Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Числа. Арифметика чисел

 

Производится последовательное расширение класса чисел. Каждый шаг расширения связан с необходимостью увеличения сферы применимости введенных операций. При этом появляется возможность определения новых операций. Конечной целью является определение поля чисел, в котором все возможные операции стали бы безусловными. Безусловность (замкнутость, всеобщность) некоторой операции в данном классе чисел означает, что она применима ко всем числам (точнее, к любой паре чисел) этого класса и результат каждой операции принадлежит этому классу.

 

1. Целые числа

 

Исходными понятиями являются противоположности: "ничто" и "нечто". Или другими словами - "нет" и "есть". Информация, которая поступает из окружающего мира, воспринимается нами как совокупность выборов между этими крайностями. Соответственно вначале (т.е. до введения каких-либо операций) мы можем осмыслить лишь число ("ничто", "нет") и число ("нечто", "есть"). Заметьте, что мы пока избегали слова "два" (два числа, две крайности), так как не "знаем" смысл этого слова.

При определении операции сложения (обозначение ) естественно исходить из того, что "ничто" ничего не изменяет. Поэтому

(знак "=" означает словосочетание "то же самое, что"). Однако эта операция не является замкнутой, так как не определен результат сложения . Для замыкания операции сложения необходимо расширить поле чисел.

Назовем новым числом и обозначим его знаком "" ("два"). Это первый шаг. Число определено, и понятие "2-ой шаг" приобретает смысл. На 2-ом шаге называем числом . И так шаг за шагом: на -ом шаге сумму называем новым числом, идентифицируя его некоторым символом, далее -ый шаг и т.д. Продолжая эту процедуру сколь угодно долго, мы определяем натуральный ряд: целые числа, упорядоченные по возрастанию.

Подчеркнем, что мы пока только выстроили числа в некий ряд (пронумеровали что-то) и сложение определено лишь как прибавление к данному числу числа . Например,

.

Здесь и далее скобками определяется очередность операций (сначала производится операция под внутренними скобками, затем под следующими и т.д.)

Но что означает, например,

И здесь возможны варианты (первая развилка). Мы выбираем наиболее естественный (простой, экономичный) вариант, основанный на том, что при сложении расстановка скобок (очередность) не имеет значение. Т.е. постулируем коммутативность (перестановочность слагаемых) и ассоциативность (перестановочность скобок) операции сложения:

для любых целых чисел .

Таким образом, сложение определено для всех целых чисел и, как нетрудно показать, это определение однозначное (сумма двух данных чисел равна одному и только одному из целых чисел). Понятие упорядоченности теперь можно уточнить введением понятий "больше" (знак ) и "меньше" (знак ): (или , что то же самое) тогда и только тогда, когда найдется число , не равное (), такое, что . Для любой заданной пары чисел и имеет место одно и только одно из следующих соотношений:

Знаки неравенства и равенства можно объединять: знак означает "больше или равно", знак - "меньше или равно". Два неравенства вида и записывают в виде .

В приведенном выше вся суть арифметики целых чисел. Остальные правила и операции однозначным образом следуют из сказанного. В частности, операция умножения есть лишь сокращенная форма записи некоторых специальных сумм, когда одно и то же число складывается несколько раз. Например, сумма обозначается как " умножить на " или, вводя знак умножения , .

Итак, определяем операцию умножения числа на число , как сумму из слагаемых, каждое из которых равно и обозначаем эту операцию в виде . Случай означает отсутствие слагаемых и .

Нетрудно показать, что и операция умножения является замкнутой, а также, коммутативной и ассоциативной. Причем для смешанных операций имеет место дистрибутивность. Таким образом, свойства (1) дополняются следующими соотношениями, справедливыми для любых :

Отметим также, что, если или , то .

