Объявление о конкурсе "Свободный полет"

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Математика  Это интересно 

Математический анализ

 

Наиболее востребованным разделом математики является математический анализ, исследующий функции и операции над ними (дифференцирование и интегрирование). При этом все происходит в поле чисел, а в основе анализа лежит понятие бесконечно малых (обозначение - б.м.) чисел. На заре своего развития (а иногда и сейчас) этот анализ так и назывался - исчисление б.м.

Прежде чем излагать основы математического анализа, определимся с некоторыми понятиями, касающимися свойств чисел.

Модуль (абсолютное значение) числа есть положительное число такое, что , если , и , если .

Интервал, полуинтервал и закрытый интервал (отрезок) определяются для любых чисел и таких, что , следующим образом. Число принадлежит:

интервалу , если ; полуинтервалу (), если (); отрезку , если .

Бесконечное множество чисел называют счетным, если его можно пронумеровать (т.е. поставить во взаимно однозначное соответствие числа этого множества с натуральным рядом). В противном случае множество называется несчетным.

Знакоопределенность множества (набора) чисел означает, что все числа множества имеют один знак (все положительные или все отрицательные).

 

1. Понятие бесконечно малого числа

 

В физике, когда в расчетах пренебрегают чем-либо, говорят, что это малая величина, а точнее, - достаточно малая величина в данных условиях и для данных целей. Математика выше конкретных обстоятельств, и физика в случае чего (изменились условия, требуются боле точные результаты и т.д.) обращается к ней. Число в математике - это не метры или граммы, а, так сказать, первый уровень абстракции. Числовую ось можно умножить на любое положительное число, и ничего в ней не изменится. Если искать замену слова "бесконечно", то вместо слова "достаточно" в математике больше подходит словосочетание "сколь угодно", которым мы часто пользовались при определении чисел. Говоря, что б.м. число это сколь угодно малое число, мы подчеркиваем, что по модулю это число меньше любого наперед заданного положительного числа. Отметим, что речь идет не об одном числе, а о множестве б.м. чисел, различающихся по некоторым (см. ниже) свойствам.

Мы собираемся совершать с б.м. числами все те же операции, что и с обычными числами. В частности, и делить на них. Поэтому число не входит в класс б.м. чисел. Деление б.м. чисел друг на друга может давать обычное число. Если же единицу (или любое конечное число не равное нулю) разделить на б.м. число, то получим, так называемое бесконечно большое (обозначение - б.б.) число. В свою очередь б.б. число это не абстрактное "бесконечное число", а опять же сколь угодно большое число (число, которое больше любого наперед заданного числа). Для б.б. чисел также можно определить все арифметические операции. Правда, в отличие от б.м. чисел для них знак более существенен. При делении конечного числа на б.м. число получается положительное б.б. число, если знаки числителя и знаменателя одинаковы; в противном случае получается отрицательное б.б. число.

Для большей иллюстрации смысла б.м. чисел рассмотрим некоторое счетное множество чисел, в котором количество нулей ограничено (или их вовсе нет). Назовем это множество сконцентрированным в нуле, если для любого вне интервала находится конечное количество чисел этого множества. Тогда наугад выбранное число из такого множества можно считать б.м. числом. Т.е. такое множество можно считать заданием некоторого б.м. числа. А если конечное количество чисел находится вне интервала (), то множество представляет положительное (отрицательное) б.м. число. Вместо счетного множества можно брать несчетные множества, в котором число нулей ограничено или счетно, и считать, что вне соответствующих интервалов находится ограниченное или счетное множество чисел.

Все сказанное выше все-таки является лишь качественным определением б.м. чисел. А нам нужно ввести их так, чтобы арифметические операции с ними имели четкий и однозначный смысл. Эту цель можно достичь, если в качестве представлений б.м. чисел рассматривать счетные множества, в которых числа упорядочены (точнее, пронумерованы). Такими множествами являются последовательности. Каждый член последовательности есть число, алгоритм расчета которого задается в зависимости от его номера.

 

2. Последовательности и пределы.

 

Упорядоченное бесконечное множество чисел называется числовой последовательностью. Будем обозначать ее в виде . При этом числа или зависят только от номера , или определяются рекуррентными соотношениями (т.е. зависят от значений каких-то членов последовательности с меньшими номерами).

Примеры последовательностей:

Определение конечного предела: последовательность имеет предел (сходится к ), если для любого найдется номер такой, что при всех . Наличие предела обозначают в виде

Мы часто вместо этого будем писать .

Определение расходящейся последовательности: (), если для любого сколь угодно большого найдется номер такой, что () при всех .

