![]() |
![]() |
|
![]() | ![]() |
Основы римановой геометрии
Во многом суть искривленных двумерных пространств иллюстрируется свойствами поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. При больших размерностях искривленных пространств аналогами могут служить гиперповерхности (подпространства) плоских пространств больших размерностей. Поэтому мы, прежде всего, рассмотрим геометрию таких гиперповерхностей.
1. Гиперповерхности в евклидовых пространствах.
В разделе "Основы евклидовой геометрии" мы на языке расстояний определили, что означает размерность пространства. Здесь мы сразу начнем с того, что будем идентифицировать точки пространства координатами в заданной прямоугольной декартовой системе координат. Обозначим через Компоненты вектора, связывающего две точки, являются разностями соответствующих координат. Поэтому в отличие от компонент радиус-векторов компоненты таких векторов не меняются при переносе начала координат (при трансляциях). Учитывая эту оговорку, мы будем называть любой набор чисел Любой такой вектор можно считать исходящим из любой точки Скалярное произведение двух произвольных векторов определяется, если его задать для базисных векторов. Скалярные произведения ортонормированных векторов определяются соотношениями Тогда скалярное произведение векторов Модуль (длина) вектора определяется в виде Два вектора Гиперповерхность Здесь и далее, если иное не оговорено, верхний символ есть индекс, а не показатель степени. Чтобы каждая точка где Область допустимых значений переменных Расстояние Здесь и далее, если греческие индексы повторяются сверху и снизу, то по ним производится суммирование от Кривую на Длина кривой от точки Если параметром где Кривая, соединяющая свои точки кратчайшими путями, называется геодезической линией. Фиксируя в (9) точки где а Таким образом,
2. Алгебра векторов на гиперповерхности.
Базовыми векторами в Если мы говорим, что некоторый вектор где В общем случае вектор где Преобразование координат где При этом Отсюда следует, что Естественно, что при этом сохраняются расстояния: В разделе "Тензоры" рассматриваются вопросы преобразования объектов при преобразовании координат. Тензорами считались объекты, которые преобразуются так, что каждый нижний индекс свертывается с верхним индексом матрицы Итак, набор величин Отметим, что свертка вектора с Рассмотрим на конкретных примерах геометрический смысл векторов в искривленном пространстве представляют ковариантный вектор в набор В разложении величины (далее В общем случае будем говорить, что совокупность векторов Из соотношений нетрудно найти связь символов Кристоффеля Отметим, что
3. Ковариантная производная.
Итак, частные производные от тензоров в При При Нетрудно убедиться, что в (20) выражение в скобках есть смешанный тензор 2-го ранга. Обозначим его через Таким образом, при которая называется ковариантным дифференцированием. Абсолютным дифференциалом контравариантного вектора Аналогично определяется абсолютный дифференциал ковариантного вектора При этом Вектор![]() ![]() ![]() Формула ковариантной производной от произвольного тензора имеет вид где Отметим одно важное обстоятельство: тензоры В силу того, что так как Это свойство, как увидим ниже, имеет особый смысл. Теперь пусть Введем обозначение (заметим, что Допустим, некоторое векторное поле Это поле однозначно определено лишь в Т.е. Чтобы при каждой операции дифференцирования получать вектора вида (31), достаточно каждый раз проецировать результаты в В результате общая формула ковариантного дифференцирования (26) имеет место и при Геометрический смысл ковариантной производной можно раскрыть следующим образом. Пусть В евклидовом пространстве было понятие параллельного переноса вектора, когда он переносился вдоль прямой в нужную точку, сохраняя углы этого вектора с базисными векторами. Если это обобщить на криволинейное пространство, то параллельный перенос Разумеется, в такой постановке мы привязываем перенос в Второе слагаемое в (35) представляет изменение Абсолютный дифференциал определяется как разность где есть обычный дифференциал, связанный с зависимостью компонент вектора от координат точки. Как видим, При
4. Тензор кривизны гиперповерхностей.
Пусть по прежнему Если кривая является геодезической, то ( По мере перебора направлений геодезических в данной точке величина а сами главные кривизны Мы не будет останавливаться на структуре корней этого уравнения. Отметим только то, что каждому из корней Дифференциал Выберем какие-либо два вектора Гауссова кривизна Введем тензор (суммирование по Учитывая (42), тензор (44) можно записать в виде где является тензором, антисимметричным внутри пар Отметим, что частные производные не зависят от номеров геодезических. Таким образом, тензор (47) зависит только от данной точки. В то же время, проецируя его на элемент площади какой-либо поверхности, проходящей через данную точку, мы определяем гауссову кривизну этой поверхности в данной точке. Учитывая все это, тензор Величины имеем Отсюда получим Выше мы полагали Вместо (49) имеем Суммируя (46) по каждой нормали получим следующее обобщения тензора кривизны Учитывая (52), нетрудно убедиться, что (53) в точности совпадает с (50). Отметим, что тензор кривизны, кроме всего прочего, определяет асимметрию при двойном ковариантном дифференцировании произвольного вектора При Приведем некоторые общие свойства тензора кривизны. Циклическая сумма, образованная по любым трем индексам, равна нулю: Свертка по индексам из разных пар дает симметричный тензор 2-го ранга, называемый тензором Риччи: Скалярная кривизна
5. Псевдоевклидово пространство.