Для компактной записи сумм и произведений используют знаки и так, что

где - набор каких-то чисел (или числовых выражений); нижний знак есть индекс, определяющий номер числа так, что комбинация означает -ое число из данного набора. Суммирование начинается с прибавления к начального числа из данного набора, а произведение - с умножения на это число. Набор чисел для суммы без изменения результата может быть увеличен в обе стороны нулями, а для произведения - единицами. Поэтому отсутствие множителей под знаком произведения дает результат равный (так же как сумма без слагаемых дает ).

Операция возведения в степень в свою очередь является сокращенной записью специальных видов умножения: " в степени " есть произведение сомножителей, каждый из которых равен , и обозначается как . Т.е.

Мы положили, что произведение без сомножителей равно . Поэтому можем считать, что , если . Выражение остается неопределенным. За исключением этого случая возведение в степень является замкнутой операцией в классе целых чисел. Нетрудно получить следующие соотношения:

для любых целых чисел при условии, что в (4) отсутствует выражение .

Целые числа в зависимости от тех или иных свойств разделяются на различные классы: составные и простые числа, четные и нечетные числа и пр.. Число называется составным, если его можно представить в виде произведения двух чисел, каждое из которых не равно . В противном случае число называется простым (первые простые числа: ). Число называется четным, если его можно представить произведением, один из сомножителей которого равен ; остальные числа называются нечетными (число обычно относят к четным).

Любое целое число однозначно выражается произведением степеней некоторого набора простых чисел:

где - простые числа, не равные ; - целые числа отличные от нуля.

Возможны и другие представления целых чисел. Например, любое целое число при заданном может быть однозначно разложено в сумму вида

где - целые числа меньшие ; причем . Значения этих коэффициентов и их количество полностью определяются значениями и . Если , то (6) называют разложением числа в двоичной системе. При имеет место привычная для нас десятеричная система. В сокращенном виде разложение (6) записывают перечислением коэффициентов в обратном порядке:

(разумеется, при этом считается, что значение в соответствующем контексте общеизвестно).

Введем операции вычитания и деления, которые являются обратными соответственно сложению и умножению. Пусть даны два числа и . Вычитание (деление ) означает нахождение числа такого, что сумма (произведение ) равна (равно) числу . В классе целых чисел эти операции являются условными (незамкнутыми), так как не для всякой пары и можно найти такое . Для вычитания требуется условие . Для деления необходимо, чтобы можно было представить произведением, где одним из сомножителей является число . В таких случаях говорят, что число является делителем числа . У двух разных чисел может быть одинаковый делитель, причем таких может быть несколько и максимальный из них называют наибольшим общим делителем данных чисел. Два (или больше) числа называют взаимно простыми, если у них нет общего делителя, отличного от .

Вышеприведенным исчерпываются основы арифметики целых чисел. Другими словами, сказанного достаточно, чтобы исследовать всю структуру множества целых чисел без привлечения новых постулатов (поиск решений уравнений в целых числах, с помощью теории сравнений и вычетов вводить и исследовать отдельные подмножества целых чисел и т.п.)

Могут спросить: зачем столько слов об очевидных вещах! На это встречный вопрос - а было бы все это очевидным, если бы за обозначениями стояли не целые числа, а более абстрактные объекты. Для людей, не умеющих считать, представленное было бы столь же сложным, как абстрактная алгебра для остальных. Между тем основы той же абстрактной алгебры более просты, чем основы арифметики.

Если читатель понял основы арифметики, увидел в чем смысл каждого шага, заметил все развилки (места, где надо выбирать один из вариантов определения объектов или операций с ними), то он без труда поймет и основы других разделов математики. Достаточно везде "подставлять" вместо абстракций (объектов, операций, отношений) что-нибудь подходящее из привычного. Короче говоря, математика в каждом своем разделе не сложнее арифметики.

Излишней детализацией преследовалась и другая цель - демонстрация строгости. В математике ничего не берется с потолка. Все выводы делаются из четко определенных основных положений (аксиом). И как бы ни казалось правдоподобным утверждение, сколь бы часто оно не подтверждалось практикой, математика не будет с ним считаться пока оно или не будет выведено из аксиом, или само не станет аксиомой, не противоречащей остальным. Все с чем имеет дело математика или определяется (вводится), или доказывается (выводится).