В приведенных выше примерах первая последовательность расходится, а пределы двух остальных соответственно равны и .

Последовательность может и не иметь определенного предела (в том числе и бесконечного). Например, если она состоит из вложенных друг в друга нескольких последовательностей, имеющих разные пределы.

Последовательность, имеющую определенный конечный предел, называют сходящейся.

Необходимое и достаточное условие сходимости: сходится тогда и только тогда, когда для любого можно указать номер такой, что при всех и .

Особое место среди последовательностей занимают ряды, определяющие бесконечные суммы вида , где заданы для любых номеров . Последовательность частичных сумм

и называется рядом. Если последовательность сходится, то ее предел определяет бесконечную сумму:

В противном случае ряд расходится или является неопределенным. Ряд называют абсолютно сходящимся, если суммы из модулей сходятся.

Некоторые признаки сходимости рядов приведены в Приложении. Эти же признаки нетрудно развернуть для оценки других последовательностей.

Теперь мы можем наполнить количественным содержанием понятие б.м. числа. Последовательность, сходящаяся к нулю, может служить эквивалентом б.м. числа, если, начиная с какого-то номера, ее члены отличны от нуля (далее, не ограничивая общность, будем считать, что нулей и вовсе нет). В таком подходе расходящиеся последовательности представляют б.б. числа.

Знакоопределенным последовательностям будут соответствовать знакоопределенные б.м. числа. Если члены последовательности больше (меньше) нуля, то и б.м. число считается большим (меньшим) нуля. Соответствие последовательности некоторому б.м. числу будем обозначать в виде .

 

3. Операции с бесконечно малыми числами.

 

Пусть даны два б.м. знакоопределенных числа и . Арифметические операции определяются соответствующими операциями с членами последовательностей:

Однако деление, если последовательность , где , не имеет предела, является неопределенным. Если эта последовательность сходится, то будем говорить, что и сравнимы и

При будем говорить, что . Если , то представляет б.м. знакоопределенное число. В таком случае будем считать, что имеет больший порядок малости, чем , и обозначать такое соотношение в виде .

Если расходится, то , и представляет б.б. число, знак которого зависит от знаков и так же, как и при делении обычных чисел.

Необходимым и достаточным условием сравнимости и является соотношение

где представляет б.м. число такое, что ; - некоторое конечное число. Пример:

Пример несравнимых и :

Произведение является также знакоопределенным б.м. числом. Очевидно, что порядок малости этого числа больше, чем у и у . Отметим, что произведение дает б.м. число во всех случаях б.м. сомножителей (не обязательно знакоопределенных).

Сумма является б.м. числом (причем, знакоопределенным), если и одного знака. В общем случае сумма двух б.м. чисел является б.м. числом тогда и только тогда, когда лишь для конечного количества номеров .

Таким образом, сумма конечного числа б.м. величин одного знака есть б.м. величина того же знака (очевидно, что степень малости этой суммы определяется слагаемым, имеющим минимальную степень малости). Здесь и ниже мы иногда будем употреблять вместо слова "число" слово "величина", подразумевая, что речь идет о каком-то выражении, точное числовое значение которого не имеет значения. Далее нам остается выяснить, что такое сумма бесконечного количества таких величин.

Пусть задан бесконечный набор положительных б.м. чисел , которым соответствуют последовательности . Результат суммирования формально записывается в виде

Значение этой суммы зависит от того, каким образом связаны два предела. Например, в какой очередности они берутся. Однако ясно, что не имеет смысла брать сначала предел по , так как во всех случаях получим . Если сначала , то результат зависит от вида последовательностей.

Приведем несколько примеров. При (т.е. ) имеем

Если (или ), то . А варианты вида

дают .

Таким образом, всегда можно подобрать набор б.м. величин так, чтобы сумма (1) равнялась любому заданному числу. Этот вывод очень важен в дальнейшем для однозначного определения сумм вида

где какие-то конечные числа ().

Есть и иной вариант определения суммы (1) так, чтобы результат был равен заданному числу в достаточно широком классе б.м. чисел. Речь идет о задании связи двух пределов друг с другом. Например, мы можем считать, что зависит от , и достаточно общей является связь вида

(если или нецелые, то имеется в виду целая часть). Допустим , где . Если , то в (1) получим . При имеем ; а если , то .

В случае получим при по-прежнему (как в случае ) . Но при имеем , а если , то .

Из сказанного следует, что подходящим выбором чисел и в (3) можно получить в (1) заданный результат, одинаковый в довольно широком классе б.м. чисел.

