Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

 

1. Общие положения.

 

Уравнения, которые наряду с заданными функциями содержат производные от неизвестных (искомых) функций, называются дифференциальными. Они делятся на два вида: уравнения с производными от функций одной переменной и уравнения с частными производными от функций нескольких переменных. Первые называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Обыкновенные уравнения в свою очередь подразделяются на уравнения для одной функций и систем уравнений для нескольких функций. Как будет показано ниже, вторые можно свести к первым (и наоборот). Поэтому ниже мы в основном будем рассматривать уравнения для одной функции.

Дифференциальные уравнения могут быть линейными (относительно искомой функции и ее производных) и нелинейными. Линейные уравнения подразделяются на уравнения с постоянными коэффициентами и на уравнения, в которых эти коэффициенты являются заданными функциями.

Будем обозначать аргумент через , а искомую функцию - . Для производных введем следующее обозначение:

Общая форма обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид

где называют порядком уравнения, - некоторая заданная (обычно непрерывная) функция от переменных.

Решение уравнения (1) зависит от констант :

Константы определяются путем задания условий, связанных со значениями функции или ее производных при каких-то . Из различных вариантов таких условий особо выделяют два следующих.

  1. Начальные условия (задача Коши):
  2. Краевые условия (краевая задача) связаны с заданием значений функции и ее производных в разных точках. Например, при :

Вопрос о существовании решения уравнения (1) является отдельной темой. Мы здесь не будем касаться этого вопроса, и все внимание уделим анализу решения уравнения. Результаты этого анализа условно можно разделить на следующие варианты.

  1. Указывается метод нахождения всех или части решений уравнения. Причем решением считается не только выражение искомой функции в аналитическом виде (с помощью элементарных функций), но также и представление этого решения в так называемых квадратурах, т.е. как интегралы от известных функций.
  2. Приведение исходного уравнения к более простому виду. В частности, к уравнению меньшего порядка. Или линеаризация уравнения. Отметим также приведение к стандартным уравнениям, решения которых выражаются так называемыми специальными функциями.
  3. Выводы о каких-то общих свойствах решений - число линейно независимых решений, асимптотики и т.п.

 

2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

 

Будем идти от простого к сложному. Наиболее простым является линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

где (далее считаем ), а - заданная функция. Если , то заменой уравнение (3) превращается в уравнение -го порядка. Поэтому положим . Функцию , определенную в некоторой области (), будем считать интегрируемой достаточное число раз.

Общее решение уравнения (3) означает запись решения в такой форме, что любое решение уравнения будет частным случаем этой формы. При этом вид общего решения не должен измениться при добавлении любого решения однородного уравнения

Таким образом, общее решение уравнения (3) складывается из любого частного решения этого уравнения и линейной комбинации решений однородного уравнения (4). Позже мы приведем весь набор линейно независимых решений уравнения (4), а сейчас отметим, что

является решением этого уравнения, если удовлетворяет уравнению

Обозначая через - корни алгебраического уравнения (6), уравнение (3) можно записать в виде

где есть оператор производной: .

Оператор , обратный оператору , имеет следующий смысл:

Если в (8) сделать замену , то получим

Т.е.

где - произвольные константы, причем, если , то можно положить .

Последовательно действуя на обе части уравнения (7) обратными операторами (в любом порядке), получим

(здесь - константы, причем , как и ).

К решению (10) можно прибавить любое решение уравнения (4), которое мы запишем в общем виде

где - константы, а - набор линейно независимых решений уравнения (4). Если все корни различные, то эти решения имеют вид (5), т.е.

При кратности корней этот набор видоизменяется. Так, если корень имеет кратность , то ему соответствуют решения

В общем случае получим, обозначая ,

где кратность корня , причем . Т.е. в (11)

 

Отметим, что решение вида (12) автоматически получается из (10), если в последнем считать, что . Тем не менее имеет смысл записывать общее решение уравнения (3) в виде суммы решений (10) и (11):

Здесь из констант и лишь констант являются независимыми. Т.е. (13), в конечном счете, будет иметь вид

где константы являются определенными функциями констант, содержащихся в (13).

Излишек констант оставляет нам свободу маневра в различных приложениях. Именно с этой целью мы и записали общее решение в форме (13). Если это решение используется в каких-то аналитических выкладках, то удобнее считать, что (т.е. ограничиться решением (10)). Если речь идет, например, о нахождении решения с начальными условиями (2), то можно положить , а рассчитывать из системы линейных уравнений

Отметим, что решение (10) в действительности не зависит от порядка, в котором пронумерованы корни. Однако интегрирование упрощается, если номера кратных корней следуют друг за другом.

В случае вещественности уравнения (3) комплексные корни уравнения (6) попарно сопряжены. Поэтому подходящим подбором констант решение уравнения (3) может быть записано в действительной форме. Однако при этом иногда удобнее пользоваться комплексным решением, сокращая в два раза число констант.