Где же, если не в изложении основ центрального и наиболее наглядного раздела математики, демонстрировать максимум строгости. Мы и дальше, при расширении класса чисел, будем поступать так же.

 

2. Рациональные числа.

 

Мы говорили, что деление определено только при условии, что является делителем . Т.е. уравнение

где - неизвестная величина, имеет решение в целых числах не для любой пары целых чисел и . Чтобы операция деления стала безусловной, необходимо просто расширить класс чисел, дополняя целые числа "нецелыми" решениями уравнения (7). Таким образом, расширенный класс представляет множество решений уравнения (7), в котором и пробегают всевозможные значения целых чисел, кроме (деление на не определено). Каждой паре соответствует одно число, обозначаемое . Однако каждому решению может соответствовать неограниченное число пар. Если ограничиться парами из взаимно простых чисел, то соответствие будет взаимно однозначным. Новые числа (т.е. , где и не является делителем ) называют дробными ( - числителем дроби, - знаменателем). А весь расширенный класс называют рациональными числами. Смысл новых чисел заключается исключительно в уравнении (7). Например, возьмем число . Единственным признаком, определяющим его, есть то, что умноженное на оно дает число .

Учитывая (7), нетрудно доказать, что операции с рациональными числами обладают теми же свойствами (1, 2), что и операции с целыми числами. Кроме того можно вывести следующие правила сложения и умножения рациональных чисел:

(здесь и далее будем считать, что знаменатели дробей не равны нулю). Из этих правил следует определение отношения между рациональными числами в плане "больше" или "меньше":

тогда и только тогда, когда

(причем равенство следует только из равенства).

Таким образом, в классе рациональных чисел операции сложения, умножения и деления (кроме деления на ) являются замкнутыми. Для этих чисел определена и операция возведения в (целую) степень. Кроме того, эти числа упорядочены по возрастанию (т.е. определены отношения "больше" и "меньше").

В классе целых чисел понятие сколь угодно большого числа следовало из самого определения натурального ряда, как последовательности неограниченно возрастающих чисел. Мы могли говорить о сколь угодно большой взаимной удаленности (разности) двух целых чисел, подразумевая, что нет предела этой удаленности. Однако понятие "сколь угодно малая удаленность" (или "сколь угодно большая близость") не имело смысла, так как удаленность двух разных целых чисел имело нижний предел, равный .

В классе рациональных чисел указанной асимметрии нет. Например, можно считать сколь угодно малым числом, если сколь угодно большое число (это следует из неравенства ). Поэтому нетрудно доказать, что рациональные числа могут быть сколь угодно близки друг к другу. Более того: для любого рационального числа и для любого, сколь угодно большого, найдется сколь угодно много рациональных чисел и таких, что

Т.е. в сколь угодно малой окрестности любого рационального числа находится сколь угодно много других рациональных чисел.

Остается вопрос о наглядности (наблюдаемости) дробных чисел. Наглядность целых чисел была обязана существованию отдельных объектов, внутренняя структура которых не имела значения. Но что значит дробное число, например ? Можно конечно ответить: это две доли из трех, если три доли составляют целое. Однако более четким и общим будет следующее представление. Для данного рассматривается неограниченный ряд пронумерованных составных объектов, каждый из которых составлен из первичных объектов. Целое число однозначным образом можно разложить в виде , где и целые числа, включая , причем . Тогда есть первых составных объектов и первичных объектов из -го составного объекта. Таким образом, каждому знаменателю соответствует своя модель представления соответствующих дробей.

Отметим, что рациональные числа можно было бы определить и иным образом, дополняя целые числа так, чтобы операция умножения стала групповой операцией (см. "Теория групп"). Достаточно было бы ввести для каждого целого числа обратный "элемент-число" , а также, всевозможные произведения обратных чисел на целые числа.