Отметим еще одну особенность ряда, составленного из б.м. чисел. Любая частичная сумма остается б.м. величиной. Поэтому говорить об (1) как о пределе последовательности таких сумм не имеет смысла. Конструктивнее понимать частичную сумму в данном случае в ином смысле, как сумму бесконечного подмножества чисел из данного множества. Например, сначала к добавляются все числа с четными номерами, затем из оставшихся добавляются числа кратные трем и так далее перебираются номера, делящиеся на простые числа.

Таким образом, мы определили смысл основных арифметических операций с б.м. числами так, что этими числами можно пользоваться наряду с обычными числами. Конечно, само по себе б.м. число не информативно (т.е. не несет количественную нагрузку) и является абстракцией постольку, поскольку абстракцией является предельный переход. Когда мы в результате какого-то анализа переходим к числовым итогам, б.м. число обнуляется. А влияние этих чисел на результат заключается в том, что отношение двух таких величин и сумма их бесконечного количества могут давать обычное (и конкретное) число. Другими словами, б.м. числа представляют один из инструментов анализа. И особенно эффективен этот инструмент при исследовании свойств функций и операций над функциями.

Если мы имеем дело с заданным набором (конечным или счетным) знакопределенных б.м. чисел, то можно раскрыть весь смысл этих чисел путем определения структуры этого множества. В любом конечном или счетном множестве таких чисел можно выделить цепочку (конечную или счётную) б.м. чисел, пронумерованных по росту степени малости (), таких, что ни одно из остальных чисел (если такие есть) нельзя вставить в эту цепочку. При этом любое число из этого множества равно произведению какого-то б.м. числа из этой цепочки на некоторое конечное число, не равное нулю. Т.е. все б.м. числа данного множества (пронумерованные индексом ), сравнимые с некоторым из цепочки, являются произведениями вида . Таким образом, найдя цепочку и числа , мы определяем структуру данного множества. Знание такой структуры достаточно, чтобы включить б.м. числа данного набора в сферу арифметических операций.

 

4. Функции.

 

После понятия числа следующим по значимости математическим объектом является функция. Наблюдая окружающий мир, мы видим множество взаимосвязанных явлений, в которых одни величины зависят от значений других. Угол наклона деревьев зависит от скорости ветра, путь, пройденный автомобилем (или падающим телом), определенным образом зависит от времени движения и т.д. и т.п.

Определение функциональной зависимости различных физических величин друг от друга - это количественно оформленная связь между этими величинами. И функция это просто правило, задающее способ расчета этой зависимости.

На языке математики все это звучит следующим образом: функцией называют правило, которое ставить каждому числу из заданной области в соответствие некоторое число . При этом говорят, что " есть функция ", и называют независимой переменной, а - зависимой. Обозначается такая связь в виде или . Когда говорят об аналитической функции, то речь идет о правиле, которое состоит из набора определенных операций, совершаемых в заданном порядке над .

Область определения функции - это множество всевозможных значений переменной , для которых правило, задающее данную функцию, имеет безусловный смысл, т.е. "работает" без привлечения дополнительных условий. Однако здесь есть один нюанс, связанный с понятием "область задания функции". Рассмотрим пример следующей функции

где заданные числа (выражение в правой части (4) называют алгебраическим многочленом -ой степени, если ). Функция (4) определена для всех конечных значений (т.е. в области имеют смысл все операции ее определяющие). Допустим, что мы, задавая вид (4), добавили слова "если ". Тогда областью задания функции будет область , если добавка означает, что вне этой области значение неизвестно или не имеет смысла (например, когда есть величина, которая в принципе не может быть за пределами этой области). Однако никаких уточнений не требуется, если будет еще одно дополнение: вне области значение определяется другим видом функции, в частности такой же как (4), но с другими коэффициентами. Т.е. функция может иметь разный аналитический вид для разных областей изменения переменной . Отметим еще, что запись (или ) означает только то, что значение зависит от значения ( есть функция ), но никак не определяет вид этой зависимости. Когда мы ниже будем говорить о каких-то свойствах (непрерывность, дифференцируемость и т.д.) функций, то речь будет идти именно о свойствах этой зависимости, а не о каких-то особенностях конкретных функций.

Аналогичный смысл имеют и функции от нескольких независимых переменных, когда некоторой совокупности величин из заданной многомерной области по определенному правилу ставится в соответствие некоторая величина . Такая зависимость обозначается в виде или .

Отметим, что областью определения функции может быть и счетное множество чисел. Например, задание последовательности представляет функцию , определенную на множестве целых положительных чисел.

