|
|
 |
|
 | |
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Общие положения.
Уравнения, которые наряду с заданными функциями содержат производные от неизвестных (искомых) функций, называются дифференциальными. Они делятся на два вида: уравнения с производными от функций одной переменной и уравнения с частными производными от функций нескольких переменных. Первые называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Обыкновенные уравнения в свою очередь подразделяются на уравнения для одной функций и систем уравнений для нескольких функций. Как будет показано ниже, вторые можно свести к первым (и наоборот). Поэтому ниже мы в основном будем рассматривать уравнения для одной функции. Дифференциальные уравнения могут быть линейными (относительно искомой функции и ее производных) и нелинейными. Линейные уравнения подразделяются на уравнения с постоянными коэффициентами и на уравнения, в которых эти коэффициенты являются заданными функциями. Будем обозначать аргумент через
Общая форма обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид где Решение уравнения (1) зависит от Константы определяются путем задания
Вопрос о существовании решения уравнения (1) является отдельной темой. Мы здесь не будем касаться этого вопроса, и все внимание уделим анализу решения уравнения. Результаты этого анализа условно можно разделить на следующие варианты.
2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Будем идти от простого к сложному. Наиболее простым является линейное уравнение с постоянными коэффициентами: где Общее решение уравнения (3) означает запись решения в такой форме, что любое решение уравнения будет частным случаем этой формы. При этом вид общего решения не должен измениться при добавлении любого решения Таким образом, общее решение уравнения (3) складывается из любого частного решения этого уравнения и линейной комбинации решений однородного уравнения (4). Позже мы приведем весь набор линейно независимых решений уравнения (4), а сейчас отметим, что является решением этого уравнения, если Обозначая через где Оператор Если в (8) сделать замену
Т.е. где Последовательно действуя на обе части уравнения (7) обратными операторами (в любом порядке), получим (здесь К решению (10) можно прибавить любое решение уравнения (4), которое мы запишем в общем виде где
При кратности корней этот набор видоизменяется. Так, если корень
В общем случае получим, обозначая где
Отметим, что решение вида (12) автоматически получается из (10), если в последнем считать, что Здесь из
где константы Излишек констант оставляет нам свободу маневра в различных приложениях. Именно с этой целью мы и записали общее решение в форме (13). Если это решение используется в каких-то аналитических выкладках, то удобнее считать, что Отметим, что решение (10) в действительности не зависит от порядка, в котором пронумерованы корни. Однако интегрирование упрощается, если номера кратных корней следуют друг за другом. В случае вещественности уравнения (3) комплексные корни уравнения (6) попарно сопряжены. Поэтому подходящим подбором констант решение уравнения (3) может быть записано в действительной форме. Однако при этом иногда удобнее пользоваться комплексным решением, сокращая в два раза число констант. Из уравнений 2-го порядка важным для приложений является уравнение, описывающее вынужденные колебания при наличии диссипативных сил (трения). Считая переменной время где Корни соответствующего алгебраического уравнения сопряжены и равны В наиболее простой форме решение уравнения (15) имеет вид где Отметим, что уравнение (15) и его решение (17) являются общими для всех уравнений 2-го порядка и их решений, если считать параметры
3. Линейные уравнения с переменными коэффициентами.
Пусть теперь в уравнении (3) коэффициенты Введем обозначения для операторов: Общее решение уравнения складывается из его частного решения и решений однородного уравнения Напомним определение понятия линейной независимости функций. Функции
возможно только в случае
Однородное уравнение может иметь множество различных решений. Однако среди них может быть не больше Пусть С этой целью определим оператор Обратный оператор Решение уравнения (24) запишем в виде где константы Таким образом, где неопределенный интеграл имеет смысл, указанный в (25) (считается, что неопределенный интеграл от нуля равен константе). С учетом свойств оператора где Обозначим через Так как
имеем Это значит, что любое частное решение (21) можно записать в виде Таким образом, (31) вместе с (28) представляют четкий и однозначный (с точность до выбора констант интегрирования) алгоритм расчета частного решения, если известны где Все константы, входящие в сумму решений (31) и (32), в конечном счете, будут, входить в эту сумму через При другой нумерации линейно независимых решений однородного уравнения в частном решении (31) изменится лишь зависимость от констант. Причем это изменение может быть сведено на нет путем преобразований и переобозначений в наборе констант. Явной симметрией обладает следующее представление частного решения: где функции Так как функции
Поэтому система уравнений (34) имеет решение
где Выбор между представлениями решения (31) и (33) зависит от конкретных обстоятельств (видом функций
4. Однородные уравнения с переменными коэффициентами.