Итак, на данный момент мы определили рациональные числа, которые с учетом дальнейших расширений будут называться положительными. При этом в классе этих чисел главной (первичной, определяемой) операцией является сложение, а остальные операции (умножение, деление, возведение в степень) есть по-прежнему сокращения для каких-то выражений, которые записываются с помощью операции сложения в слишком громоздком виде.

Далее знак умножения будем заменять на точку, а иногда и вовсе опускать, если факт умножения очевиден (наличием скобок, оговоренностью и т.п.). Под числом будем подразумевать рациональное число, если иное не оговорено.

 

3. Отрицательные рациональные числа.

 

В классе рациональных положительных чисел вычитание имеет смысл лишь при условии, что . Для замыкания этой операции можно было бы определять расширенный класс решениями уравнения аналогичного (7): . Однако из этого уравнения мы не получим автоматически (как было выше при введении дробных чисел) правила умножения новых чисел. Необходимо постулировать это правило. И удобнее это будет сделать, если мы пойдем несколько иным путем.

Введем объект "минус единица" (обозначение: ) такой, что

Естественным будет распространение и на него свойств коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности операций сложения и умножения:

здесь и - любые положительные рациональные числа.

Результаты умножения , где пробегает класс положительных рациональных чисел, и являются отрицательными рациональными числами (обозначение: ). При этом вычитание эквивалентно сложению в расширенном классе: . Отметим, что расширенный класс чисел есть группа по операции сложения, в которой "единицей" является число (см. "Теория групп").

У нас не определено произведение отрицательных чисел, точнее неясно, что такое (опять развилка). Постулируем, что это произведение имеет смысл и является рациональным числом. Тогда, например, сумму можно возвести в квадрат почленно, и результат равен нулю, если

Тогда операция умножения становится замкнутой во всем расширенном классе чисел. Кроме того, учитывая (9), эта операция "отрывается" от операции сложения (см. ниже). Для расширенного класса оставим название "рациональные числа" (при необходимости дополняя определением знака). Иногда будем употреблять сокращенное обозначение - РЧ.

Отношение следования между отрицательными числами жестко привязано к отношению между положительными числами. Соответствующая связь определяется тем, что умножение обеих частей неравенства на меняет знак неравенства: если , то . В частности, из следует (т.е. все отрицательные числа меньше положительных). Таким образом, вывод о плотности чисел и соотношения (8) распространяются и на отрицательные числа.

Отметим некоторые особенности определения новых чисел. В отличие от дробных отрицательные числа вводятся, так сказать, одним махом - путем умножения положительных чисел на . Т.е. новые числа в чем-то одинаковы. До сих пор мы говорили, что число есть только количественная характеристика ( это и более ничего). Отрицательные числа кроме количественной несут некую качественную нагрузку и обладают общим только для них свойством.

Можно, пользуясь такими словами как "долг", "убыток", "отсутствие" и т.п., определить тот или иной смысл этой нагрузки. Можно увидеть некий философский аспект: отрицательные числа есть количественно оформленное понятие, противоположное понятию "существует" (до этого таким понятием было "не существует", т.е. число ). Однако для математики важнее другое, а именно то, что отрицательные числа введены с надлежащей строгостью и для них определены все арифметические операции. При этом нам пришлось, постулируя (9), уточнять операцию умножения. В классе положительных чисел умножением обозначались некоторые специальные формы сложения, и все свойства этой операции были следствиями свойств сложения. Как только мы ввели правило (9), умножение оторвалось от сложения и стало самостоятельной операцией.

Из первичного смысла умножения следовало, что . Однако смысл произведения никак нельзя было связать со сложением. Единственное, что можно было сказать: , где некий элемент, обозначающий произведение . Если бы мы не определили, что такое , мы имели бы все тот же расширенный класс, в котором были бы определены все операции кроме произведения двух отрицательных чисел. Постулировав что , мы снимаем это запрет и одновременно с этим добавляем к свойствам умножения новое правило, никак не связанное со сложением. Это первый шаг к "независимости" одной операции от другой. Будут и следующие шаги, все более отдаляющие умножение от сложения.

