![]() |
![]() |
|
![]() | ![]() |
Основы евклидовой геометрии
1. Варианты изложения геометрии.
Как раздел математики, геометрия была заложена еще Евклидом, который ввел исходные понятия и аксиомы. Точка, прямая, плоскость, расстояние, угол и пр. считались неопределяемыми понятиями. Через них вводились понятия параллельных (непересекающихся прямых, находящихся в одной плоскости), окружности (множество точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки этой плоскости), прямого угла и прочих геометрических структур. Основой анализа служили следующие пять постулатов Евклида.
Остальные исходные положения (они назывались аксиомами, хотя отличием аксиом от постулатов не имеет определенного смысла) касались логики отношений равенства и неравенства ("равные третьему равны между собой", "добавление равных не меняет неравенство" и т.п.). Долгие годы 5-ый постулат Евклида был предметом многочисленных исследований и дискуссий. Его пытались вывести из остальных постулатов, предлагались различные альтернативы и модификации. Наконец после тысячелетних споров в начале 19-го века выяснилось, что возможны и другие геометрии, в которых этот постулат отсутствует. Геометрию с 5-ым постулатом стали называть евклидовой, а без него - неевклидовой. Геометрия с самого начала строилась (а затем излагалась) путем анализа соотношений различных наглядных элементов - отрезков прямых, углов, плоских и объемных фигур, их площадей и объемов и т.п.. И в основном этот анализ был завершен до того, как в математике, кроме арифметики, появились и другие разделы - алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление и другие. В современных условиях евклидова геометрия может быть изложена в аналитической форме, не прибегая к наглядным изображениям. Тем не менее, ее преподают (особенно в школе) в "чертежном" варианте. Очевидно, это связано с тем, что алгебра считается более абстрактным предметом, чем геометрия. А ждать пока алгебра будет усвоена, школа не может. Мы будем полагать, что читатель знаком, по крайней мере, с элементарной алгеброй. Это дает нам возможность с самого начала излагать геометрию на алгебраическом языке. Хотя при этом мы теряем в наглядности, но взамен имеем более четкую и компактную теорию, в которой почти вся логика рассуждений является алгебраическими выкладками. А это значит, что легче проверить правильность результатов, степень их однозначности и пр. Порядок изложения будет следующий. Вводятся исходные понятия. Затем формулируется некоторый минимум аксиом, с помощью которых выводится и определяется все, что можно (из существенного). Далее новые аксиомы, следствия и определения. И так до последней аксиомы, которая приводит нас к самому простейшему варианту - к евклидовой геометрии. В такой последовательности шагов более явно виден смысл каждого шага (зачем он нужен, к чему приводит). И если кто-то захотел бы на каком-то этапе сделать иной шаг (т.е. построить новую теорию), он был бы уверен во всех предыдущих результатах.
2. Основные понятия и аксиомы.
В качестве неопределяемых (исходных) выступают два понятия: "точка" и "расстояние" (протяженность, удаленность). Расстояние выражается одним числом в заданной системе единиц. При переходе в другую систему все расстояния умножаются на одну и ту же величину. Аксиомы будем вводить по мере определения новых понятий. Сначала введем следующие две. Итак, существует бесконечное множество точек, в котором заданы всевозможные парные связи (расстояния). Далее займемся определением остальных геометрических понятий (прямая, угол, плоскость и т.д.) так, чтобы они исходили исключительно из понятия расстояния между двумя точками. Это значит, что все аксиомы будут основаны на понятии парных связей (т.е. все, в конечном счете, выражается на "языке" расстояний). Обозначения. Точки будем обозначать буквой ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОЙ. Пусть заданы две точки Если удовлетворяется первой из равенств (1), будем говорить, что точка (и наоборот). Отметим, что множества (множество типа Приведенное определение однозначно задает прямую, проходящую через две данные точки. Однако из него не следует, что множество точек на прямой бесконечно и плотно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что прямая существует, если на любом расстоянии от любой заданной точки этой прямой найдутся две разные точки на этой прямой. Замечание. Говоря о любом расстоянии, мы оставляем в стороне множества точек, в которых это расстояние не может быть бесконечным (например, множество точек замкнутой поверхности типа сферы). В общем случае здесь и далее следовало бы говорить о допустимых расстояниях. Но, учитывая, что мы здесь собираемся описывать евклидовую геометрию, мы и дальше будем говорить о любых расстояниях. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество объектов называется линейно упорядоченным, если в нем определено отношение следования между любыми двумя объектами Утверждение. Множество точек прямой можно линейно упорядочить. Доказательством этого будет указание способа упорядочивания точек. По определению прямой можно выяснить, какая из трех точек данной прямой лежит между двумя остальными. Допустим, ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если любые три точки исходного множества удовлетворяют уравнению (2), то это множество называется одномерным пространством и представляется одной прямой. Вся геометрия такого пространства есть по существу арифметика действительных чисел (все свойства прямой отображаются свойствами числовой оси). Если существуют точки, не удовлетворяющие (2), то мы имеем дело с пространством, размерность которого больше единицы. Пусть даны две точки ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Плоскостью В соответствии с аксиомой 3, если существуют три точки, не лежащие на одной прямой, то существует и плоскость, проходящая через эти три точки: для любой точки плоскости существует сколь угодно много точек на данной плоскости, которые находятся на любом заданном расстоянии от данной точки. Далее, говоря о трех точках, определяющих плоскость, будем иметь в виду, что эти точки не лежат на одной прямой. Очевидно, две плоскости совпадают тогда и только тогда, когда три точки, определяющие одну плоскость, являются точками другой плоскости. Далее определим понятия расстояние от точки до прямой, параллельные и перпендикулярные прямые. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые называются параллельными, если они принадлежат одной плоскости и не имеют общую точку (не пересекаются). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием от точки Точку ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество точек плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() До сих пор евклидовый характер пространства ничем не подчеркивался. Например, через одну точку может проходить несколько прямых, перпендикулярных некоторой прямой. Перпендикулярность одной прямой ко второй еще не означает, что вторая прямая перпендикулярна первой. Чтобы снять такого рода неоднозначности, необходимо ввести еще одну аксиому. Это можно сделать в различных вариантах. У нас в основе лежит понятие расстояния, поэтому пойдем по самому простому пути - введем теорему Пифагора в ранг аксиомы. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Приведем без доказательства перечень некоторых следствий.
Наверное, можно предложить и другие варианты аксиоматизации геометрии. Однако думается, что первые три аксиомы в той или иной форме должны присутствовать, если исходить из понятия расстояния между точками. А вот для двух последних аксиом вполне возможны более удачные альтернативы. Прежде чем идти дальше, определим ряд понятий. Ломаная линия есть совокупность отрезков прямых, последовательно соединяющих некоторый набор точек. Один и тот же набор точек можно соединить различными ломаными линиями, если число точек больше двух. Если ломаная линия не пересекается сама с собой, то она называется простой. Замкнутая ломаная линия - это простая ломаная линия, в которой первая и последняя точка соединены отрезком прямой, не пересекающим другие отрезки. Плоская ломаная линия связывает точки, принадлежащие одной плоскости. Множество точек называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить ломаной линией, все точки которой принадлежат данному множеству. А если любые две точки множества можно соединить отрезком прямой, входящим в это множество, то такое множество называется выпуклым.
3. Плоские фигуры и их площади.
Ниже, обозначая некоторую плоскость в виде ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Треугольником Внутренней областью треугольника Далее под треугольником Введем величину где Если, например, Обозначим через Можно показать, что для любой внутренней точки В то же время область где Из соотношения (8) следует, что область где Более того, разбиение (9) может быть произведено так, что для любого сколь угодно малого Основным свойством меры множества является то, что мера прямой суммы конечного числа множеств равна сумме мер слагаемых множеств. Как видим из (9, 10), определенный нами функционал ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция Подчеркнем, площадь, как мера, определена с точностью до постоянного множителя. Представление ее в форме (6) означает, что площадь квадрата (см. ниже) со стороной Прямой суммой вида (9) можно выразить и другие плоские фигуры, в частности, многоугольники, образовываемые плоскими замкнутыми ломаными линиями. Вершинами многоугольника являются точки излома ломаной линии. Только треугольник однозначно определяется своими тремя вершинами. Для остальных задания вершин недостаточно для однозначного определения. Ниже приведем один из возможных способов однозначного определения четырехугольников. Возьмем две разные прямые попарно не пересекались во внутренних точках. Тогда замкнутая ломаная линия, соединяющая четыре точки в последовательности В Любой четырехугольник можно разбить на два треугольника, сумма площадей которых и будет являться площадью четырехугольника. Приведем некоторые частные случаи четырехугольников. Трапеция - четырехугольник, у которого какие-либо две противоположные стороны параллельны друг другу. При этом две другие стороны называются боковыми. Нетрудно убедиться, что трапеция представляет выпуклую область. Параллелограмм - трапеция, у которой параллельны и боковые стороны. Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны друг другу. Прямоугольник - параллелограмм, у которого смежные стороны перпендикулярны друг другу. Квадрат - прямоугольник, у которого стороны равны друг другу (или ромб с перпендикулярными смежными сторонами). Из прочих плоских фигур здесь отметим окружность. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Окружностью радиуса Внутренней областью окружности является множество всех точек, которые являются внутренними точкам отрезков прямых, соединяющих какие-либо две точки окружности. Эту область называют кругом. Из самого определения следует, что круг есть выпуклая область. На окружности можно выбрать одно из двух направлений обхода точек. Обычно положительным считают направление против хода часовой стрелки. При этом, выбрав какую-либо точку на окружности, можно линейно упорядочить остальные точки в определенном направлении относительно заданной точки. Приведем некоторые геометрические характеристики треугольников и четырехугольников. Каждый треугольник характеризуется медианами, биссектрисами и высотами, являющимися отрезками прямых, которые соединяют каждую вершину с противоположной стороной: медиана делит противоположную сторону пополам, биссектриса делит пополам угол при вершине, высота есть перпендикуляр, опущенный на противоположную сторону. В четырехугольнике диагонали есть отрезки прямых, соединяющих противоположные вершины, а высоты из вершины могут быть опущены на две смежные с противоположной вершиной стороны.
