|
|
 |
|
 | |
Матрицы и операторы
1. Определение, операции и характеристики.
С матрицами имеют дело уже в элементарной алгебре, решая систему линейных уравнений относительно неизвестных
или в сокращенной форме где Те или иные характеристики совокупности величин Матрицей размера
Числа Матрица размера Матрица называется конечной, если число строк и столбцов конечно. Ограниченной называют матрицу с конечной нормой. Норму определяют по-разному. Например, евклидова норма
( Далее будем рассматривать конечные матрицы над полем комплексных чисел (такие матрицы всегда ограничены). Матрица называется действительной, если все ее элементы являются действительными числами. Сложение матриц определено для матриц одинаковых размеров:
Умножение Т.е. произведение матриц с размерами Квадратными называют матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Размер таких матриц обозначают одним числом. Сложение и умножение определено для всех квадратных матриц одного размера. Далее речь пойдет о таких матрицах. И везде размер матрицы будем обозначать символом Операции сложения и умножения являются групповыми операциями в классе матриц одинаковых размеров. "Единицей" по сложению в такой группе является нуль-матрица, в которой все элементы равны нулю. А по умножению "единицей" группы невырожденных (см. ниже) матриц является единичная матрица, в которой диагональные элементы равны
Важнейшей характеристикой матрицы Составим произведение из где набор Теперь мы можем дать определение детерминанта: Напомним, что в (4) суммирование ведется по набору различных номеров (т.е. Для практических расчетов формула (4) не очень удобна. Обозначим через Здесь определитель матрицы размера
Для определителя матрицы размера
Величина
называется алгебраическим дополнением элемента где
Если
Как уже говорилось, множество квадратных матриц одного размера Приведем некоторые свойства операций с матрицами. Матрицы можно умножать на любое комплексное число
Причем это произведение можно считать умножением двух матриц, в котором одна из матриц есть Отметим также ассоциативность и дистрибутивность:
(здесь
2. Свойства определителей и специальные матрицы.
Все сказанное ниже о строках имеет место и для столбцов матриц. Обозначим матрицу
Нетрудно доказать следующие соотношения Из (7) следует, что
Определитель произведения матриц равен произведению определителей
В частности, Определитель матрицы
где коэффициенты
называется характеристическим уравнением матрицы Теорема Кэли-Гамильтона: всякая матрица размера Пусть элементы
Комплексно сопряженная матрица
Обратную для Очевидны следующие соотношения (ниже
В зависимости от свойств симметрии определяют следующие матрицы.
Диагональные элементы Очевидны следующие три утверждения: эрмитовая матрица является симметрической, косоэрмитовая - кососимметрической, а унитарная - ортогональной тогда и только тогда, когда все их элементы являются действительными числами. Если Произведение Аналогичные выводы имеют место и для эрмитовых, ортогональных и унитарных матриц:
Любая матрица
и на сумму эрмитовой и косоэрмитовой матриц:
Нормальная матрица: если Две матрицы В треугольной матрице Некоторые матрицы подходящим преобразованием подобия можно привести к диагональному виду (частный случай треугольного, когда от нуля отличны лишь диагональные элементы). Имеет место следующее утверждение: В частности: любую нормальную (и только нормальную) матрицу можно преобразованием подобия (9), где Эрмитовые и унитарные матрицы являются нормальными, и поэтому могут быть приведены к диагональному виду. Отметим очень важное для приложений утверждение.  тогда и только тогда, когда они коммутируют (перестановочны). Так как треугольный вид (а тем более - диагональный) матрицы очень удобен для анализа матричных соотношений, поиск преобразующих матриц становится важным инструментом в матричной алгебре. И здесь важно, что тот или иной класс матриц объединяет то, что они приводятся к диагональному виду одним и тем же преобразованием подобия. Во всех случаях важно и то, что преобразование подобия (9) касается всех степеней подобных матриц: если Значение преобразований подобия особенно четко проявляется при анализе различных скалярных выражений, образованных квадратными матрицами и матрицами из одного столбца или одной строки (последние обычно называют векторами). Например, свойства квадратичных форм можно исследовать, имея лишь информацию о с. зн. матриц.
3. Собственные значения и билинейные формы.