 

4. Корни и алгебраические числа.

 

Ниже символами будем обозначать рациональные числа, а символами - положительные целые числа (если иное не оговорено).

Операция обратная возведению в степень называется извлечением корня: если , то есть корень -ой степени из . Однако не для любой пары найдется РЧ такое, что . Только если можно представить в виде , корень извлекается. В остальных случаях мы имеем дело с новыми "числами". Если мы найдем их место среди РЧ (укажем способ аппроксимации таких чисел с любой точностью рациональными числами), то можем опускать кавычки и говорить о реальных числах. Позже это будет сделано, а сейчас назовем всевозможные корни из всевозможных РЧ корнями первого уровня, и будем обозначать их как класс .

Учитывая свойства степеней произведений РЧ, получим следующие соотношения (обозначение )

Отсюда видим, что произведение (а значит и возведение в степень) чисел класса , а также, извлечение корней из этих чисел дают числа того же класса. Т. е. операция умножения замкнута в классе .

Прежде чем идти дальше, разберемся с некоторыми особенностями корней, связанными с отрицательными числами. Для этого достаточно определиться с корнями из и . Из соотношений , следует, что

а не имеет числового аналога. Здесь и ниже означает, что или .

Как видим, корень четной степени определен лишь для неотрицательных чисел, причем определен с точностью до знака. Корни нечетных степеней однозначно определены для всех РЧ. Из двух корней четной степени обычно выделяют положительный и обозначают его знаком радикала так, что (принято обозначение ).

Как мы уже говорили, умножение обеих частей неравенства на приводит к смене знака неравенства: если , то . Поэтому соотношения, которые мы ниже записываем для положительных корней, корректны и для отрицательных при соответствующей перестановке частей неравенств. Таким образом, найдя место положительным корням среди РЧ, мы автоматически определяемся и с отрицательными корнями.

Итак, ниже речь идет о положительных числах. Исходим из следующего положения: корень больше (меньше) тогда и только тогда, когда больше (меньше) .

Из этого положения следует, что для любого и сколь угодно большого найдется РЧ такое, что

Т.е. корень из любого положительного рационального числа может быть с любой точностью (если не абсолютной) аппроксимирован некоторым РЧ. Отметим также, что любое РЧ больше или меньше любого данного корня, или равно ему. Из сказанного следует, что сложение корней имеет какой-то смысл. Однако эта операция не является замкнутой в классе .

Разобьем множество на подмножества, в каждом из которых собраны все числа (и только они), парные отношения которых равны РЧ (одним из таких подмножеств является класс РЧ). Например, подмножество чисел, содержащее , состоит исключительно из чисел вида , где пробегает класс РЧ. Можно показать, что сумма (или разность) чисел из разных подмножеств (за исключением сложения с нулем) не является корнем 1-го уровня (т.е. не может быть корнем из рационального числа). В то же время такие суммы с любой точностью могут быть аппроксимированы рациональным числом.

Таким образом, сложение чисел класса , а также, деление таких сумм приводит к появлению новых чисел. Обозначим через множество чисел, получающихся с помощью сложения, деления и умножения чисел класса . При этом множество входит во множество (обозначения: выражение означает, что все элементы множества являются элементами множества , а - то, что является элементом множества ). В классе операция извлечения корня является незамкнутой и может приводить к новым числам. Назовем корнями 2-го уровня всевозможные корни из чисел класса и объединим их в класс . Продолжая дальше, получим цепочку расширяющихся классов:

где класс РЧ, - всевозможные результаты сложения, деления и умножения чисел класса , а - корни из чисел класса , т.е. корни -го уровня. При этом корни четных степеней извлекаются только из положительных чисел. Отметим, что цепочку можно было бы начать с класса , содержащего три элемента - числа , и .

