Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Дифференциальные уравнения с частными производными

 

1. Общие положения.

 

Мы ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений относительно одной функции от переменных. Многие системы уравнений, распространенные в практике, путем различных преобразований (замена или разделение переменных, дополнительное дифференцирование и т.д.) приводятся к уравнению с одной неизвестной функцией.

Основное внимание мы уделим линейным уравнениям, а в качестве конкретных примеров будем приводить "решаемые" уравнения. Для более сложных случаев существуют различные методы анализа (геометрическая интерпретация, характеристические уравнения, канонические преобразования и т.п.), направленные на то, чтобы получить хоть какую-нибудь информацию о свойствах решения. Однако эффективность этих методов заключается в основном в том, что сложная задача сводится к менее сложной, но по-прежнему не "решаемой".

Сложность задачи решения дифференциальных уравнений с частными производными связана с четырьмя факторами: число переменных , число неизвестных функций, степень нелинейности, граничные условия. Это ведет к задачам с таким разнообразием по сложности, что трудно говорить о каких-то общих методах анализа. Кроме того, существует диспропорция усилий, когда внимание к той или иной задаче зависит от ее актуальности и практической важности. Многие относительно простые математические задачи из-за отсутствия прикладного значения остаются без внимания, в то время как намного более сложные задачи являются объектами многочисленных исследований. Примером последних могут служить уравнения Эйнштейна в общей теории относительности. Нелинейность - дальше некуда, число неизвестных функций - десять, число переменных - четыре. И, тем не менее, рассмотрены различные случаи и получены различные варианты решений. В общем, как говорится, если очень нужно, то что-нибудь придумается.

Разумеется, такая ситуация характерна и для ряда других направлений математики. Уравнения с частными производными выделяются большей близостью к практике (к физическим теориям). Многие достижения в этом направлении связаны в основном с прикладными исследованиями. Поэтому желающим "копнуть глубже" имеет смысл обратиться в конкретные сферы практического приложения таких уравнений (сплошные среды, тяготение тел, деформации, квантовая механика, солитоны и пр.).

Общий вид уравнения -го порядка для функции имеет вид

где функция зависит хотя бы от одной частной производной -го порядка. Граничными условиями к уравнению (1) обычно являются задание функции и ее производных в некоторой -мерной области. Отметим, что решение даже относительно простого уравнения вида (1) может быть усложнено задачей удовлетворения граничным условиям.

В зависимости от вида функции используются различные методы решения или упрощения уравнения (1). Кроме замены переменных мы здесь отметим метод разделения переменных.

Рассматриваются различные варианты представления функции в виде произведения функций от разных переменных:

Если в каком-то варианте функция с точностью до множителя разлагается на сумму двух функций от разных переменных

то вместо (1) получим два уравнения, каждое из которых зависит от меньшего числа переменных

где - произвольная константа. Общих переменных у этих уравнений нет, т.е. их зависимость друг от друга определяется исключительно значением константы (имеется в виду, что ни при всяком значении оба уравнения приведут к решению, удовлетворяющему заданным граничным условиям).

Иногда удается, последовательно применяя метод разделения переменных, полностью расщепить исходное уравнение, т.е. получить набор уравнений для функций от одной переменной, связанных только значениями констант.

Для компактной записи выражений введем ряд обозначений. Наборы чисел будем обозначать соответствующими заглавными буквами и называть векторами -мерного арифметического пространства. Если у объекта или в произведении объектов один индекс повторяется дважды, то это означает суммирование по этому индексу от до . В частности, скалярное произведение двух векторов записывается в виде

Введем также следующие обозначения

Линейный оператор -го порядка зададим в виде

где - некоторые функции от .

 

2. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

 

Неоднородное линейное уравнение -го порядка относительно функции имеет вид

где - заданная функция.

Пусть в (5) коэффициенты являются константами. Обозначим через область, которая состоит из векторов , удовлетворяющих уравнению

Тогда решение однородного уравнения

можно записать в виде

где - произвольная функция.

Допустим в (5) функцию можно представить в виде -кратного интеграла по комплексным переменным:

Это возможно, если существует преобразование Лапласа:

Тогда частное решение уравнения (5) при постоянных коэффициентах можно записать в виде

А общее решение является суммой

Функция , стоящая в (7), определяется из граничных условий. А вот это уже может стать настоящей проблемой. Даже простейшие уравнения на практике могут быть связаны с такими граничными условиями, что аналитические методы будут бессильны или приведут к чрезвычайно громоздким результатам. Хотя эта проблема и выходит за рамки теории дифференциальных уравнений, необходимо иметь в виду следующее: сложность решения граничной задачи может зависеть от формы, в которой выражено решение дифференциального уравнения. Преобразование Лапласа является не единственным методом решения уравнения (5). Есть еще преобразование Фурье, разложение по ортогональным многочленам и прочие представления, связанные с тем или иным набором (счетным или несчетным) ортонормированных функций. Поэтому нужно смотреть, какое представление лучше всего подходит для данных граничных условий.