Из уравнений 2-го порядка важным для приложений является уравнение, описывающее вынужденные колебания при наличии диссипативных сил (трения). Считая переменной время , это уравнение можно записать в виде:

где и - действительные числа, причем .

Корни соответствующего алгебраического уравнения сопряжены и равны

В наиболее простой форме решение уравнения (15) имеет вид

где и произвольные константы. Обычно в задачах для колебаний задаются начальные условия: . Тогда и рассчитываются из уравнений

Отметим, что уравнение (15) и его решение (17) являются общими для всех уравнений 2-го порядка и их решений, если считать параметры и какими угодно числами, в частности, комплексными.

 

3. Линейные уравнения с переменными коэффициентами.

 

Пусть теперь в уравнении (3) коэффициенты зависят от . Не ограничивая общность, по-прежнему будем считать, что . Это эквивалентно делению уравнения на .

Введем обозначения для операторов:

Общее решение уравнения

складывается из его частного решения и решений однородного уравнения

Напомним определение понятия линейной независимости функций. Функции являются линейно независимыми в области , если при всех равенство

возможно только в случае . Необходимым и достаточным условием линейной независимости является отличие от нуля определителя Вронского (вронскиана):

Однородное уравнение может иметь множество различных решений. Однако среди них может быть не больше линейно независимых. Общей процедуры расчета этих решений при не существует. Но если известны эти решения, то это определяет решение уравнения (21).

Пусть есть набор линейно независимых решений однородного уравнения (22). Тогда оператор аналогично (7) может быть разложен на произведение операторов 1-го порядка по производной.

С этой целью определим оператор

Обратный оператор такой, что , определяется уравнением

Решение уравнения (24) запишем в виде

где константы и можно связать каким-либо одним соотношением (например, если , то можно считать ).

Таким образом,

где неопределенный интеграл имеет смысл, указанный в (25) (считается, что неопределенный интеграл от нуля равен константе).

С учетом свойств оператора оператор разлагается в виде

где находятся из рекуррентных формул:

Обозначим через оператор

Так как

имеем

Это значит, что любое частное решение (21) можно записать в виде

Таким образом, (31) вместе с (28) представляют четкий и однозначный (с точность до выбора констант интегрирования) алгоритм расчета частного решения, если известны линейно независимых решений однородного уравнения. Общее решение складывается из (31) и произвольной линейной комбинации

где - константы.

Все константы, входящие в сумму решений (31) и (32), в конечном счете, будут, входить в эту сумму через функций от этих констант. Избыток констант оставляет свободу в выборе значений для "лишних" констант. Те или иные соображения и обстоятельства (упрощение интегрирования, вид начальных или граничных условий, варианты использования решений и т.п.) могут потребовать разные варианты таких выборов.

При другой нумерации линейно независимых решений однородного уравнения в частном решении (31) изменится лишь зависимость от констант. Причем это изменение может быть сведено на нет путем преобразований и переобозначений в наборе констант.

Явной симметрией обладает следующее представление частного решения:

где функции находятся из системы линейных уравнений

Так как функции линейно независимы, определитель Вронского отличен от нуля:

Поэтому система уравнений (34) имеет решение

где - алгебраическое дополнение элемента в матрице .

Выбор между представлениями решения (31) и (33) зависит от конкретных обстоятельств (видом функций , граничных условий и пр.). Но в плане общего анализа, когда решение используется в аналитических выкладках без конкретизации функций, входящих в него, предпочтительнее представление (31). Компактные рекуррентные соотношения (28) более удобны для анализа, чем громоздкие определители матриц.

 

4. Однородные уравнения с переменными коэффициентами.

 

Итак, задача решения неоднородного уравнения (21) сводится к поиску решений однородного уравнения (22). И здесь общего алгоритма нет. Ниже приведены некоторые способы, которые могут упростить задачу.

Если известны линейно независимых решений уравнения (22), то остальные решения будут удовлетворять уравнению -го порядка. Учитывая представление оператора в форме (27), это можно легко показать.

Пусть известные линейно независимые решения уравнения (22). Произведем замену

где

Тогда

есть уравнение -го порядка относительно . Т.е., подставляя в (22) замену (35), мы обязательно придем к уравнению вида

Причём нетривиальные решения этого уравнения определяют только неизвестные решения уравнения (22). Действительно, если , то из (35) следует, что .

Лишь при уравнение (22) можно решить в общем виде:

При общего алгоритма решения нет. К примеру, уравнение (22) при можно записать в виде

где ; - есть два линейно независимых решения (т.е., полагая в (38) или , мы получим тождество). Из соотношений

можно получить отдельные уравнения для и . Эти уравнения одинаковые и имеют вид

Данное уравнение называется уравнением Рикати и в общем случае решается лишь численными методами.