Будем говорить, что число принадлежит классу (), если в цепочке (13) найдется класс такой, что . Подчеркнем одну тонкость - мы не считаем, что - это некий предел последовательности классов (аналогично тому, что нет числа, являющего пределом последовательности ). Конечность числа шагов и операций в определении числа (так сказать, вычисляемость числа) - вот один из важных моментов, характеризующих класс . Другими словами речь идет о числах, которые можно выразить конечной комбинацией операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня (за исключением деления на и корней четных степеней из отрицательных чисел), совершаемых в заданном порядке над целыми числами.

Конечно, можно было бы ограничиться последней фразой для задания расширенного класса . Однако приведенное выше, в частности цепочка (13), дает более глубокое представление о структуре чисел этого класса. К примеру, с помощью цепочки (13) методом математической индукции нетрудно доказать следующее утверждение: любое число класса удовлетворяет какому-нибудь алгебраическому уравнению вида

где коэффициенты - рациональные числа.

Обычно в уравнениях вида (14) считают, что , и называют его алгебраическим уравнением -ой степени. Отметим, что (14) можно преобразовать в уравнение с целыми коэффициентами. Для этого достаточно умножить его на любое число, которое делится на все знаменатели коэффициентов (наименьшее из таких чисел называют наименьшим общим знаменателем для данного набора дробей).

Уравнения вида (14) представляют способ дальнейшего расширения класса чисел так, что каждое новое число может быть с любой точностью задано рациональным числом (т.е. указывается правило размещения этого числа среди рациональных чисел). Все такие числа, удовлетворяющие уравнению вида (14), называются алгебраическими числами (сокращение - АЧ). Было доказано, что не все АЧ являются числами из класса . Отметим также, что не всякое уравнение вида (14) имеет решение, которое можно разместить среди РЧ. Например, не имеет такого решения уравнение вида

где - неотрицательные РЧ, причем .

До сих пор у нас степенью, в которое возводилось число, являлось положительное целое число (операция возведение в степень обозначала один из вариантов произведения). Расширим класс степеней и будем считать, что показателем степени может быть любое РЧ. При этом

где - целые числа, - алгебраические числа.

Таким образом, возведение в степень отрывается от умножения, а деление и извлечение корня становятся переобозначениями некоторых вариантов умножения и возведения в степень. А учитывая, что вычитание является переобозначением сложения, вместо шести операций можно говорить о трех самостоятельных операциях - сложении, умножении и возведении в рациональную степень. При этом "запрещенными" являются возведение в отрицательную степень числа и возведение отрицательного числа в дробную степень с нечетным числителем и четным знаменателем.

 

5. Действительные числа.

 

При введении новых чисел будем продолжать следовать принципу: число считается определенным, если указан метод его аппроксимации рациональным числом с любой заданной (но не абсолютной) точностью. Другими словами, для любого РЧ можно доказать больше оно или меньше вводимого числа (этим указывается "место" новому числу среди РЧ).

Всевозможные числа, определенные в соответствии с этим принципом, а также РЧ, будем называть действительными числами (сокращение - ДЧ).

До сих пор новые числа мы получали, замыкая какую-то арифметическую операцию, которая была определена не для всех старых чисел. Замыкая деление, ввели дробные числа; замыкая вычитание, ввели отрицательные числа и т.д. При этом у нас остались три ограничения: нельзя делить на , нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа и нельзя возводить число в нерациональную степень. Снятие первых двух запретов не приводит к ДЧ. А вот третье ограничение можно снять, если примем следующее положение. Пусть есть некоторое ДЧ. Тогда для любых рациональных чисел и , удовлетворяющих неравенствам , и любого ДЧ имеют место соотношения

(и, наоборот, из (15) следует ). При в (15) знаки неравенств меняются на обратные.