Итак, задача решения неоднородного уравнения (21) сводится к поиску решений однородного уравнения (22). И здесь общего алгоритма нет. Ниже приведены некоторые способы, которые могут упростить задачу. Если известны Пусть где
Тогда
есть уравнение Причём нетривиальные решения этого уравнения определяют только неизвестные решения уравнения (22). Действительно, если Лишь при При где
можно получить отдельные уравнения для Данное уравнение называется уравнением Рикати и в общем случае решается лишь численными методами. Разумеется, в тех или иных конкретных случаях удается различными методами, переборами вариантов и т.п. найти какие-либо (а иногда и все) решения. Наиболее распространенным является метод замены переменных: Рассматривая различные варианты функций Если изначально или после замены переменных оператор где Если аналогично (41) разлагается левая часть оператора
то задача опять сводится к решению уравнения
а остальные где Особо выделяются уравнения, в которых коэффициентами являются полиномы от где Из уравнений 2-го порядка к указанным относятся так называемые гипергеометрические уравнения и ряд других, решения которых называют специальными функциями. Приведем некоторые из них (ниже везде
Эти многочлены называются ортогональными, так как интегралы с тем или иным весом от произведения двух функций разного индекса равны нулю. Например,
Отметим, что приведенные многочлены не являются единственными решениями соответствующих уравнений. Вторые решения обычно не рассматриваются, так как они не удовлетворяют некоторым физическим условиям (ограниченность, интегрируемость и т.п.). Многие из остальных специальных функций нельзя представить конечной суммой по степеням аргумента. К ним относятся и цилиндрические функции (функции Бесселя, Неймана, Ганкеля и ряд их модификаций), которые удовлетворяют уравнению где Аналитическое продолжение таких функций на комплексную плоскость приводит к еще большему разнообразию решений. Отметим также, что специальные функции наряду с тригонометрическими функциями могут служить базисными функциями при разложении функций в ряды или интегралы.
5. Нелинейные уравнения.
Уравнение 1-го порядка имеет решение, удовлетворяющее условию Основной метод анализа (51) - это обратимое преобразование (замена переменных): где В новых переменных уравнение (51) имеет вид где Приведем некоторые виды разрешаемых уравнений.
Некоторые уравнения заменой переменных можно привести к линейному виду. В частности, уравнение Рикати при замене
Иногда вместо уравнения (51) удобнее анализировать уравнение для обратной функции Среди нелинейных уравнений 2-го порядка прежде всего следует отметить те, в которых изначально или после различных преобразований отсутствует явная зависимость от Уравнение
при умножении на А уравнение (61) разрешается в квадратурах: Уравнение
сводится к двум отдельным уравнениям 1-го порядка: Всякое уравнение
заменами
Система уравнений 1-го порядка может быть сведена к уравнению Выберем из (65) какое-либо уравнение, например, первое
Последовательно дифференцируя это уравнение по Из первых Подставив (67) в последнее из уравнений (66), получим уравнение Если система уравнений (65) расщепляется на две (или более) системы уравнений, которые не содержат общих неизвестных, то придем к двум (или более) уравнениям, суммарный порядок которых равен нулю. Выше мы преднамеренно не уточняли, является ли |
|
|
|
|
, а искомую функцию - 
. Для производных введем следующее обозначение:
называют порядком уравнения, 
- некоторая заданная (обычно непрерывная) функция от 
переменных.
констант 
:
условий, связанных со значениями функции 
или ее производных при каких-то 
. Из различных вариантов таких условий особо выделяют два следующих.
и ее производных в разных точках. Например, при 
:
(далее считаем 
), а 
- заданная функция. Если 
, то заменой 
уравнение (
-го порядка. Поэтому положим 
. Функцию 
, определенную в некоторой области 
(
), будем считать интегрируемой достаточное число раз.
однородного уравнения
удовлетворяет уравнению
- корни алгебраического уравнения (
есть оператор производной: 
.