Рассмотрим сначала общие свойства с. зн. специальных матриц. Пусть Все с. зн. нормальной матрицы являются действительными числам тогда и только тогда, когда эта матрица подобна некоторой эрмитовой матрице. Все с. зн. унитарной матрицы равны по модулю Для всякой матрицы Причем (10) можно считать произведением матриц, в котором Частные случаи билинейных форм: квадратичная форма Далее будем считать формы (11, 12) нетривиальными, т.е. хотя бы одно из чисел В (11) антисимметрическая часть, а в (12) косоэрмитовая части матрицы, не дают никакого вклада. Поэтому в (11) матрицу Далее (если иное не оговорено) будем говорить об эрмитовых формах. Если в (11) вектор Пусть матрица
переводит форму (12) в форму по новым переменным: где В частности, можно подобрать такую преобразующую матрицу где Масштабное преобразование где К канонической форме можно придти различными путями. Однако есть две характеристики, значения которых не зависят от вида преобразований. Это ранг Т.е. ранг и сигнатура являются некими инвариантами эрмитовой матрицы, не меняющимися при преобразованиях подобия. Если преобразование, которое привело к (15), является унитарным, то сохраняется и норма: Из (14) следуют необходимые и достаточные условия знакоопределенности формы (12): эта форма положительна (неотрицательна), если все
4. Линейные операторы.
Оператор Мы будем говорить о линейных операторах таких, что при любых Матричный оператор Ниже все результаты касаются абстрактных операторов. И все они имеют место для матричных операторов. Поэтому, если есть необходимость в наглядности излагаемого, можно считать, что речь идет о преобразованиях вида (20). Тем более что ряд классов операторов изоморфны тому или иному классу матричных операторов. Будем считать Скалярное произведение двух элементов (здесь Если Если (в общем случае под интегралом стоит некоторая весовая функция). Т.е. различие заключается в том, что в одном случае речь идет о суммах, а в другом - об интегралах. Соответственно, операторы, действующие на векторы, имеют дискретный характер, а операторы, действующие на функции, имеют непрерывный характер. Примером первых могут служить матричные операторы, а примерами вторых - дифференциальные или интегральные операторы. Тем не менее, условность разделения векторов и функций сохраняется, так как вектор можно считать функцией, заданной на конечном множестве Пусть то ее называют скаляром (с-числом). Т.е. здесь речь идет о величинах, на которых действие операторов из данного класса не распространяется (и в то же время их можно умножать на объекты преобразования). Для матричных операторов это любые одномерные величины (числа, функции и т.д.). А для дифференциальных операторов - это величины, производные от которых равны нулю, т.е. константы. Далее будем считать, что классы операторов и объектов заданы, и, значит, известен смысл скаляров. При этом единичный оператор будет содержаться в любом классе операторов. Приведем некоторые определения. Скалярное произведение в матричном представлении является эрмитовой формой. Такой же называют форму (25) в общем случае, если Ненулевые векторы (функции) Оператор Оператор Эрмитовые формы (25) аналогично формам в матричном представлении могут быть определенными или неопределенными по знаку. Важнейшее место в операторном анализе занимают понятия собственных значений и собственных функций (векторов). Причем первые обязательно являются скалярами. Скаляр (число, константа) (далее мы будем считать, что норма функции Функция Пусть Нетрудно доказать, что с. ф., соответствующие разным с. зн., ортогональны: Если все В таком базисе можно определить класс Причем скаляры Если все с. зн. эрмитового оператора различны и не равны нулю, то решение уравнения для неизвестной величины имеет вид
Таким образом, в с. зн. и с. ф. содержится весь смысл оператора. Более того, во многих случаях оператор однозначно определяется своими с. зн. и с. ф.. Пусть, например, элементами множества Если все с. зн. где Для матричного оператора где
Произведение
которое может быть выражено в форме где Из (35) следует, что операторы с одинаковыми наборами с. ф. (
Это утверждения справедливо и в общем случае. Однако обратное верно при небольшом уточнении: если два оператора коммутируют и любую с. ф. одного из них можно разложить по с. ф. другого, то наборы с. ф. совпадают. существует, если все с. зн. оператора Аналогичные соотношения можно получить и для матричных операторов, имеющих отличные от нуля различные с. зн. Выше, нумеруя с. зн. и с.ф., мы неявно предполагали, что речь идет о конечном или счетном множестве этих величин. Тем не менее, многое из сказанного можно обобщить и на случаи операторов, имеющих несчетное множество с. зн. и с. ф.. Например, у оператора производной с. зн. является любое число Если каким-либо образом ограничить область с. зн. в (37), то можно определить интегральное обобщение (30) и разлагать функции по соответствующим экспонентам. Например, если числа
5. Функции от операторов и матриц.