Таким образом, добавляя к сказанному условие, что для всех , замыкаем операцию возведения в степень в классе ДЧ. Это говорит о том, что для любых действительных положительных чисел и уравнение

имеет решение (причем, единственное) в классе ДЧ. Это решение записывают в виде , где правая часть читается как "логарифм числа по основанию ". Основанием логарифмов может быть любое положительное ДЧ не равное . Логарифм отрицательного числа не является ДЧ. Логарифм произведения равен сумме логарифмов каждого множителя. Все логарифмы могут быть приведены к одному основанию с помощью следующего тождества:

Пусть некоторое выражение, в котором с неизвестной величиной совершается конечное количество каких-то из определенных выше операций. Тогда источником новых чисел может быть уравнение (если, конечно, оно имеет решение в действительных числах). В частности, уравнением (14) мы выше определили алгебраические числа.

Таким образом, мы исчерпали все возможности введения новых чисел с помощью комбинаций из конечного количества арифметических операций. Дальнейшее расширение класса ДЧ связано с неограниченным количеством операций.

Здесь на сцену выходит исключительно абстрактное понятие - предельный переход. Смысл его заключается в том, что шаг за шагом совершая конечное количество операций, мы переходим от одного "известного" числа к другому. Если мы видим, что с какого-то шага соседние числа начинают все меньше и меньше отличаются друг от друга (доказываем, что это отличие будет сколь угодно малым по мере увеличения числа шагов), то делаем вывод о существовании некоего предельного числа, которому мы неуклонно приближаемся. Примером сказанного может служить предел (если он есть) последовательности чисел , в которой каждое зависит от номера (подробнее см. "Последовательности и пределы"). В частности, при получим в качестве предела так называемое натуральное число , приблизительно равное в десятичной системе, которая ниже будет определена. Число , являющееся отношением длины круга к его диаметру, также может быть задано как предел последовательности.

Таким образом, мы, так или иначе, связываемся с понятием "бесконечность" и вступаем на очень скользкую дорогу, полную неоднозначностей и парадоксов. Чтобы не "поскользнуться" на ней, нужно тщательно взвешивать каждый шаг. Придерживаться максимально возможной строгости, чтобы на новой дороге лучше видеть "скользкие" места, опасные "повороты" и т.п.

Есть различные варианты представления ДЧ с помощью определенных наборов целых чисел. Среди них особое место занимает разложение числа в непрерывную дробь. Вкратце поясним суть, ограничиваясь положительными числами (отрицательные получаются умножением на ).

По определению для любого ДЧ найдется целое число такое, что . Число называют целой частью числа и обозначают через . Разность называют остатком после выделения целой части (дробной частью числа ). Процедура разложения числа следующая. Находим целую часть и остаток (по определению ). Если , то находим и дробную часть числа . И так далее так, что в результате получается конечная (очередной остаток равен нулю) или бесконечная совокупность целых чисел таких, что

Цепочка (17) прерывается, когда очередной остаток станет равным нулю. Если этого не происходит, то приходим к бесконечной последовательности целых (неотрицательных) чисел , из которых только может равняться нулю (это будет при ). Таким образом, приходим к цепочке дробей

Эту цепочку и называют разложением числа в непрерывную дробь. Нетрудно доказать, что РЧ (и только они) представляются конечным набором .

Если в бесконечном наборе ограничиться набором начальных чисел, то получаем представление некоторого РЧ . Довольно элементарно доказывается, что последовательность сходится (т.е. все меньше и меньше отличается от с ростом ). Т.е. любая бесконечная совокупность целых чисел в (18) представляет некоторое ДЧ.

У любого ДЧ существуют целая и дробная части. Любой непрерывной дроби с любой точностью может быть определено место среди РЧ. Отсюда следует: любое ДЧ представимо непрерывной дробью, а любая такая дробь представляет некоторое ДЧ. Причем это соответствие взаимно однозначное.

Кроме непрерывных дробей есть и другие представления ДЧ. Например, в привычной нам десятичной системе любое ДЧ можно записать в виде суммы (мы продолжаем ограничиваться положительными числами):

где - целые числа от до , причем (в двоичной системе заменяется на , и равны или ). Разложение (19) записывают в краткой форме

где точка отделяет целую часть от дробной. Представление (20) будет конечным (последовательность обрывается) тогда и только тогда, когда есть РЧ, знаменатель которого имеет вид , где неотрицательные целые числа.