Геометрия неевклидовых пространств в количественном плане немногим отличается от геометрии гиперповерхностей плоского пространства. Но в качественном плане речь идет о совершенно иных объектах. Во-первых, искривленные пространства рассматриваются сами по себе без какой-либо связи с пространствами большей размерности. Поэтому имеется большая свобода в выборе вариантов аксиоматики (аффинные пространства, пространства с кручением и т.д.). Во-вторых, связь двух близких точек неевклидового пространства характеризуется квадратичной формой, которая не обязательно является положительно определенной. В евклидовом пространстве Наиболее естественным и простым обобщением евклидовых пространств являются псевдоевклидовы пространства, в которых эту форму можно привести к виду Разность между числом положительных и отрицательных слагаемых в (59) называют сигнатурой пространства. Отметим, что случай Важное прикладное значение имеет 4-мерное псевдоевклидово пространство с сигнатурой, равной Квадратичную форму (59) обычно записывают в виде (выбрана система единиц, в которой скорость света равна единице). Физическая трактовка (60) следующая. Два события Линейные преобразования координат, не меняющие значение формы (60), являются или вращениями пространственных осей, или определяют переход к системе отсчета, движущейся с постоянной (по модулю и направлению) скоростью. Например, координаты где Системы отсчета, в которых интервал Прямые и плоские гиперповерхности в псевдоевклидовом пространстве определяются так же, как и в евклидовом пространстве - линейными функциями от параметров. Однако прямые при этом делятся на три разных класса в зависимости от знака квадратичной формы (59) (этот знак одинаков для любой пары точек данной прямой). В пространстве-времени прямые, вдоль которых
6. Неевклидовые пространства: определения.
Рассматривая искривленное пространство как самостоятельный объект, мы должны определять его свойства без всякой связи с пространством, в которое оно могло бы быть вложено. Есть различные варианты введения исходных понятий при определении таких пространств. В одном из вариантов сначала определяется пространство аффинной связности, когда задаются коэффициенты, от которых зависит изменение вектора при параллельном переносе. Т.е. по существу сначала определяется правило параллельного переноса. Затем определяются понятия ковариантной производной и геодезической. Например, геодезическая определяется как кривая, вектор касательной к которой в каждой точке является параллельно перенесенным из какой-либо другой точки кривой. Далее в этом аффинном пространстве задается метрика, определяющая обобщение квадратичной формы (59). В зависимости от свойств коэффициентов связности пространства могут быть с кручением и без кручения. Пространство без кручения полностью определяется метрическим тензором, и все его свойства совпадают с внутренними свойствами соответствующей (по метрике) гиперповерхности в евклидовом или псевдоевклидовом пространстве. Мы пойдем несколько иным путем. Сначала определим метрику. Геодезические будем определять как кривые, вдоль которых интервал, задаваемый квадратичной формой, минимален. А уже при определении абсолютного дифференциала выделим вариант, при котором задается пространство без кручения. Обозначим рассматриваемое Объект где (здесь и далее по повторяющимся сверху и снизу латинским индексам производится суммирование от Связь близких точек Здесь симметричный вещественный тензор Задание такого метрического тензора означает определение метрики в Тензор, обратный тензору С помощью преобразований координат квадратичную форму (62) можно в любой заданной точке привести к псевдоевклидовой форме (59). При этом сигнатура форм в разных точках будет одна и та же. Т.е. понятие сигнатуры формы имеет однозначный смысл и является одним из атрибутов данного пространства. Далее с помощью метрических тензоров мы будем опускать или поднимать индексы: Здесь требуется небольшое пояснение. Изначально какой-либо вектор задается или в ковариантном, или в контравариантном виде. Это касается и геометрических, и физических величин. Например, контравариантный вектор Кривые в где В случаях, когда сигнатура пространства по модулю не совпадает с его размерностью, квадратичная форма не является знакоопределенной. Поэтому в общем случае интервал между удаленными точками вдоль данной кривой не имеет действительного смысла. Чтобы характеризовать любые две точки кривой вещественным интервалом, далее будем говорить только о кривых, у которых квадратичная форма является знакоопределенной на всей данной кривой. Тогда интеграл имеет четкий аналитический смысл, и его можно считать интервалом вдоль данной кривой от точки Далее, не ограничивая общность, будем рассматривать кривые, у которых форма (67) является неотрицательной (при этом знак модуля в (68) можно опустить). Рассмотрим множество всевозможных кривых, проходящих через две данные точки Методом вариации интеграла (68) получим следующее уравнение для геодезической: где Из (69) имеем Если в какой-то точке геодезической Для прочих геодезических мы можем положить Для неизотропных геодезических можно ввести функцию где Таким образом, вектор
7. Абсолютный дифференциал и тензор кривизны.