Функция может быть задана в неявной форме, как решение уравнения с двумя неизвестными: . В частности, если (вид функции задан), то . Обобщая, можем говорить, что уравнение (если оно имеет решение) определяет зависимость одной переменной от других.

Приведем некоторые общие характеристики функций (далее равенство функций означает равенство их значений во всей области их определения).

Функция называется однозначной, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение , и многозначной, если хотя бы одному значению соответствует два или более значений .

Функция называется четной, если , и нечетной, если .

Функция является обратной к функции , если из следует (т.е. для всех допустимых ).

Функция является периодической с периодом , если . Функция называется алгебраической, если ее можно задать в неявном виде , где - многочлен относительно и . В частности, рациональная, если она является или многочленом вида (4) (целая рациональная функция), или отношением таких многочленов (дробно рациональная функция). Функция вида называется линейной.

Сложные (громоздкие) функции часто удобнее задавать в виде:

где - некоторые функции.

Кроме алгебраических в число так называемых элементарных (т.е. функций, определяемых конечным числом арифметических операций) входят тригонометрические и показательная функции (а также обратные к ним), определяемые рядами или пределами (см. Приложение).

Конечно, не всякую функцию можно выразить представлением (5) с использованием конечного количества элементарных операций. Есть еще специальные функции, представляемые решениями некоторых стандартных дифференциальных уравнений или результатом расчета особо важных в практике интегралов. Вообще говоря, понятие элементарных функций в некоторой степени условное. То, что таковыми назвали алгебраические, тригонометрические и показательные функции, обязано относительной простоте их интерпретаций (геометрической, физической или математической).

Одним из важнейших свойств функций является характер изменения при изменении . Общее определение функций никак не ограничивает эти изменения. Возможно все, что угодно, вплоть до абсолютного хаоса в распределении значений , когда эти значения в различных точках (при различных аргументах) никак не связаны между собой. Однако ясно, что общий анализ функций будет продуктивен тогда, когда в зависимости будет иметь место некий порядок (регулярность). К тому же и природа не терпит резких скачков (малое изменение одного чаще всего мало меняет другое).

Наглядной интерпретацией функций являются графики. На плоскости проведем две взаимно перпендикулярные прямые (оси координат). На горизонтальной (ось абсцисс) будем отсчитывать значения : направо от точки пересечения (начало координат) растет с положительным знаком, налево - с отрицательным. На вертикальной (ось ординат) отсчитываются значения (вверх - положительные, вниз - отрицательные). Любую точку плоскости можно проектировать (перпендикулярами) на оси координат и характеризовать эту точку парой чисел . И наоборот, любой такой паре соответствует одна и только одна точка плоскости. Функциональная связь выделяет на плоскости некоторое множество точек, называемое графиком данной функции. Упомянутый выше хаос означает беспорядочную разбросанность этих точек. Линейная функция (и только она) отобразится в виде прямой, в частности, дает горизонтальную прямую, проходящую на расстоянии от оси абсцисс. Если функция задается в разных областях значений аргумента разными элементарными функциями, то, скорее всего, получим набор несвязанных между собой кривых. Очевидно, что наличие точек разрыва на графике затрудняет анализ функции в целом.

Неразрывность и плавность - вот наиболее естественные атрибуты, которыми можно характеризовать целостность графика данной функции. В математическом анализе им соответствуют понятия непрерывности и дифференцируемости. Ниже, определяя эти понятия, будем считать, что всюду речь идет о значениях , входящих в область определения функции.

Функция называется непрерывной в окрестности точки , если для любого (сколь угодно малого) , существует такое , что при всех из интервала .

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

На языке б.м. чисел сказанное имеет следующий смысл: функция непрерывна, если разность , где - б.м. число, или тождественно равна нулю, или является б.м. величиной не меньшего порядка малости чем .

Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого существует такое, что для всех и , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

К примеру, функция непрерывна при всех (или при всех ; - точка разрыва), но не является равномерно непрерывной в этой области. В общем случае функция непрерывная на конечном отрезке равномерно непрерывна на этом же отрезке.

Монотонно возрастающая (не убывающая) функция растет (не убывает) с ростом аргумента. Монотонно убывающая (не возрастающая) функция убывает (не возрастает) с ростом аргумента.

Если график функции плавный (нет изломов), то степень роста или убывания функции в каждой точке определяется понятием производной (дифференцированием данной функции). Функции также могут являться членами последовательностей и рядов (см. Приложение).

 

5. Дифференциальное исчисление.