Долгое время считалось, что все действительные числа являются алгебраическими (удовлетворяют какому-либо уравнению вида (14)). Лишь в 1844г. было доказано (теорема Лиувилля), что существуют непрерывные дроби, которые не представляют алгебраические числа. Суть доказательства заключалась в том, что был найден необходимый признак алгебраичности числа, а затем указывался способ построения непрерывной дроби, для которой этот признак не соблюдался.

Действительные числа, не являющиеся алгебраическими, стали называть трансцендентными. Однако иногда очень трудно выяснить является ли данное число алгебраическим или нет. Только в 1873г. и 1882г. была доказана трансцендентность соответственно чисел и . Очень много времени понадобилось, чтобы доказать, что возведение алгебраического числа в иррациональную степень дает трансцендентное число.

Подводя итоги, еще раз подчеркнем смысл ДЧ. В основе определения всех чисел являются РЧ, отношения между которыми (больше, меньше, равно) имеют достаточно четкий и наглядный смысл. Любое число из остальных ДЧ может (и должно) определяться так, чтобы можно было доказать:

  1. Для любого, сколь угодно большого числа найдется РЧ такое, что .
  2. Любое РЧ или больше , или меньше .

Далее мы будем вводить и числа других типов. Однако отметим, что это числовые объекты, а не числа в нашем обыденном понимании (числом обычно считается только ДЧ). Тем не менее, и их называют числами, так как они полностью определяются с помощью ДЧ и арифметических операций.

 

6. Комплексные и прочие числа.

 

В классе отрицательных ДЧ извлечение четного корня не имело смысла. Т.е. операция возведения в произвольную степень была условной. Чтобы замкнуть эту операцию, вводят особый объект "мнимая единица", который обозначают через . По определению

Результат умножения ДЧ на означает "число особых объектов". Комплексное число (сокращение - КЧ) есть сумма числа обычных объектов и числа особых объектов:

где и есть ДЧ. Учитывая свойство , имеем

Если еще положить, что

для любых ДЧ и , то приходим к возможности свершения с КЧ всех арифметических операций. Эти числа мы еще будем рассматривать отдельно (см. "Комплексные числа"), а здесь приведем иное представление КЧ, являющее первым шагом в ряду определения многомерных чисел.

Обозначим (21) как упорядоченную пару: . Сложение и умножение любых двух КЧ и определим следующим образом:

При этом ДЧ есть частные случаи КЧ, когда . Чисто мнимыми называют числа . Число называют сопряженным числу . Произведение есть ДЧ, корень из которого называют модулем числа : .

Деление имеет следующий смысл:

Приведенное представление КЧ является частным случаем многомерных чисел. Допустим, что некоторый объект характеризуется упорядоченным набором ДЧ. Если определены операции с такими наборами, то эти объекты можно называть обобщенными числами той или иной размерности.

Структура упорядоченности может быть разной. Например, линейная упорядоченность характеризуется одним номером (индексом), значение которого указывает место данного ДЧ в наборе. Упорядоченный таким образом набор называют -мерным числом (или, точнее, -мерным вектором). Если, как в театре, нужно указывать и место и ряд, то порядок характеризуется двумя индексами (матрицы, тензоры 2-го ранга). С тремя индексами приходим к числам следующего уровня.

Процедуру определения всевозможных числовых структур можно выразить в сжатом виде следующим образом. Назовем ДЧ числами нулевого уровня. Числом -го уровня является линейно упорядоченный набор, состоящий из чисел меньшего уровня, среди которых есть хотя бы одно число -го уровня. Комплексные числа являются двумерными числами 1-го уровня. Вещественные вектора также относятся к 1-ому уровню. Однако комплексные вектора (также как и матрицы из ДЧ) это уже 2-ой уровень.

Под числовым -мерным пространством подразумевают множество всевозможных -мерных чисел. Двухмерное пространство КЧ называют комплексной плоскостью. Множество ДЧ (одномерное пространство) называется числовой осью.

Содержание