имеет чисто геометрический смысл. Совокупность частных производных представляет ковариантный вектор и является физическим объектом, если таковым является скалярное поле . Опускание или подъем индексов у этих векторов приводит к векторам, уже не имеющим такого же ясного и четкого смысла. Если, например, вектор есть чисто физический объект, то в его контравариантном аналоге на физические свойства накладываются геометрические свойства пространства.

Кривые в будем определять в параметрической форме:

где есть вектор касательной к кривой в данной точке .

В случаях, когда сигнатура пространства по модулю не совпадает с его размерностью, квадратичная форма не является знакоопределенной. Поэтому в общем случае интервал между удаленными точками вдоль данной кривой не имеет действительного смысла. Чтобы характеризовать любые две точки кривой вещественным интервалом, далее будем говорить только о кривых, у которых квадратичная форма

является знакоопределенной на всей данной кривой. Тогда интеграл

имеет четкий аналитический смысл, и его можно считать интервалом вдоль данной кривой от точки до точки .

Далее, не ограничивая общность, будем рассматривать кривые, у которых форма (67) является неотрицательной (при этом знак модуля в (68) можно опустить).

Рассмотрим множество всевозможных кривых, проходящих через две данные точки и . Геодезической будем называть кривую, для которой интервал (68) является минимальным из всех возможных.

Методом вариации интеграла (68) получим следующее уравнение для геодезической:

где

Из (69) имеем

Если в какой-то точке геодезической , то это означает, что , и весь интервал также равен нулю. Такие геодезические называются изотропными. Параметр для изотропных определяется, если мы добавим к уравнениям (69) еще одно уравнение

Для прочих геодезических мы можем положить и считать параметром сам интервал () так, что

Для неизотропных геодезических можно ввести функцию

где - фиксированная точка, - переменная точка, а интегрирование ведется вдоль геодезической. Частные производные от равны

Таким образом, вектор определяет направление данной геодезической в данной точке, а его ковариантный аналог есть градиент интервала, отсчитываемого от фиксированной точки вдоль той же геодезической до данной точки. Налицо различие в смыслах и .

7. Абсолютный дифференциал и тензор кривизны.

Пусть дано векторное поле , и мы хотим сравнить векторы, относящиеся к разным точкам. Для этого их нужно свести в одну точку, т.е. определить правило параллельного переноса.

Обозначим через вектор, параллельно перенесенный в точку из точки . Мы вправе считать, что изменение вектора при этом переносе линейно зависит от самого вектора. Кроме того, если точки достаточно близки, то это изменение будет линейно зависеть и от . Таким образом, полагаем, что

где некоторые функции точки, называемые объектами связности.

Разность, сведенных таким образом в одну точку векторов, равна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Приведенная операция переноса вектора называется параллельным переносом, если представляет вектор.

Нетрудно убедиться в следующем: является вектором в том и только в том случае, когда объекты связности при преобразовании координат преобразуются по формулам

Отсюда видно, что антисимметричная по нижним индексам часть

является тензором. Величину называют тензором кручения.

Абсолютный дифференциал скаляра равен обычному дифференциалу. Т.е., учитывая свойства бесконечно малых приращений произведений, имеем

Отсюда получим выражения для абсолютного дифференциала ковариантного вектора:

Пространство без кручения определим следующим положением

которым подчеркивается исключительная роль метрического тензора.

Из (81) следует, что совпадают с символами Кристоффеля:

При этом тензор кручения тождественно равен нулю.

В результате мы получим правила ковариантного дифференцирования тензоров, совпадающие со своими аналогами (26) для гиперповерхностей.

Для определения тензора кривизны в точке необходимо ввести элемент некоторой поверхности, проходящей через эту точку. Для этого зададим две близкие к точки и . Определим замкнутый контур, состоящий из трех геодезических, связывающих данные три точки (например, в последовательности ). Элемент площади поверхности, стягивающей этот контур, равен

Пусть некоторый вектор параллельно переносится вдоль этого контура. Из общих соображений следует, что изменение этого вектора после полного обхода контура является вектором, который можно записать в виде

где называется тензором кривизны. Учитывая (75, 82) и преобразовывая интеграл по контуру в интеграл по поверхности, получим следующее выражение для тензора кривизны в пространстве без кручения:

где

Это выражение полностью совпадает со своим аналогом (50), выведенным для гиперповерхностей. Соответственно для справедливы и свойства (55 - 58).

Таким образом, для пространств без кручения мы пришли (путем аксиоматизации) к результатам, выведенным для гиперповерхностей в плоских пространствах. Под плоскими мы имеем в виду и псевдоевклидовы пространства. Все, что мы говорили о гиперповерхностях в , легко обобщается для псевдоевклидовых пространств. Для этого достаточно обобщить понятие скалярного произведения векторов в соответствии с метрикой (59): если и , то

Отметим, что (59) представляет общий случай, так называемой, плоской метрики, когда при и при всех .