 

Производная функции в некоторой точке является, по сути, мерой изменения (скоростью) функции в этой точке. Ее называют первой производной. Вторая производная - мера изменения скорости. Аналогично раскрывается смысл производных более высоких порядков. И по мере расчета этих величин все глубже и глубже раскрываются свойства функции в окрестности данной точки. Более того, для многих функций знание производных всех порядков в одной точке определяет значения функции в остальных точках.

Нижеследующие определения будем формулировать на языке б.м. чисел, подразумевая при этом, что при расчете отношений речь идет о пределах соответствующих последовательностей.

Дифференциалом функции в точке называется разность (приращение)

где есть б.м. число. Не ограничивая общность, будем считать это число знакоопределенным.

Если в данной точки у существует производная, то и есть знакоопределенная б.м. величина, сравнимая с . Далее знак будет означать бесконечно малое приращение величины, стоящей за ним. Т.е. и дифференциалы рассматриваемых ниже функций будут считаться б.м. величинами.

Производной функции в точке называется отношение , рассчитываемое путем обнуления бесконечно малых слагаемых. Обычно обозначают

Если (), то называют правой (левой) производной функции в точке . Если эти производные совпадают (излома графика в данной точке нет), то неважно знакоопределено б.м. число или нет. Пример функции с изломом: . Часто область определения функции сужают так, чтобы во всех точках области правые и левые производные совпадали.

Итак, функция существует и является в области производной от функции тогда и только тогда, когда для всех дифференциал (6) является б.м. величиной, сравнимой с .

Дифференциал суммы двух функций есть сумма дифференциалов, т.е.

(т.е. операция вычисления производной является линейной).

Дифференциал функции, зависящей от набора переменных , равен приращению

Отношение (8) к одной б.м. величине имеет смысл (сходится), если при или , или . В таких случаях это отношение записывается в виде и называется частной производной функции в многомерной точке . Если существуют все частные производные, то

называют полным дифференциалом функции .

Дифференцированием называют операцию нахождения производной. Повторные дифференцирования дают производные 2-го и более порядков.

Обозначения:

Иногда (особенно, когда аргументом является время) обозначают .

Для иллюстрации сказанного рассмотрим простой пример. Пусть . Тогда и с точностью до б.м. слагаемого. Аналогичным образом нетрудно вычислить, что

для любого неотрицательного целого . Отсюда с учетом (7) следует и алгоритм дифференцирования целых рациональных функций. В частности, если (не зависит от ), то .

Учитывая свойства б.м. величин, нетрудно получить (кроме упомянутых выше) следующие правила дифференцирования:

  1. ;
  2. ;
  3.  

  4. если имеет обратную функцию, и , то ;
  5. если уравнение определяет функцию , то
  6. часто функция задается параметрическим образом: . Тогда, если , то

Приведенных правил и соотношения (10) вполне достаточно, чтобы найти производную любой дифференцируемой функции, определяемой в виде конечной комбинацией элементарных функций. Причем сами соотношения (10) обобщаются и на случай произвольных степеней . При этом для область определения сужается: если есть рациональное число с нечетным знаменателем, то , для остальных отрицательных степеней .

Из свойств степенных рядов (см. Приложение), в которые разлагаются тригонометрические и показательная функция, а также из (10) следует, что

Для любого определена функция . Нетрудно показать, что

Откуда, кстати, следует, что при всех :

Геометрическая интерпретация производной: , где - угол между касательной к графику функции в точке и горизонтальной осью, отсчитываемый от последней против хода часовой стрелки.

Многие функции представимы степенными рядами. Коэффициенты при степенях аргумента в таких рядах имеют непосредственное отношение к производным. Если функция имеет в точке производные всех порядков, то ряд

представляет функцию во всей области значений , где он сходится.

 

6. Интегральное исчисление.

 

Существует несколько способов определения интеграла от функции на отрезке , входящем в область определения этой функции. Самый простой из них следующий:

Здесь явно виден геометрический смысл интеграла: если , то это площадь области, заключенной между кривой и осью абсцисс на отрезке ; если , то это та же площадь но с отрицательным знаком; в общем случае это разность площадей "верхних" и "нижних" частей области между кривой и осью абсцисс. Отметим, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций.

Если предел в (11) сходится, то говорят, что функция интегрируема на данном отрезке. Другие способы определения интеграла чаще всего призваны для расширения класса интегрируемых функций. Мы обобщим (11), используя б.м. числа, предоставляющие больше свободы в выборе различных трактовок.