Уравнение 1-го порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

Выберем ортонормированных векторов , ортогональных вектору :

Тогда обратимые замены переменных

сводят уравнение (11) к уравнению для одной переменной:

Общее решение этого уравнения имеет вид

где - произвольная функция переменных . Если оказывается, что граничные условия задаются на области :

то, как видим из (13), никаких проблем в решении граничной задачи не возникает. Но если граничные условия задаются в иной области, проблемы возникают.

Уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

линейным преобразованием переменных можно привести к виду

где . В зависимости от значений (а точнее, от собственных значений матрицы ) уравнение (14) имеет различный физический смысл. При его называют параболическим. Если , то речь идет об эллиптическом уравнении. В гиперболическом уравнении все отличны от нуля, и хотя бы один из этих коэффициентов отличается по знаку от остальных.

Ниже все эти уравнения рассмотрены в реальном пространстве-времени.

 

3. Уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

 

Пусть функция есть некоторая физическая величина, которая зависит от времени и радиус-вектора точки 3-мерного евклидового пространства (координаты относятся к декартовой прямоугольной системе координат).

Параболическое уравнение (диффузия, теплопроводность и т.д.):

Для граничных условий, являющихся начальными условиями

решение уравнения (15) при можно записать в виде

где

Предел

называют 3-мерной -функцией, обладающей следующими свойствами:

Здесь и далее интегрирование ведется по всему 3-мерному пространству.

Гиперболическое уравнение (волновые процессы) в общей форме имеет вид

С помощью преобразования Фурье это уравнение сводится к уравнению второго порядка для одной переменной . При начальных условиях

решение уравнения (17) можно записать в виде

где

При приходим к незатухающим волнам.

Эллиптическим уравнением может быть стационарный вариант уравнения (17):

Решение этого уравнения зависит от знака коэффициента . Общая форма этого решения имеет вид

где - произвольная функция углов; - единичный вектор:

Если , то

Если же , то

При нахождении (22) учтено, что

Если , то (22), где , является частным решением, а решение однородного уравнения

в зависимости от дополнительных условий (ограниченность, однозначность, краевые условия и т.п.) выражаются с помощью того или иного набора констант.

В сферических координатах

решение уравнения (23) можно записать в виде

где удовлетворяет уравнению

а и - произвольные константы. Функцию называют присоединенной функцией Лежандра 1-го рода.

Если и есть целые числа, то (24) является однозначной функцией от и . Тогда общее однозначное решение уравнения (23) можно представить суммой

где - константы, выбор которых ограничен требованием сходимости суммы (25) в заданной области пространства. Если требуется регулярность при , то . Если же нужно, чтобы решение не расходилось при , то нужно положить .

Отметим, что все полученные результаты применимы к одномерным и двумерным процессам (струны, мембраны и т.д.). Для этого достаточно считать, что в уравнениях все функции зависят от одной или двух пространственных координат:

или

 

4. Уравнения 1-го порядка.

 

Более общие случаи (переменные коэффициенты, нелинейность и т.п.) мы рассмотрим на примере уравнений 1-го порядка.

Пусть уравнение (1) линейно относительно частных производных:

где являются некоторыми функциями вектора . Рассмотрим всевозможные обратимые замены переменных

где - дифференцируемые функции. Если среди этих замен есть такая, что

то (26) переходит в уравнение для функции от одной переменной:

(здесь переменные выступают в роли параметров).

Если уравнение (26) линейное или его правую часть можно представить в виде , то (28) разрешается в квадратурах.

Таким образом, переход от (26) к (28) связан с решением системы линейных уравнений (27). В случаях, когда все являются константами, для решения системы (27) достаточно найти линейно независимых векторов, ортогональных вектору , т.е.

Систему уравнений с несколькими неизвестными функциями часто можно свести к уравнению с одной неизвестной (точнее, расщепить на независимые уравнения). Для примера рассмотрим векторные функции в 3-мерном пространстве. Любую векторную функцию можно представить суммой

где

Тогда

Соотношения (31) могут служить основой для расщепления системы уравнений на отдельные уравнения, не связанные друг с другом.

Продемонстрируем это на уравнениях Максвелла, выраженных через напряженности электрического () и магнитного () полей:

где - плотность заряда, - плотность вектора тока.

Замена

где скалярный и векторные потенциалы и связаны соотношением

приводит к следующим уравнениям

где

Как видим, каждое из четырех уравнений (35) относится к одной функции.

Отметим, что в (32) мы имели уравнений 1-го порядка, а в (35) имеем уравнения 2-го порядка. Т.е. сумма порядков уравнений сохраняется. Это и естественно, так как число свободных "констант" уравнения (имеется в виду произвольные функции, от которых зависит общее решение) равно его порядку. Полная эквивалентность разных систем уравнений означает, что общее число таких "констант" должно быть одинаковым для обеих систем.

Содержание