8. Некоторые общие свойства пространств без кручения.

Преобразованием координат метрический тензор в любой заданной точке можно привести к диагональному виду:

При этом числа положительных и отрицательных диагональных элементов не меняются при выборе другой точки (сигнатура сохраняется). Плоскую метрику вида (87) иногда называют галилеевой.

Если преобразование таково, что

то в новой системе координат . Такое преобразование называют переходом в локально-инерционную систему координат. Причем этот переход (в силу первого из соотношений (88)) не меняет значение любого тензора в точке . В частности, в локально-инерциальную систему можно переходить, сохраняя галилееву метрику (87) в данной точке. Кроме того, в этой системе ковариантная производная в данной точке совпадает с обычной (разумеется, это относится к "последней" производной, если было несколько операций дифференцирования).

Приведенные обстоятельства играют важную роль при анализе или упрощении тензорных выражений. Например, если нужно доказать, что некоторое тензорное выражение равно нулю, то достаточно это сделать в локально-инерциальной системе: обнулить символы Кристоффеля, от которых не берутся производные, и анализировать в данной точке то, что осталось.

В плоском пространстве определяется совершенно антисимметричный тензор такой, что . Причем

Допустим, таким является некоторый тензор в точке , где имеет место плоская метрика . Нетрудно показать, что в произвольной системе координат этот тензор имеет вид

(очевидно, что ). Ковариантная форма этого тензора записывается в виде

где - число отрицательных элементов в (как мы уже говорили, это число одинаковое для всех точек). Отметим, что . Это соотношение и имеется в виду при использовании знака модуля.

Эти тензоры полезны для компактного выражения элементов площадей, объемов и пр.:

есть тензорный элемент гиперповерхности, образуемый векторами

При эти векторы можно выбрать так, что

В результате из (92) получаем элемент -мерного объема

Приведем ряд полезных соотношений

Если и , то

Теперь рассмотрим вопрос об отображении данного неевклидового пространства гиперповерхностью некоторого плоского пространства.

Метрический тензор в имеет независимых компонент. Гиперповерхность в -мерном плоском пространстве, в котором точки задаются координатами , определяется метрикой

где задают гиперповерхность, а есть метрика плоского пространства. Подбирая плоское пространство с подходящей сигнатурой и соответствующим выбором функций , можно определить гиперповерхность с любой заданной метрикой, если

Важной характеристикой пространства является тензор кривизны (85). Число независимых компонент этого тензора равно Для гиперповерхности в -мерном плоском пространстве этот тензор определяется суммой вида (53):

Число независимых величин равно . Чтобы получить любой тензор кривизны, необходимо, чтобы это число было не меньше . Т.е. при

в -мерном плоском пространстве может быть определено -мерное искривленное пространство (без кручения) с любым заданным тензором кривизны.

Отметим, что при . В принципе, это очевидный факт, так как тензор кривизны полностью определяется метрикой, и равенства тензоров кривизны недостаточно для равенства метрик.

9. Физические процессы в пространстве-времени. Уравнения Эйнштейна.

Плоское пространство-время определяется метрикой (60). Отсюда следует, что в искривленном пространстве-времени сигнатура равна , а определитель . Координаты считаются пространственными координатами, а - временной. Иногда для временной координаты индекс заменяют на индекс (), тем самым выделяя особую роль времени ( - скорость света).

Искривленное пространство-время является объектом анализа общей теории относительности (ОТО), обобщающей теорию тяготения Ньютона.

По определению геодезические линии являются траекториями движения тел при отсутствии других видов взаимодействия. Причем безмассовые частицы (фотоны) движутся по изотропным кривым.

Все величины и уравнения в ОТО записываются в тензорном виде (производные заменяются на ковариантные производные, подъем и опускание индексов производится с помощью метрического тензора и т.п.).

Например, уравнения Максвелла для электромагнитного поля в плоской метрике записываются в виде

где

Если в искривленном пространстве-времени потенциалы и плотности определены соответственно в ковариантном () и контравариантном () видах, то (96) обобщается в следующей форме:

где

Приведенные выше законы движения частиц и уравнения Максвелла в ОТО опираются на одно важное обстоятельство: частицы и поля не меняют метрику пространства-времени (т.е. достаточно "малы"). Сама же метрика в первом приближении определяется массивными телами. Если же подходить строго, то свойства пространства-времени определяются всей совокупностью частиц и полей с учетом их динамики. Это выражается уравнениями Эйнштейна

где - гравитационная постоянная, а - тензор энергии-импульса, определяющий динамику материальных процессов.

Для макроскопических тел

где - плотность энергии, - давление, а - вектор скорости движения вещества в данной точке. Для электромагнитного поля

В общем случае уравнение (98) решается вместе с уравнениями для тел и полей. Например, если метрика определяется только электромагнитным полем, то в (98) стоит (100), и уравнения (98) необходимо решать вместе с уравнениями (97).

Содержание