Пусть некоторая функция который сходится при всех Очевидно, если Пусть Для матричного оператора Особо следует отметить функции от матриц конечного порядка. Если
так как с помощью (8) любой оператор Например, пусть
Тогда где
Если
то представление может оказаться весьма полезным в приложениях. Отметим также свойство показательной функции от производной: На практике часто встречаются сложные операторные выражения, которые в действительности являются функциями (обычно - алгебраическими) более простых операторов. И если свойства операторов-аргументов известны, то очевидны преимущества, которые дает такое упрощение задачи. Во многих случаях сложные уравнения сводятся к решению алгебраической задачи. |
|
|
|
|
:
и 
заданные величины. Причем в общем случае эти величины являются элементами коммутативного поля. Мы будем считать их комплексными числами.
(симметрия, особенности и т.п.) позволяют анализировать свойства решения (
называют набор величин 
, где индексы пробегают значения: 
; 
. Будем обозначать матрицы или заглавной буквой, или квадратными скобками:
называют 
определяет номер строки, 
- номер столбца. Иногда эти элементы обозначают в виде 
(или 
). 
называется 
- 
- модуль комплексного числа 
). Если конечна эта норма, то конечна норма и при других ее определениях (и наоборот).
матриц 
и 
определено, если число столбцов матрицы 
равно числу строк матрицы 
:
и 
является матрицей размера 
. 
.
, а остальные равны 
:
является ее 
.
различных элементов матрицы, в котором любые два элемента принадлежат разным строкам и разным столбцам. Число всевозможных произведений такого рода равно 
, и каждое из них можно записать в следующем виде:
есть результат некоторой перестановки в наборе 
. Любую перестановку можно выразить через последовательность парных перестановок, когда шаг за шагом меняются местами два номера. Число парных перестановок 
определено с точностью до четного слагаемого. Т.е. если в одном варианте число 
четное (нечетное), то в любом другом варианте, приводящем к тому же результату, это число будет также четным (нечетным). 
при 
).
определитель матрицы, полученной из 
удалением 
-ой строки и 
-го столбца. Тогда для любого 
имеет место равенство 
выражается через определители матриц размера 
. Последовательно используя (
. Определитель матрицы при 
равен
получим
матрицы 
. Равенство (
. Если представлять 
как функцию элементов матрицы 
(т.е. считать эти элементы независимыми переменными), то алгебраические дополнения являются частными производными вида
, то матрица 
называется 
составляют группу по сложению. Но группой по умножению являются лишь подмножество невырожденных матриц. Это аналогично умножению чисел, когда из группы исключалось число 0.
:
.
- матрицы одного размера).
через 
. Матрицы, полученные из 
перестановкой друг с другом двух строк, обозначим через 
. Далее аналогично из 
можно получить матрицы 
и т.д. так, что 
есть матрицы, полученные из 
с помощью 
парных перестановок. Обозначим через 
матрицу, полученную из 
путем прибавления к 
-ой строке 
-ую строку, умноженную на 
. Т.е. элементы 
этой матрицы для всех 
при заданных 
и 
равны
, если строки матрицы 
являются линейно зависимыми. Т.е. найдется набор 
чисел 
, в котором хотя бы одно число отлично от нуля, таких, что при всех 
имеем
, где 
- некоторое число.
является алгебраическим многочленом степени 
относительно 
:
зависят от значений элементов 
. Уравнение
. А 
, являющиеся корнями этого уравнения, называют 
.
удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению:
матрицы 
размера 
являются комплексными числами. 
называют матрицу 
, в которой столбцы и строки поменялись местами:
состоит из комплексно сопряженных элементов: 
. 
есть транспонированная и комплексно сопряженная матрица:
матрицу обозначают в виде 
. Матрица 
- это матрица 
, умноженная на число 
. Следом 
матрицы 
называют сумму ее диагональных элементов.
и 
- это матрицы, а 
произвольное комплексное число): 
эрмитовой (косоэрмитовой) матрицы есть действительные (чисто мнимые) числа, а у антисимметрической они равны нулю.
симметрическая матрица, то симметрическими будут и матрицы 
(степень 
- целое число) и 
(
- любая невырожденная матрица). Здесь и ниже 
.
симметрических (или кососимметрических) матриц есть симметрическая матрица тогда и только тогда, когда 
. Если же 
, то это произведение кососимметрично.
, то
и 
(или 
и 
), то
означает "тогда и только тогда, когда).
