Все ли ладно в "королевстве" чисел?

Любое число интервала можно представить в виде суммы:

где и - целые числа, причем и для всех .

При мы имеем разложение в десятичную дробь, которую записываем в виде . Геометрическая интерпретация этой дроби следующая. Разделим интервал на десять интервалов одинаковой длины (меры): 1-ый - , 2-ой - , , 10-ый - . Далее делаем то же самое с -ым интервалом, в котором выделяем -ый интервал и идем дальше. Так, шаг за шагом, мы сужаем область нахождения числа . Обрывается эта цепочка лишь при условии, что можно представить в виде дроби

где - целые неотрицательные числа. Тогда на каком-то шаге число попадает точно на левый край соответствующего интервала и на этом можно остановиться. При этом число слагаемых в сумме (1) при будет конечным.

Несчетность множества точек на интервале и условность понятия меры приводят к различным парадоксальным соотношениям. Ниже мы рассмотрим некоторые из них.

Обозначим множество точек интервала через и определим, что его мера (длина) равна единице: . Множество всевозможных разложений (1) при заданном обозначим через . Т.е. элементами являются последовательности целых чисел, каждое из которых больше или равно нулю и меньше . Например, в (двоичная система) эти последовательности состоят из нулей и единиц. При любом множества и можно привести во взаимно однозначное соответствие так, что каждой точке будет соответствовать один элемент множества и наоборот, каждому элементу множества будет соответствовать одна точка множества . Другими словами множество может быть однозначно отображено множеством (и наоборот). Мы будем обозначать такое соответствие символом : . Между множествами есть и другие виды отношений. Так обозначение означает, что является подмножеством множества , т.е. каждый элемент множества есть элемент множества . Отметим важную особенность бесконечных множеств: соотношения и могут и не противоречить друг другу. Например, если - множество четных чисел, а - множество всех целых чисел, то . В то же время каждое четное число это целое число, умноженное на два, т.е. .

Пусть множество отображено множеством . Т.е. каждая точка полуинтервала однозначно "изображается" некой десятичной дробью (и наоборот - всякая десятичная дробь "изображает" точку этого полуинтервала). Это значит, что любое определение меры в можно считать определением меры в и можно положить . Исключим из множества подмножество , состоящее из чисел, в разложении которых нет числа . Т.е. ( принадлежит ), если , где для всех . В оставшейся части множества все числа содержат в своем разложении хотя бы одну девятку.

Определим меру множества , исходя из геометрической интерпретации отображения в . На первом шаге мы делим на отрезков с мерами равными . При этом 10-ый отрезок полностью отображается в . В каждом из остальных отрезков то же самое можно сказать при аналогичном разбиении о последних подотрезках. Продолжая эту процедуру, получим

Отсюда следует, что . А значит, множество представляется в мерой : .

Теперь рассмотрим множество с другой стороны. Как множество последовательностей, оно полностью идентично множеству . И если бы в сумме (1) равнялось не , а , то интервал полностью отображался множеством и его мера равнялась бы . То же самое можно сказать и множествах . Когда они отображают множество , они имеют меру . Но когда они считаются подмножествами множества , отображающего все точки множества , их мера равна ! Все это кажется странным, однако это только "цветочки"!

Для определенности будем оставаться в десятичной системе (все сказанное ниже имеет смысл и в другой системе). Зададим конечный набор целых чисел , где при всех . Будем говорить, что число содержит этот набор, если найдется хотя бы один номер такой, что

Выделим из множества все числа, которые не содержать такой набор, и объединим их в множество . Тогда имеет место следующее утверждение.

При любом конечном и любых заданных мера равна .

Следствие: числа, каждое из которых содержит каждый набор из конечного количества наборов приведенного типа, составляют множество с мерой .

Доказательство этого основано на постулате, который сформулирован ниже. Пусть задан некий конечный признак, отличающий одни числа от других. В множестве объединим числа, удовлетворяющие признаку, в множестве - остальные. Рассмотрим множество чисел вида . Часть из них входит в ; обозначим их количество через . Количество остальных обозначим через . Очевидно, что . Конечность признака означает, что с какого-то будут иметь место числа обоих типов. Постулируется, что

Приняв (2), читатель сам с помощью обычной комбинаторики сможет доказать приведенное выше утверждение. При этом нет необходимости рассчитывать (или ) точно. Достаточно знать порядок их значений.

В этом случае соотношения (2) очевидны, так как все числа с равной вероятностью могут иметь значения .

Условно назовем число, которое содержит каждый из всевозможных наборов вида ( для всех , - сколь угодно большое конечное число), особым.

Из сказанного выше следует, что наугад "выбранное" число из интервала (или из другого отрезка ненулевой длины) является особым. Кавычки поставлены, так как речь идет о бесконечной цепочке шагов, в каждом из которых с равной вероятностью выпадает одно из десяти чисел. В такой процедуре в пределе получается бесконечное количество информации и неудивительно, что в этой информации может содержаться любое конечное количество информации соответствующей структуры. Выражение "наугад выбранное" можно заменить словом "случайное". Тогда случайное число и особое число означает один и тот же тип чисел. Итак, образно говоря, любое случайное число содержит в своем разложении роман "Война и мир" (без пропусков и вклиниваний). И этих чисел несравнимо больше остальных.

Очевидно, что рациональные числа не являются особыми. Возможно, не случайными являются и числа, для которых существует конечный алгоритм расчета каждого члена разложения, например, в десятичную дробь. Чтобы доказать или опровергнуть это, нужно четко определиться с понятием "конечный алгоритм".

В связи со всем вышесказанным возникает много вопросов. Можно ли считать все алгебраические числа не случайными или среди них есть и случайные? Еще более сложен вопрос о трансцендентных числах, которые являются пределами заданных последовательностей. Например, числа . Они случайные или нет?

В общем случае вопрос можно поставить так: если у нас есть рецепт расчета числа с любой заданной точностью за конечное число шагов, то можно ли считать такое число неслучайным? Если ответ будет утвердительный, то это означает, что мы никогда не сможем определить ни одного случайного числа. Тогда название "особое" получает смысловую нагрузку типа "невидимое", а еще резче - "недоступное".

Если окажется, что случайные числа являются в принципе недоступными, то естественны будут вопросы: какой в них смысл; может ли теория чисел без них обойтись; или это не числа, а нечто абстрактное для заполнения "пустот", которые для нас немыслимы.