4. Углы и тригонометрические функции.
Пусть ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Длиной дуги Нетрудно убедиться, что отношение также не зависит от радиуса окружности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина (14) называется углом между прямыми Отметим, что в криволинейных пространствах (14) может зависеть от Если точка Далее речь пойдёт о точках без привязки к окружности. Очевидно, что угол между прямыми не зависит от выбора точек на прямых, если они выбираются в одной и той же стороне от точки пересечения: для любых точек имеем Если же точки лежат по разные стороны от точки пересечения, т.е. то вертикальные (противоположные) углы равны, а сумма смежных (примыкающих) углов равна Пусть точки (прямую Угол между перпендикулярными прямыми равен В треугольнике Два треугольника с равными углами называются подобными. У таких треугольников отношение сторон, противолежащих равным углам, будут одинаковыми. Так в примере, приводящем к соотношениям (20), два треугольника Верно и обратное: если для произвольных треугольников Кроме отношения подобия треугольники можно связывать отношением тождественности (равенства). Однако мы привязывали фигуры к конкретным точкам плоскости, и поэтому для определения такого отношения следует задать процедуру сравнения. В общем случае такой процедурой может служить сочетание параллельного переноса и поворотов вокруг общей точки. Треугольники отличаются от прочих многоугольников тем, что однозначно определяются своими вершинами. И если при переносе и поворотах совпали вершины, то совпадут и стороны (и наоборот). Поэтому равенство двух треугольников мы можем определить, как равенство их сторон (здесь и ниже под стороной понимается и отрезок, и длина отрезка). Необходимыми и достаточными условиями равенства двух треугольников могут служить любые из следующих утверждений: два треугольника равны, если у них равны
Треугольник При этом Тригонометрические функции Учитывая свойства подобных треугольников (21), отметим, что введенные функции зависят только от значений угла (т.е. не зависят от абсолютных значений сторон). Обратный отсчет угла означает, что противолежащая ему сторона также "меняет" знак. Поэтому синус, как отношение противолежащего катета к гипотенузе, является нечетной функцией: Из (23) с учетом, что
где Нетрудно вывести следующие разложения для функций от суммы углов: Тангенсы ( Определяя угол отношением длины дуги к радиусу, мы одновременно задаем и единицу угла - один радиан. Т.е.
Различие единиц измерения проявляется при разложении тригонометрических функций в ряды. Например, где Пусть При этом площадь такого треугольника равна
5. Трехмерные фигуры и их объемы.
