Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Теория групп

 

1. Определения и характеристики групп

 

Качественный смысл группы можно определить следующим образом. Допустим, дан класс элементов , в котором определена некоторая замкнутая бинарная операция, обозначаемая в виде , где и элементы класса (ниже под и будут подразумеваться любые элементы класса ). И пусть класс содержит элемент ("единица") такой, что . Если при всем этом уравнения вида и имеют решения из класса для любых и , то данный класс элементов можно называть группой. Операцию , по которой определена группа, обычно называют абстрактным умножением. Далее мы будем опускать знак умножения: .

Прежде чем приступить к более строгим определениям условимся о следующих обозначениях:

- элемент входит (не входит) в класс ; - все элементы класса входят в класс ; есть множество элементов, принадлежащих и , и ; есть множество элементов, принадлежащих или , или .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: класс элементов является группой (по данной операции), если для любых имеем:

  1. .
  2. .
  3. Существует элемент такой, что .
  4. Для любого существует такой, что .

Произведения вида записывают в виде целых степеней . При этом . Отметим, что

Коммутативная (абелева) группа - это группа, в которой произведение любых двух элементов перестановочно: для всех и из данной группы. При этом сама определяющая операция называется также коммутативной.

Конечной группой порядка называется группа, содержащая конечное число элементов. Бесконечные группы могут быть счетными или несчетными.

Циклическая группа состоит из степеней одного элемента: . Очевидна коммутативность такой группы.

Подгруппой группы называют подмножество элементов , которое является группой относительно операции, определяющей данную группу . Нетрудно показать, что подмножество является подгруппой группы тогда и только тогда, когда для любых и : или , или .

Если и есть подгруппы группы , то их пересечение также является подгруппой группы .

Единичный элемент и сама группа называются несобственными подгруппами группы . Остальные подгруппы называют собственными.

Теорема Лагранжа: если есть конечная группа порядка , то порядок любой ее подгруппы является делителем . Число называют индексом подгруппы в группе .

Из этой теоремы следует, что группа простого порядка не может иметь собственных подгрупп. Кроме того, можно доказать, что такая группа обязательно является циклической.

Каждый элемент группы порождает циклическую подгруппу из степеней этого элемента. Порядок такой подгруппы называют порядком элемента . Если этот порядок конечен, то он равен наименьшему из целых чисел , при которых . В противном случае называют элементом бесконечного порядка.

Две группы называются изоморфными друг другу, если все их элементы можно взаимно однозначным образом сопоставить друг другу так, что каждый результат произведения двух элементов одной группы оказывается сопоставленным результату произведения соответствующих сопоставленных элементов другой группы.

Все циклические группы одного и того же конечного порядка являются изоморфными друг другу. Например, если элементы двух циклических групп порядка есть степени элементов и соответственно, то изоморфизм задается сопоставлением для всех .

Элементами групп могут быть любые объекты. Например: числа, матрицы, операторы, преобразования, множества (в частности, сами группы) и т.п.. Ниже приведены примеры некоторых, наиболее наглядных, групп.

 

2. Примеры групп. Группы перестановок.

 

Примеры групп, в которых определяющей является операция сложения:

  1. все целые числа ();
  2. - рациональные числа;
  3. - действительные числа;
  4. - комплексные числа.

Причем (есть подгруппа группы , есть подгруппа группы и т.д.). Единичным элементом в таких группах является число .

Совокупность четных чисел также представляет группу по сложению. Причем она является подгруппой группы и в то же время изоморфна ей. Отметим, что такое положение возможно лишь для бесконечных групп.

Очевидно, что всякая бесконечная циклическая группа с элементами

изоморфна группе . Т.е. все циклические группы счетного порядка имеют одну и ту же структуру.

Группы по арифметическому умножению (единичный элемент - число ):

  1. - рациональные числа кроме нуля;
  2. - действительные числа кроме нуля;
  3. - комплексные числа кроме нуля;
  4. - корни -ой степени из : , .

Отметим, что , а есть циклическая группа порядка .

Особое место среди конечных групп занимают группы перестановок, называемые симметрическими группами . Элементами группы являются перестановки местами чисел в строке так, что каждый элемент определяется строкой , где некоторые, неравные друг другу, целые числа от до . Для иллюстрации представим, что какие-то различных предметов были разложены по одному в каждый из пронумерованных ящиков. Тогда перестановка, задаваемая строкой , означает, что предмет, ранее лежавший в -ом ящике, теперь лежит в -ом ящике. Возможна и обратная интерпретация: то, что лежало -ом, переходит в -ый ящик. Здесь просто вопрос выбора. Если выбрана первая интерпретация, то во второй речь идет об обратной перестановке (и наоборот). Далее мы, не конкретизируя тот или иной выбор, будем говорить о перестановке номеров.

