Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Пример для расчета вероятностей.

В математической части проблемы все достаточно просто и однозначно. Задается полный набор равновероятных исходов таких, что опыт завершается одним и только одним из них. Определяются исходы, приводящие к свершению данного события. Тогда вероятность свершения данного события равна отношению числа благоприятствующих исходов к числу всех исходов.

В общем случае, когда исходы не обязательно равновероятны, суммируют вероятности благоприятствующих исходов.

На практике, прежде чем задача станет математической, придется решить ряд проблем. Выявить какие факторы являются случайными, а какие – заданными условиями проведения опыта. Определить их влияние через количественные параметры. Задать границы и точность измерения этих параметров. Наверняка придется кое-что упростить и кое-чем пренебречь, чтобы придти к решаемой задаче. И надо помнить, что вероятность имеет смысл для статистических моделей, т.е. для множества опытов, повторяемых в одинаковых условиях. Уникальные опыты, не имеющие аналогов, не являются предметом вероятностного подхода.

Для анализа предлагается следующая проблема.

Выпуклый многогранник бросается на горизонтальную поверхность. При остановке он ложится на какую-то грань, которую будем называть выпавшей. Найти вероятности выпадания граней.

Это общая постановка задачи и ее анализ невозможен без конкретизации основных факторов, влияющих на исход опыта. Можно предложить следующие упрощения.

  1. Плотность массы постоянная (центр тяжести это геометрический центр).
  2. Начальное положение произвольное, а точнее, не влияет на результат.
  3. Все грани устойчивые (перпендикуляр от центра тяжести к плоскости грани проходит через эту грань).

Прочие предположения могут быть связаны с условиями бросания (почти горизонтально, вертикально вниз, …), с физикой процесса (трение, скорость потери энергии, упругость, …) и прочими обстоятельствами.

Для примера проведем качественный анализ двумерного аналога (например, длинный стержень, сечением которого является выпуклый многоугольник). Пренебрежем скольжением и рассмотрим два варианта бросания.

  1. Многоугольник (далее – тело) катится (горизонтальное бросание).
    Предположим, что он катится достаточно долго, т.е. кинетическая энергия уменьшается медленно (падение на ребро достаточно упругое и происходит с малыми потерями энергии). В процессе движения, чтобы перейти с данного ребра на соседнее, тело в зависимости от направления движения должно преодолеть один из потенциальных барьеров

    U1 = mg(a1 – h), U2 = mg(a2 – h),

    где m - масса тела, g - ускорение силы тяжести, h, a1, a2 - расстояния от центра тяжести соответственно до ребра и до двух его концов. Не преодолев барьер, тело падает обратно на ребро. Если второй барьер преодолим, то тело покатится обратно и дальше. В противном случае, покачавшись, тело ляжет на данное ребро. Таким образом, данное ребро выпадет, если к моменту подхода к этому ребру энергия тела была меньшей, чем минимум из двух потенциальных барьеров. А дальше все зависит от того, по какому закону уменьшается кинетическая энергия тела. Если этот закон линейный, то искомая вероятность равна отношению минимального барьера данного ребра к сумме минимальных барьеров всех ребер.

  2. Падение вертикально вниз.
    Тело падает на какую-то из вершин (вероятность падения в точности на ребро равна нулю) и валится на одно из двух смежных ребер. Пренебрежем вращением, полагая, что падение на ребро достаточно неупругое (после отскока у тела уже не остается энергии, чтобы преодолеть барьер). Т.е после первого же падения на ребро тело остается на этом же ребре. Тогда путем несложных расчетов получим, что вероятность выпадания ребра равна углу между направлениями от центра тяжести к концам этого ребра, деленному на 360 (если в радианах, то на 6.28).

    В приведенном анализе двумерной задачи мы в целях упрощения делали ряд серьезных предположений, касающихся факторов, влияющих на исходы опыта. Попытайтесь оценить что изменилось бы, если учесть что-то из упущенного. Проведите анализ исходной трехмерной задачи: в каких случаях ее можно решить; будет ли приведенный двумерный анализ при тех же условиях результативен для трехмерной задачи.