Пусть дано векторное поле Обозначим через где Разность, сведенных таким образом в одну точку векторов, равна ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Приведенная операция переноса вектора называется параллельным переносом, если Нетрудно убедиться в следующем: Отсюда видно, что антисимметричная по нижним индексам часть является тензором. Величину Абсолютный дифференциал скаляра равен обычному дифференциалу. Т.е., учитывая свойства бесконечно малых приращений произведений, имеем Отсюда получим выражения для абсолютного дифференциала ковариантного вектора: Пространство без кручения определим следующим положением которым подчеркивается исключительная роль метрического тензора. Из (81) следует, что При этом тензор кручения тождественно равен нулю. В результате мы получим правила ковариантного дифференцирования тензоров, совпадающие со своими аналогами (26) для гиперповерхностей. Для определения тензора кривизны в точке Пусть некоторый вектор где где Это выражение полностью совпадает со своим аналогом (50), выведенным для гиперповерхностей. Соответственно для Таким образом, для пространств без кручения мы пришли (путем аксиоматизации) к результатам, выведенным для гиперповерхностей в плоских пространствах. Под плоскими мы имеем в виду и псевдоевклидовы пространства. Все, что мы говорили о гиперповерхностях в Отметим, что (59) представляет общий случай, так называемой, плоской метрики, когда
8. Некоторые общие свойства пространств без кручения.
Преобразованием координат метрический тензор в любой заданной точке При этом числа положительных и отрицательных диагональных элементов не меняются при выборе другой точки (сигнатура сохраняется). Плоскую метрику вида (87) иногда называют галилеевой. Если преобразование то в новой системе координат Приведенные обстоятельства играют важную роль при анализе или упрощении тензорных выражений. Например, если нужно доказать, что некоторое тензорное выражение равно нулю, то достаточно это сделать в локально-инерциальной системе: обнулить символы Кристоффеля, от которых не берутся производные, и анализировать в данной точке то, что осталось. В плоском пространстве определяется совершенно антисимметричный тензор Допустим, таким является некоторый тензор (очевидно, что где Эти тензоры полезны для компактного выражения элементов площадей, объемов и пр.: есть тензорный элемент гиперповерхности, образуемый векторами При В результате из (92) получаем элемент Приведем ряд полезных соотношений Если Теперь рассмотрим вопрос об отображении данного неевклидового пространства гиперповерхностью некоторого плоского пространства. Метрический тензор в где Важной характеристикой пространства Число независимых величин
в Отметим, что
9. Физические процессы в пространстве-времени. Уравнения Эйнштейна.
Плоское пространство-время определяется метрикой (60). Отсюда следует, что в искривленном пространстве-времени сигнатура равна Искривленное пространство-время является объектом анализа общей теории относительности (ОТО), обобщающей теорию тяготения Ньютона. По определению геодезические линии являются траекториями движения тел при отсутствии других видов взаимодействия. Причем безмассовые частицы (фотоны) движутся по изотропным кривым. Все величины и уравнения в ОТО записываются в тензорном виде (производные заменяются на ковариантные производные, подъем и опускание индексов производится с помощью метрического тензора и т.п.). Например, уравнения Максвелла для электромагнитного поля в плоской метрике записываются в виде где Если в искривленном пространстве-времени потенциалы и плотности определены соответственно в ковариантном ( где Приведенные выше законы движения частиц и уравнения Максвелла в ОТО опираются на одно важное обстоятельство: частицы и поля не меняют метрику пространства-времени (т.е. достаточно "малы"). Сама же метрика в первом приближении определяется массивными телами. Если же подходить строго, то свойства пространства-времени определяются всей совокупностью частиц и полей с учетом их динамики. Это выражается уравнениями Эйнштейна где Для макроскопических тел где В общем случае уравнение (98) решается вместе с уравнениями для тел и полей. Например, если метрика определяется только электромагнитным полем, то в (98) стоит (100), и уравнения (98) необходимо решать вместе с уравнениями (97). |
|