Число всевозможных перестановок такого рода (а значит и порядок данной группы ) равно . Единичным элементом является отсутствие всякой перестановки. Произведение элементов, означает перестановку уже переставленное. Так, если и , то

Структура симметрических групп весьма разнообразна. Это разнообразие, а главное - широту приложений, подчеркивает следующее положение.

Теорема Кэли: любая конечная группа порядка изоморфна некоторой подгруппе группы .

Учитывая такую важность симметрических групп, мы рассмотрим их более подробно, отметив, прежде всего, что .

Всякая перестановка состоит из циклов. Возьмем перестановку и посмотрим, к примеру, куда (точнее, каким образом) переместилось в этой строке число (т.е. предмет из 1-го ящика), если . Находим , где . Если , то находим , где . И так далее, пока не придем к .

В результате мы выделяем цепочку перестановок

которая является круговой и называется циклом данной перестановки. Если в этой цепочке , то вся перестановка состоит из одного цикла. В общем случае цикл, обозначаемый в виде , означает, что в данной перестановке на -ом месте стоит , на -ом месте стоит , , а на -ом месте стоит . Если , то это означает, что данный номер не переставляется. Такой цикл называют простейшим. Если , то вся перестановка исчерпывается данным циклом, который можно назвать полным циклом. В противном случае можно выделять циклы среди оставшихся номеров, пока не будут исчерпаны все.

Таким образом, всякая перестановка состоит из совокупности циклов. Любой цикл можно считать перестановкой (элементом) данной группы, если эта перестановка состоит из данного цикла и совокупности простейших циклов (т.е. номера, не входящие в цикл, не переставляются). В таком представлении любая перестановка разлагается на произведение циклов. При этом порядок сомножителей не имеет значения, так как разные циклы касаются разных номеров. Кроме того, в этом произведении можно опускать простейшие циклы. Сам цикл записывается с точностью до круговой перестановки, т.е.

Количество номеров в цикле можно называть его длиной. Множество циклов принадлежат при всех . Число всевозможных циклов одинаковой длины в равно

В частности, число различных полных () циклов равно . Число всевозможных комбинаций из двух циклов с длинами и равно:

где , если , и , если .

Обобщение (1, 2) зависит от кратности длин циклов. С учетом простейших циклов любая перестановка из состоит из циклов длиной , из циклов длиной , и из циклов длиной , причем все различны, и . Тогда число перестановок данной структуры равно

Частные случаи (1, 2), записанные без учета простейших циклов, получаются из (3), полагая и ( или ) или (). Отметим, что единичному элементу из в (3) соответствует , при котором (3) равно .

С помощью (1-3) можно выявить структуру группы . Развернем эти структуры для групп начальных порядков. При этом в комбинациях циклов не будем учитывать простейшие циклы. Перечисляя перестановки, единичный элемент (отсутствие циклов кроме простейших) будем опускать (т.е. в перечисляются элементов).

  1. Группа состоит из перестановки с одним циклом длиной .
  2. Группа состоит из перестановок с одним циклом длиной и перестановок с одним циклом длиной (итого перестановок).
  3. Группа состоит из перестановок с одним циклом ( с циклами длиной ; - длиной ; - длиной ) и перестановок с двумя циклами с длинами равными (итого перестановки).
  4. Группа состоит из перестановок с одним циклом ( с циклами длиной ; - длиной ; - длиной ; - длиной ), перестановок из двух циклов с длинами равными и перестановок с двумя циклами с длинами равными и (итого перестановок).

Широкое применение имеют группы, в которых элементами являются матрицы с отличными от нуля определителями. Групповая операция - матричное умножение. Если определители матриц равны или , то соответствующие группы называют унимодулярными. В специальных унимодулярных группах определители матриц равны только .

Обобщением групп перестановок являются группы преобразований. Отличие заключается главным образом в том, что объекты преобразований могут составлять несчетное множество, а не только конечный набор символов (номеров).

Пусть есть некоторый класс объектов. Преобразование ставит в соответствие каждому объекту один (и только один) объект . Если при этом каждый объект из является отображением одного (и только одного) объекта из , то такое преобразование называется взаимно однозначным (в частности, этим свойством обладают перестановки). Далее будем считать преобразования взаимно однозначными.

Множество всевозможных преобразований образуют группу, в которой групповой операцией является последовательное применение двух преобразований (умножение операторов):

Инварианты преобразований. Пусть на множестве определено преобразование . Всякая функция называется инвариантной относительно этого преобразования, если

для всех из . Если этим же свойством функция обладает относительно всех преобразований из некоторой подгруппы , то такую функцию называют инвариантной по отношении к подгруппе преобразований . Важнейшей прикладными задачами являются определение всех инвариантов по отношению к той или иной подгруппе преобразований.