Пусть есть последовательность положительных б.м. величин таких, что

Тогда

где

Вспоминая определение рядов из б.м. чисел (см. (1-3)), раскроем смысл приведенных соотношений. Пусть , где совокупность положительно определенных последовательностей. Тогда

 

где

Зависимость подбирается так, чтобы удовлетворялось (13).

Если можно подобрать такие, что предел в (14) сходится, то можно говорить об интегрируемости функции. Определение (11) есть частный случай (14) при и .

Если нижеследующие интегралы существуют, то имеют место свойства:

  1.  

  2. (замена переменных)
  3. (интегрирование по частям)

Полагая, что пределы интегрирования являются переменными, можно определить функцию

Причем

где функция есть решение простейшего дифференциального уравнения:

Т.е. интегрирование является операцией обратной дифференцированию.

Функцию (определенную с точностью до постоянного слагаемого) называют первообразной функции , а операцию, обратную операции дифференцирования, называют неопределенным интегралом, который записывают без обозначения пределов. Т.е. из (15) следует:

Итак, основная теорема интегрального исчисления формулируется следующим образом: если функция функции ограничена и интегрируема на отрезке функции , и на этом отрезке существует ее первообразная функции , то при всех функции

Если или (или и то, и другое), то интегралы называются несобственными и определяются пределами:

В принципе любой определенный интеграл можно записывать в виде интегрирования по всей числовой оси (), обнуляя при этом подынтегральную функцию вне действительного отрезка интегрирования соответствующим множителем. Отметим, что несобственными называются также и интегралы по конечному отрезку в случаях, когда сам интеграл сходится, а подынтегральная функция расходится в каких-то точках отрезка.

Если подынтегральная функция зависит от нескольких переменных, по одной из которых производится интегрирование, то остальные называются параметрами. При заданных пределах интегрирования результат будет функцией параметров. И здесь возникают два вопроса. Первый - в каких областях значений параметров интеграл сходится. Второй - в каких случаях дифференцирование результата по параметру можно переносить под знак интеграла. Вопрос об определение области сходимости решается лишь при конкретизации функций. Для общего ответа на второй вопрос достаточно предположить, что такая область существует хотя бы как окрестность значения параметра, по которому берется производная. В частности, можно утверждать, что

в области , если в этой области интегралы в (18) сходятся (причем второй равномерно), а функции и непрерывны по обеим переменным при всех .

Кратные интегралы задаются как повторными интегрированиями по одной и той же переменной, так и интегрированием по нескольким переменным. В последнем случае говорят об интегралах по многомерной области. На практике наиболее важными из них являются интегралы по поверхности (двойные интегралы) и по объему (тройные интегралы).

В Приложении приведены некоторые из распространенных интегралов. В частности, там же уделено внимание несобственным интегралам, зависящим от параметра.

 

7. Локальные свойства функций. Максимумы и минимумы.

 

Аппарат дифференцирования весьма полезен для выяснения качественных свойств функций. Не прибегая к количественным расчетам, из анализа производных можно оценить поведение функции в той или иной области задания переменных.

Что обычно в первую очередь хочется знать о данной функции? Какие признаки можно считать ее качественными характеристиками? Конечно, возможны различные предпочтения, но, несомненно, прежде всего функцию характеризует следующее: растет ли она на данном отрезке или убывает, и есть ли точки экстремумов, где рост и спад сменяют друг друга.

Чтобы формализовать такого рода признаки введем определения.

Функция монотонно растет (убывает) на отрезке , если для любых , принадлежащих этому отрезку, имеем

Если в (19) неравенства нестрогие (), то говорят о неубывающей (невозрастающей) функции.

Точки, где монотонность меняет знак (рост сменяется спадом или наоборот), называются точками экстремумов (максимумов и минимумов).

Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если найдется такое, что при любых , удовлетворяющих неравенству , имеем

Далее будем рассматривать непрерывные функции, дифференцируемые в рассматриваемой области переменных достаточное число раз (два раза, как минимум). Тогда области монотонности и точки экстремумов можно определить на языке производных.

Необходимым и достаточным условием монотонности функции на отрезке будет отличие от нуля первой производной на всем отрезке. При этом (в силу непрерывности ) эта производная на всем отрезке имеет один и тот же знак. Если , то функция растет, если , то функция убывает.

Разрыв монотонности означает, что в некоторой точке производная равна нулю. При этом возможны два варианта поведения производных в некоторой окрестности точки . Если по разные стороны от этой точки производная имеет разные знаки, то является точкой экстремума. Если знаки этих производных одинаковы, то называют точкой перегиба. Таким образом, имеют место следующие утверждения.