Определение плоскости мы связывали с наличием трех точек, не лежащих на одной прямой. Если исходное множество точек исчерпывается плоскостью, то мы имеем дело с двумерным пространством. Если же существует и плоскость, и точка вне ее, то мы приходим к пространствам с размерностью больше двух. Нетрудно показать, что в таких пространствах можно определить сколь угодно много различных плоскостей. Пусть четыре точки определены и являются различными. В результате пересечения этих плоскостей мы можем выделить трехмерную фигуру, определяемую четырьмя треугольниками и шестью отрезками прямых: Эта фигура называется тетраэдром; приведенные треугольники являются его гранями, отрезки прямых - ребрами, четыре данные точки - его вершинами. При этом каждое ребро является общей стороной двух граней, а каждая вершина есть общая вершина трех граней. Тетраэдр полностью определяется своими вершинами. Поэтому будем обозначать его через Выбрав какую-либо внутреннюю точку тетраэдра и проведя через нее и вершины тетраэдра различные плоскости и прямые, можно разложить этот тетраэдр на прямую сумму тетраэдров (более мелких), треугольников, отрезков прямых и отдельных точек. Аддитивным функционалом областей, двумерный аналог которого мы определяли выше (см. (6 - 11)), для тетраэдра где В (30) в целях компактности выделена точка При задании треугольника его стороны не могли быть произвольными. Сумма любых двух сторон должна была быть больше третьей, что обеспечивало положительность подкоренного выражения в (6). Аналогично и шесть ребер тетраэдра связаны требованием положительности подкоренного выражения (30). Допустим, заданы все ребра, кроме где Так как Равенство (левое или правое) в (34) будет тогда и только тогда, когда все четыре точки лежат в одной плоскости. При этом и объем равен нулю. Итак, любые четыре точки, не принадлежащие одной плоскости, однозначно определяют некоторую трехмерную область, которую можно назвать 3-мерным пространством. Прежде чем определять прочие фигуры и свойства в этом пространстве, приведем ряд определений и утверждений. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием (удаленностью) между двумя множествами где ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая (или плоскость) называется параллельной некоторой плоскости, если все ее точки равноудалены от данной плоскости. Утверждение. Пусть задана плоскость Утверждение. В 3-мерном пространстве две непараллельные плоскости в обязательном порядке пересекаются по некоторой прямой. Угол между двумя плоскостями
Угол между прямой и плоскостью в 3-мерном пространстве определяется, как минимальный из углов, образуемых данной прямой с каждой прямой данной плоскости. Допустим, прямая Определим некоторые фигуры в трехмерном пространстве. Сфера радиуса Цилиндр радиуса Конус (круговой) высотой Эллипсоид вращения, связанный с двумя точками Параллелепипед образуется точками пересечения трех пар плоскостей таких, что каждая пара состоит из параллельных плоскостей, причем, плоскости из разных пар не являются параллельными. Гранями этой фигуры являются параллелограммы. Если плоскости разных пар перпендикулярны, то речь идет о прямоугольном параллелепипеде. Если при этом расстояния между плоскостями в парах одинаковы, то мы имеем дело с кубом.
6. Произвольные размерности. Системы координат.
Выше, определяя меры площади (6) и объема (30), мы одновременно получали критерии принадлежности точек прямым, плоскостям и 3-мерным пространствам. В общем случае такой критерий означает: если Пусть даны Определителем Кэли-Менгера называют Величина где Учитывая сказанное, в общем случае можно сделать следующие выводы.
При Выше везде мы неукоснительно соблюдали принцип: все описывать на языке расстояний между точками. Можно было бы и дальше все выражать на таком языке. Однако с какого-то момента этот язык становится не очень удобным из-за громоздкости выражений. Поэтому есть необходимость определения на этом языке ряда понятий, с помощью которых можно оперировать более компактными выражениями (т.е., образно говоря, создать более удобный язык, адекватно отображающий язык расстояний). Такими понятиями у нас будут системы координат, векторы и пр. Ниже мы последовательно определим системы координат для прямой, плоскости и трехмерного пространства. Одномерное пространство (прямая). Задаются две точки Таким образом, если точка то ее координата равна Двумерное пространство (плоскость). На плоскости задаем точку Трехмерное пространство. Задаем три направленные оси Аналогичным образом строится система прямолинейных координат в пространствах большей размерности. Задается одна общая точка отсчета Таким образом, любые Если координатные оси перпендикулярны друг другу, то мы получаем прямоугольную систему координат. При этом для определения координат точки достаточно опустить перпендикуляры с этой точки на соответствующие оси. Особое место занимает вопрос о нумерации осей (выбора направлений). На плоскости у нас было два варианта нумерации. Если в одном варианте мы имели пару координат в виде Приведем порядок нумерации для прямоугольной системы координат (путем линейных преобразований координат, не содержащих отражений, этот порядок определяется и для прочих декартовых систем). Направленные оси координат будем обозначать через Здесь следует отметить одно очень важное обстоятельство. Никакими абстрактными соображениями мы не смогли бы определить понятия левое и правое, верх и низ. Если бы нам пришлось определять направления осей в пространствах больших размерностей, то, не зная физический смысл каждой размерности, мы вряд ли бы добились успеха. Лишь привлечение реальных физических процессов в качестве эталонов позволило нам решить эту задачу для трехмерного пространства. Кроме того, трудно представить, как выбрать точки, определяющие координатные оси, если не "привязываться" к реальным объектам. Таким образом, определение системы координат есть "слабое звено" геометрии, как раздела математики. И в обобщениях геометрии это дает о себе знать в виде проблем о равнозначности систем координат, об их всеобщности и т.п. |
|