Если множество состоит из конечного числа объектов, то группой преобразований на этом множестве является симметрическая группа . При этом всякая конечная группа порядка являлась изоморфной некоторой подгруппе группы (теорема Кэли).

В общем случае теорема Кэли гласит: всякая группа изоморфна некоторой подгруппе группы преобразований некоторого класса объектов на себя. Это значит, что любая группа может быть представлена некоторой подгруппой преобразований, и все структурные свойства группы будут так или иначе отражены в структуре представления.

 

3. О прикладном значении групп.

 

Прежде чем идти дальше, попробуем лучше понять ту роль, которую играют группы в теоретических исследованиях.

Важное свойство группы, уже упомянутое выше, заключается в том, что для любых ее элементов и уравнение (или ) имеет решение (или ), являющее элементом этой же группы. Т.е. "деление", как операция обратная абстрактному умножению, в группе также является замкнутым. Например, в классе положительных чисел сложение является замкнутой операцией, однако вычитание носит условный характер. Введение отрицательных чисел, в результате которого получилась группа относительно сложения, сделало вычитание безусловной (замкнутой) операцией. Излишне напоминать какие выгоды это дало.

В группах ощущается некая завершенность. В них нет лишнего, и они могут "жить" самостоятельно. То же самое можно сказать о природе в целом и о многих отдельных явлениях. Поэтому в своих восприятиях люди обычно считают изъяном незавершенность явлений. Если в некой мозаике нет какого-то фрагмента, завершающего картину, то мы, прежде всего, будем думать, что он выпал из поля зрения (или буквально, или у нас плохое зрение), и лишь в последнюю очередь будем допускать, что картина таковой и была задумана. Мы "дорисуем" круг, если видим, что данный кусочек кривой совпадает с дугой окружности. Если что-то есть справа, то ищем аналогичное слева. А не найдя, считаем, находящееся справа, чем-то уникальным. Природе характерна экономичность, которая может быть выражена в различных формах симметрии. А смысл той или иной формы может быть отображен структурными свойствами групп. Ярким примером сказанного могут служить систематизация элементарных частиц с помощью групп симметрии, в результате которого были предсказаны новые частицы.

Научный анализ с помощью теории групп - это некий тест на полноту и завершенность математических представлений реального мира. Все законы сохранения имеют смысл постольку, поскольку они опираются на групповые представления. Если мы говорим, что нечто не изменяется при свершении каких-то действий, то это просто констатация набора фактов. Научной гипотезой это становится, когда под набором действий мы понимаем определенную группу преобразований (действий), которые оставляют неизменным это нечто. Здесь важна не формальная сторона дела, а то, что проверка гипотезы становится на рациональный путь: структурные свойства группы могут упростить доказательство гипотезы. Например, если группа циклическая, то достаточно рассмотреть один элемент (преобразование).

В то же время следует отметить, что все результаты, полученные с помощью теории групп, можно было бы получить другим путем (правда путь этот был бы более извилистым и долгим). В содержании теории групп нет ничего, чего не было бы в остальных разделах математики. Просто в ней в рамках единой концепции собраны наиболее общие свойства известных объектов и операций. Это позволяет находить те или иные характеристики решений многих математических задач, не прибегая к детальному анализу данной математической модели. К тому же такого рода результаты могут автоматически следовать для целого класса моделей, объединенных по некоторому групповому признаку. Когда мы в своих исследованиях (или при решении бытовых проблем) прибегаем к аналогиям и параллелям или пытаемся упростить задачу, мы (часто не подозревая об этом) пользуемся элементами групповых представлений. Рационализм, свойственный математике, в теории групп, образно говоря, возводится в квадрат.

По своей четкости теория групп уступает разве что арифметике. А в простоте исходных положений она даже превосходит арифметику. И в то же время теория групп изобилует чрезвычайным структурным разнообразием. Сочетание такой внутренней глубины с четкостью и простотой делают теорию групп одной из красивейших (если не самой красивой) концепций математики.

 

4. Структурные свойства групп.

 

Ниже - это группа, а - ее подгруппа. Выражение (или ) обозначает множество элементов, получаемых умножением некоторого на каждый элемент из . Равенство двух множеств и означает, что эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Произведения подмножеств. Пусть и - некоторые подмножества элементов группы . Произведение есть множество, состоящее из всех произведений , где и . Произведение подгрупп есть группа в тех и только в тех случаях, когда .