Точка является точкой локального экстремума функции в том и только в том случае, если найдется такое, что при всех и , удовлетворяющих неравенствам , имеем

При этом если , то экстремум является максимумом, в противном случае - минимумом.

Точка является точкой перегиба, если при тех же ограничениях на и , имеем

Отметим, что из (21) автоматически следует . Т.е. равенство нулю первой производной является необходимым условием наличия точек экстремумов или перегибов. Однако этого условия недостаточно, чтобы выяснить, какая именно точка (максимума, минимума или перегиба) имеет место. В то же время условия (21, 22) не очень удобны для решения этого вопроса, так как они являются соотношениями, которые нужно проверять для множества точек. Чтобы оперировать соотношениями, связанными только с одной точкой , достаточно считать б.м. величиной и анализировать разложение (21, 22) по степеням и . В результате мы получим условия, связанные с производными вторых и больших порядков в точке .

Пусть производные функции первых порядков в точке равны нулю, а производная -го порядка отлична от нуля:

Тогда при четном точка есть точка экстремума (если , то максимума, если , то минимума) а при нечетном эта точка является точкой перегиба.

Отметим следующее следствие. Если является точкой экстремума (перегиба) функции , то является точкой перегиба (экстремума) функции . Этот вывод можно обобщить и для прочих произведений, если учесть, что функция, удовлетворяющая (23), может быть аппроксимирована в окрестности точки степенной функцией

Итак, при поиске точек перегиба и экстремумов функции ищем решение уравнения . Если такие решения есть, то рассчитываем вторые производные в этих точках. Если в какой-то из этих точек вторая производная равна нулю, то анализируем третью производную в данной точке. И так до тех пор, пока очередное дифференцирование не приведет к отличному от нуля результату. Порядок такой производной и его знак и даст нам информацию о том, что это за точка.

Однако такая процедура проходит не для всех функций, так как аппроксимация (24) не является необходимой для существования искомых точек. Например, дифференцируемые функции

не могут быть разложены в ряд по степеням , так как все их производные конечных порядков в точке равны нулю. В то же время в точке первая из этих функций имеет минимум, а вторая - точку перегиба.

Далее определим смысл экстремальных точек для функций от большего числа переменных. Обозначим через - точку в -мерном арифметическом пространстве.

Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если найдется такое, что при всех , удовлетворяющих условию

имеет место неравенство

В классе дифференцируемых функций одним из необходимых условий экстремальности функции в точке является равенство нулю всех частных производных в этой точке:

Далее исследуются производные следующих порядков. Пусть не все производные второго порядка в точке равны нулю. Если квадратичная форма, определяемая вторыми производными, будет знакоопределенной, то в данной точке имеет место локальный экстремум: в точке функция, удовлетворяющая (26), имеет локальный максимум (минимум), если для любой совокупности действительных чисел имеем

здесь

Если форма не является знакоопределенной, то поведение в окрестности точки зависит от траектории, по которой мы проходим через точку . Пусть эта траектория есть прямая: , где - заданные величины, определяющие направление прямой, а - переменный параметр. Тогда для функции точка в зависимости от направления прямой будет или точкой перегиба, или точкой экстремума. Причем, если , то при переборе направлений встречаются только перегибы и максимумы, если же , то перегибы чередуются только с минимумами (имеют место и обратные утверждения). Если квадратичная форма может иметь любой знак, то будут встречаться и перегибы, и максимумы, и минимумы.

Следуя геометрической интерпретации, точки удовлетворяющие (26) и не удовлетворяющие (27), будем называть седловыми точками.

Таким образом, смысл точек, удовлетворяющих (26), связан со свойствами матрицы , а точнее, со знаками собственных значений этой матрицы в силу закона об инерции квадратичных форм (подробнее в разделе "Матрицы и операторы"). В том и только в том случае, когда все собственные значения имеют один и тот же знак, точка является точкой локального экстремума (максимума, если отрицательные, и минимума, если положительные). В остальных случаях имеет место седловая точка. При этом, если собственные значения неположительные, то перегибы чередуются с максимумами, если неотрицательные, то перегибы чередуются с минимумами, если же существуют хотя бы одна пара собственных значений с разными знаками, то перегибы смешаны с максимумами и минимумами.

Равенство нулю всех собственных значений имеет место в данном случае тогда и только тогда, когда матрица является нулевой (т.е. все производные второго порядка в точке равны нулю). В таких случаях рассматриваются производные третьего порядка. Если хотя бы одна из них в точке отлична от нуля, то эта точка является седловой. В противном случае анализируется форма 4-ой степени, определяемая частными производными 4-го порядка. Если и эта форма тождественно равна нулю, то рассматриваем производные следующих порядков.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Приведем признаки сходимости ряда (они применимы и к последовательности при замене ). При этом в скобках будут приводиться условия расходимости.