, обратный оператору 
, имеет следующий смысл:
, то получим
- произвольные константы, причем, если 
, то можно положить 
.
- константы, причем 
, как и 
).
- константы, а 
- набор линейно независимых решений уравнения (
различные, то эти решения имеют вид (
имеет кратность 
, то ему соответствуют решения
, 
кратность корня 
, причем 
. Т.е. в (
. Тем не менее имеет смысл записывать общее решение уравнения (
констант 
и 
лишь 
констант являются независимыми. Т.е. (
являются определенными функциями констант, содержащихся в (
(т.е. ограничиться решением (
, а 
рассчитывать из системы линейных уравнений
, это уравнение можно записать в виде:
и 
- действительные числа, причем 
.
и 
произвольные константы. Обычно в задачах для колебаний задаются начальные условия: 
. Тогда 
и 
рассчитываются из уравнений
и 
какими угодно числами, в частности, комплексными.
зависят от 
. Не ограничивая общность, по-прежнему будем считать, что 
. Это эквивалентно делению уравнения на 
.
являются линейно независимыми в области 
, если при всех 
равенство
. Необходимым и достаточным условием линейной независимости является отличие от нуля 
линейно независимых. Общей процедуры расчета этих решений при 
не существует. Но если известны эти решения, то это определяет решение уравнения (
есть набор линейно независимых решений однородного уравнения (
аналогично (
такой, что 
, определяется уравнением
и 
можно связать каким-либо одним соотношением (например, если 
, то можно считать 
).
оператор 
разлагается в виде
находятся из рекуррентных формул:
оператор
линейно независимых решений однородного уравнения. Общее решение складывается из (
- константы.
функций от этих констант. Избыток констант оставляет свободу в выборе значений для "лишних" констант. Те или иные соображения и обстоятельства (упрощение интегрирования, вид начальных или граничных условий, варианты использования решений и т.п.) могут потребовать разные варианты таких выборов.
находятся из системы линейных уравнений
линейно независимы, определитель Вронского отличен от нуля:
- алгебраическое дополнение элемента 
в матрице 
.
, граничных условий и пр.). Но в плане общего анализа, когда решение используется в аналитических выкладках без конкретизации функций, входящих в него, предпочтительнее представление (
линейно независимых решений уравнения (
-го порядка. Учитывая представление оператора 
в форме (
известные линейно независимые решения уравнения (
-го порядка относительно 
. Т.е., подставляя в (
, то из (
.
уравнение (
общего алгоритма решения нет. К примеру, уравнение (
можно записать в виде
; 
- есть два линейно независимых решения (т.е., полагая в (
или 
, мы получим тождество). Из соотношений
и 
. Эти уравнения одинаковые и имеют вид
и 
, ищут уравнение для 
, которое наиболее удобно для анализа. Ниже при любой замене будем говорить об уравнении относительно 
.
имеет вид
- оператор 
-го порядка, то первые 
решений получаются автоматически:
:
-го порядка. А точнее, первые 
решений исходного уравнения являются решениями однородного уравнения
решений являются частными решениями неоднородных уравнений с разными правыми частями:
зависят от 
в соответствии с (
. Решения таких уравнений можно представить в виде рядов
определяются рекуррентными соотношениями вида
).
- действительное число.
, если функция 
непрерывна в окрестности значений 
.
.
.
, то оно называется 
- произвольная константа.
, то замена 
приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
такой, что
переходит в линейное уравнение 2-го порядка:
:
. Такие уравнения можно свести к уравнениям 1-го порядка.
и интеграции по 
сводится к виду
-го порядка
приводится к системе уравнений 1-го порядка:
-го порядка, если все функции 
непрерывно дифференцируемы 
раз, и в нижеследующих преобразованиях обеспечивается обратимость функций. 
, и каждый раз подставляя в результат производные 
получим систему уравнений вида
уравнений (
-го порядка для 
:
действительной переменной или нет. Дело в том, что пока решение записывается через неопределенные интегралы (т.е. константы остаются неопределенными) мы можем считать 
как действительной, так и комплексной переменной. Это дает свои преимущества, так как определенный интеграл в комплексной плоскости в общем случае зависит от пути интегрирования. Т.е. решение, выраженное в комплексной форме, может содержать в себе несколько решений (а иногда и все решения).