Смежные классы. Пусть некоторый элемент из . Множество называется левым смежным классом в группе по ее подгруппе . Соответственно называют правым смежным классом. Очевидно, что такие смежные классы являются подгруппами группы только в том случае, если . При этом .

Два левых смежных класса и либо полностью совпадают, либо не имеют ни одного общего элемента. То же самое имеет место и для правых классов. Если есть конечная группа порядка , то число левых (или правых) смежных классов по равно индексу ( - порядок ) подгруппы . Два элемента и из принадлежат одному и тому же левому (правому) смежному классу по , если ().

Сопряженные подгруппы. Два элемента и из называются сопряженными, если , где - некоторый элемент из . При этом говорят, что есть результат трансформации элемента элементом . Подгруппа , состоящая из элементов, сопряженных элементам из , называется сопряженной подгруппе . Очевидно, что сопряженные подгруппы изоморфны.

Нормальный делитель. Если для любого имеем , то подгруппа называется нормальным делителем (нормальной или инвариантной подгруппой) группы . Необходимым и достаточным условием этого является или то, что для всех , , или то, что содержит все элементы, сопряженные с ее элементами.

Нетрудно показать, что, если индекс равен (т.е. содержит половину элементов группы ), то она является нормальным делителем группы . Группа называется простой, если она не содержит ни одного нормального делителя, кроме ее самой и единичного элемента.

Фактор-группа. Рассмотрим множество смежных классов по нормальной подгруппе (левые и правые классы совпадают). Если в качестве групповой операции взять произведение подмножеств, то можно убедиться, что множество, элементами которого являются смежные классы, составляют группу по такой операции. Единицей в этой группе является , а ее порядок равен индексу подгруппы в группе . Такая группа и называется фактор-группой группы по нормальному делителю .

 

Нормальные и композиционные ряды. Последовательность подгрупп

,

в которой каждый последующий член является нормальным делителем предыдущего члена, называется нормальным рядом для группы . Если в таком ряде не упущен ни один нормальный делитель, который можно вставить между какой-то парой, то его называют композиционным рядом. При этом фактор-группы , называемые композиционными факторами, являются простыми группами при всех . Группу называют разрешимой, если все ее композиционные факторы являются циклическими группами.

Нормализаторы. Центр группы. Пусть некоторое подмножество элементов группы . Обозначим через множество всех элементов из , которые коммутируют с любым элементом из . Нетрудно показать, что множество составляет подгруппу. Пусть - любой элемент из , и - произвольные элементы из . Единичный элемент входит в , а так как , то

Т.е. обратные элементы и произведения также входят в , и все групповые признаки налицо.

Если множество состоит из одного элемента , то подгруппу называют нормализатором элемента . При этом подгруппа в качестве нормального делителя содержит циклическую подгруппу, которую порождает элемент . Если есть некоторая подгруппа, то называют нормализатором подгруппы . При этом является нормальным делителем подгруппы .

Если есть вся группа , то является нормальным делителем группы и называется центром группы .

Прямое произведение. Группа является прямым произведением своих подгрупп , если элементы различных подгрупп коммутируют, и любой элемент можно единственным образом представить произведением , где (). При этом предполагается, что все подгруппы различные, и ни одна из них не имеет порядок (т.е. не состоит только из единичного элемента).

Все подгруппы в таком произведении содержат лишь один общий элемент . Нетрудно доказать также, что все являются нормальными делителями группы .

Допустим, группа имеет конечный порядок , а есть порядок подгруппы (). Тогда . В действительности мы имеем дело с гораздо меньшим числом элементов, равным (без учета ) , так как нам достаточно исследовать подгруппы по отдельности. Преимущества, вытекающие из этого, очевидны.

Отметим, что прямое произведение групп понимается и в более общем плане. Допустим и две разные группы (причем определяющие операции не обязательно одинаковые). Тогда множество всевозможных упорядоченных пар , где и , составляет группу, если умножение в этой группе определить в виде

Нетрудно было заметить, что в основе приведенных выше определений лежало понятие коммутативности. Если результаты операций в какой-то модели зависят от очередности операций, то это никак не облегчает анализ такой модели. Но как только мы, учитывая некую внутреннюю симметрию в структуре группы, выделяем подмножества такие, что элементы разных подмножеств коммутируют, модель расщепляется на более простые составляющие. Перестановочность является чрезвычайно важным фактором, приводящим к упрощению моделей. К примеру, коммутирующие операторы (или матрицы) могут иметь один и тот же набор собственных функций.

Разумеется, материал данного раздела представляет лишь основы теории групп. Однако его достаточно, чтобы понять смысл и необходимость всех ответвлений этой теории.

Содержание