Ряд с положительными членами сходится (расходится), если найдется номер такой, что при всех удовлетворяется хотя бы одно из следующих условий.

  1. или , где есть члены сходящего (расходящего) ряда .
  2. Существует число () такое, что хотя бы одна величин
  3. где , меньше (больше) или равна .

  4. (), где функция невозрастающая, а несобственный интеграл от нее в пределах от до сходится (расходится).

Первый (а, по сути, и третий) признак является признаком сравнения. Обычно для сравнения берут ряд, в котором . Такой ряд сходится при и расходится при .

Признак Лейбница. Знакочередующий ряд (т.е. ряд, где ) сходится, если последовательность является невозрастающей и предел .

Равномерная сходимость. Последовательность , где функции определены при , равномерно сходится в области тогда и только тогда, когда для любого существует номер такой, что при всех , и имеет место неравенство .

Признак Вейерштрассе. Функциональный ряд равномерно сходится, если найдется сходящийся числовой ряд () такой, что во всей области определения функций при всех имеет место неравенство .

Из приведенных признаков сходимости рядов можно получать условия сходимости несобственных интегралов. К примеру, несобственный интеграл от функции по равномерно сходится в области , если найдется интегрируемая по области функция такая, что при всех .

Степенной ряд относительно есть ряд вида

Существует, так называемый, радиус сходимости () такой, что ряд (П2) абсолютно сходится при и расходится, если . Далее, не ограничивая общность, можно считать .

Нетрудно показать, что, если найдется число такое, что при всех , то радиус сходимости не меньше единицы.

Ряды с радиусом сходимости ():

Тригонометрические и показательная функция определяются рядами, у которых радиус сходимости :

Отметим, что показательная функция может быть определена и пределом:

Обратные функции соответственно обозначаются в виде

Если в рядах (П3) , определяющих и , убрать множитель , то приходим к гиперболическим функциям, которые можно выразить с помощью показательной функции:

Соответствующие обратные функции обозначаются в виде:

Дифференцируя ряды, получим производные:

Отсюда следуют и неопределенные интегралы от введенных функций. Приведем, опуская постоянные слагаемые, еще ряд простейших неопределенных интегралов:

Вычисление определенных интегралов не составляет проблем, если первообразная подынтегральной функции выражается комбинацией элементарных функций. В противном случае, скорее всего, придется прибегнуть к помощи компьютера. При этом говорят, что в первом варианте задача решается аналитическими методами, а в во втором - численными.

Однако во втором варианте есть случаи, когда действенны аналитические методы. В основном это относится к интегралам с бесконечными пределами (это демонстрирует, что операции с бесконечными величинами приводят часто к более простым результатам, чем с конечными величинами). Ниже, на конкретных примерах рассмотрим методы расчета таких интегралов.

Прежде всего, отметим, что при :

в частности,

Эти соотношения часто позволяют сократить число параметров (а иногда и вовсе избавиться от них) в подынтегральной функции.

Одним из важнейших в практике является интеграл

Первообразная от функции не выражается через элементарные функции, поэтому ее просто считают новой функцией и, умножая на некоторую константу, называют интегралом ошибок. Но откуда тогда следует (П5)? Один из способов следующий. При возведении интеграла (П5) в квадрат получается двойной интеграл по всей плоскости . Далее производится замена переменных: , где и . В результате квадрат искомого интеграла равен

Обобщением (П5) является интеграл

рассчитываемый из рекуррентных соотношений .

Учитывая разложение функции в степенной ряд и равенства (П6), нетрудно получить

С помощью (П7) можно доказать, что

Для этого рассмотрим интеграл

( есть интеграл в (П8)). Так как

Получим

где . Откуда при и приходим к (П8):

Отметим, что

где есть ступенчатая функция:

(или: ; при ).

Для расчета интегралов кроме общих методов интегрирования, приведенных в основном тексте, применяются и другие методы. Некоторые из них мы выше использовали: разложение в ряды; дифференцирование по параметру; введение под знак интеграла множителя, который выбором того или иного значения параметра можно превратить в заданную константу (или функцию).

В ряде случаев эффективны методы, основанные на свойствах функций от комплексных переменных. Например, следующий результат

довольно простым образом получается как частный случай интегрирования в комплексной плоскости.

Содержание