Разумеется, в тех или иных конкретных случаях удается различными методами, переборами вариантов и т.п. найти какие-либо (а иногда и все) решения. Наиболее распространенным является метод замены переменных:

Рассматривая различные варианты функций и , ищут уравнение для , которое наиболее удобно для анализа. Ниже при любой замене будем говорить об уравнении относительно .

Если изначально или после замены переменных оператор имеет вид

где - оператор -го порядка, то первые решений получаются автоматически:

Если аналогично (41) разлагается левая часть оператора :

то задача опять сводится к решению уравнения -го порядка. А точнее, первые решений исходного уравнения являются решениями однородного уравнения

а остальные решений являются частными решениями неоднородных уравнений с разными правыми частями:

где зависят от в соответствии с (42).

Особо выделяются уравнения, в которых коэффициентами являются полиномы от . Решения таких уравнений можно представить в виде рядов

где определяются рекуррентными соотношениями вида

Из уравнений 2-го порядка к указанным относятся так называемые гипергеометрические уравнения и ряд других, решения которых называют специальными функциями.

Приведем некоторые из них (ниже везде ).

  1. Многочлены Эрмита

    удовлетворяют уравнению

  2. Многочлены Лежандра

    удовлетворяют уравнению

  3. Многочлены Лагерра

    удовлетворяют уравнению

  4. Многочлены Чебышева

    удовлетворяют уравнению

Эти многочлены называются ортогональными, так как интегралы с тем или иным весом от произведения двух функций разного индекса равны нулю. Например,

Отметим, что приведенные многочлены не являются единственными решениями соответствующих уравнений. Вторые решения обычно не рассматриваются, так как они не удовлетворяют некоторым физическим условиям (ограниченность, интегрируемость и т.п.).

Многие из остальных специальных функций нельзя представить конечной суммой по степеням аргумента. К ним относятся и цилиндрические функции (функции Бесселя, Неймана, Ганкеля и ряд их модификаций), которые удовлетворяют уравнению

где - действительное число.

Аналитическое продолжение таких функций на комплексную плоскость приводит к еще большему разнообразию решений.

Отметим также, что специальные функции наряду с тригонометрическими функциями могут служить базисными функциями при разложении функций в ряды или интегралы.

 

5. Нелинейные уравнения.

 

Уравнение 1-го порядка

имеет решение, удовлетворяющее условию , если функция непрерывна в окрестности значений .

Основной метод анализа (51) - это обратимое преобразование (замена переменных):

где .

В новых переменных уравнение (51) имеет вид

где .

Приведем некоторые виды разрешаемых уравнений.

  1. Если в (51) , то оно называется уравнением с разделяющимися переменными. Его решение можно выразить в квадратурах (через неопределенные интегралы):

    где - произвольная константа.

  2. Если в (51) , то замена приводит к уравнению с разделяющимися переменными:

  3.  

  4. Если уравнение (51) можно представить в виде

    так, что найдется интегрирующий множитель такой, что

    то решение аналогично (54) можно записать в неявном виде:

    (здесь при интегрировании по одной переменной вторая считается константой).

Некоторые уравнения заменой переменных можно привести к линейному виду. В частности, уравнение Рикати

при замене переходит в линейное уравнение 2-го порядка:

 

Иногда вместо уравнения (51) удобнее анализировать уравнение для обратной функции :

Среди нелинейных уравнений 2-го порядка

прежде всего следует отметить те, в которых изначально или после различных преобразований отсутствует явная зависимость от . Такие уравнения можно свести к уравнениям 1-го порядка.

Уравнение

при умножении на и интеграции по сводится к виду

А уравнение (61) разрешается в квадратурах:

Уравнение

сводится к двум отдельным уравнениям 1-го порядка:

Всякое уравнение -го порядка

заменами приводится к системе уравнений 1-го порядка:

Система уравнений 1-го порядка

может быть сведена к уравнению -го порядка, если все функции непрерывно дифференцируемы раз, и в нижеследующих преобразованиях обеспечивается обратимость функций.

Выберем из (65) какое-либо уравнение, например, первое

Последовательно дифференцируя это уравнение по , и каждый раз подставляя в результат производные получим систему уравнений вида

Из первых уравнений (66) при условии, что система (65) не расщепляется, найдем

Подставив (67) в последнее из уравнений (66), получим уравнение -го порядка для :

Если система уравнений (65) расщепляется на две (или более) системы уравнений, которые не содержат общих неизвестных, то придем к двум (или более) уравнениям, суммарный порядок которых равен нулю.

Выше мы преднамеренно не уточняли, является ли действительной переменной или нет. Дело в том, что пока решение записывается через неопределенные интегралы (т.е. константы остаются неопределенными) мы можем считать как действительной, так и комплексной переменной. Это дает свои преимущества, так как определенный интеграл в комплексной плоскости в общем случае зависит от пути интегрирования. Т.е. решение, выраженное в комплексной форме, может содержать в себе несколько решений (а иногда и все решения).

Содержание