ортогональная (унитарная) матрица, то таковыми же являются матрицы 
(
). Произведение двух ортогональных (унитарных) матриц есть ортогональная (унитарная) матрица.
может быть единственным образом разложена на сумму симметрической и антисимметрической матриц:
, то 
называют нормальной матрицей .
и 
называются 
такая, что матрицы 
и 
связаны 
все элементы в верхней правой части или в нижней левой части равны нулю: 
или при всех 
, или при всех 
. При этом определитель равен произведению диагональных элементов. Любая матрица 
подобна некоторой треугольной матрице. Причем диагональные элементы последней являются с. зн. матрицы 
. 
- унитарная матрица, привести к диагональному виду. 
, то и 
, где 
- любое целое число. 
- нормальная матрица и 
- некоторое ее с. зн.. Тогда 
есть с. зн. матрицы 
; 
есть с. зн. эрмитовой матрицы 
; мнимая часть 
есть с. зн. косоэрмитовой матрицы 
. 
.
размера 
определена 
и 
:
это матрица-строка, 
- матрица-столбец. 
отлично от нуля. 
можем считать симметрической, а в (
и матрица 
является действительными, то она является частным случаем эрмитовой формы. Поэтому все нижеследующие выводы имеют место и для квадратичных форм, в которых все величины есть действительные числа. 
является унитарной. Преобразование
- матрица, подобная матрице 
.
, что 
будет диагональной матрицей. При этом (
- действительные числа, являющиеся с. зн. эрмитовой матрицы 
. 
приводит (
при 
; 
при 
и 
, если 
. 
данной формы, равный числу отличных от нуля коэффициентов, и 
, равная разности между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов:
(все 
), и 
(
). Во всех остальных случаях эта форма считается неопределенной по знаку.
определяется правилом (законом), которое преобразует объект 
из некоторого класса объектов в объект 
из того же класса:
и 
:
задается матрицей 
размера 
, а объектами преобразований являются 
-мерные векторы: 
множеством объектов преобразования, которые могут быть отображены в пространство комплексных чисел. Обычно в приложениях такими объектами являются векторы и функции. Различие между ними довольно условное. Мы для большей четкости определим эту разницу с помощью понятия скалярного произведения.
и 
является комплексным числом (скаляром), обозначается в виде 
и обладает следующими свойствами:
произвольное комплексное число).
- множество 
-мерных векторов, то определяем, что
- класс функций 
действительной переменной 
, заданных в области 
, то, например, 
, а функцию можно считать бесконечномерным вектором. Поэтому далее, употребляя то или иное название объектов преобразований, будем иметь в виду эту условность.
некоторый класс операторов, 
- класс объектов, в котором определены эти операторы. Если некоторая величина 
при всех 
удовлетворяет соотношению
.
и 
называются 
. Нормой вектора называют 
. Норма является скаляром.
называется 
и 
:
называется 
:
называется 
, если найдется функция 
такая, что
отлична от нуля).
, удовлетворяющая (
. У одного и того же оператора может быть несколько с.ф.. Они определены с точностью до скалярного множителя. Далее будем считать, что их нормы равны 
.
- все с. зн., а 
- все с. ф. некоторого эрмитового оператора 
(ниже в данном параграфе имеются в виду такие операторы), т.е.
, если 
.
различны, то 
представляют полный набор ортонормированных функций:
функций таких, что любая функция 
однозначно разлагается в виде
.
:
являются функции от действительной переменной, (
имеет вид
этого оператора различны, то ядро оператора 
можно представить в виде
- ортонормированный набор с. ф. оператора 
.
имеем при тех же условиях:
- с. зн., а 
есть ортонормированный набор собственных векторов (с. в.) матрицы 
. Причем
операторов вида (
- соответственно с. зн. и с. ф. операторов 
и 
.
) являются перестановочными:
отличны от нуля.
, а соответствующей с. ф. будет экспонента 
:
являются чисто мнимыми, то речь идет о 
и 
, то приходим к 
разложима в степенной ряд
из области 
(все 
- скаляры). Если все с. зн. оператора 
принадлежат области 
, то оператор 
определен как ряд
является с. зн. Оператора 
, то 
является с. зн. оператора 
.
является интегральным оператором вида (
имеет вид
с учетом (
:
матрица порядка 
, то она удовлетворяет своему характеристическому уравнению (
может быть выражена конечной суммой вида
при 
может быть выражен через операторы 
со степенями 
, меньшими 
.
показательная функция, а 
антисимметричная матрица третьего порядка: 
некоторый полином
