Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Основы евклидовой геометрии

 

1. Варианты изложения геометрии.

 

Как раздел математики, геометрия была заложена еще Евклидом, который ввел исходные понятия и аксиомы. Точка, прямая, плоскость, расстояние, угол и пр. считались неопределяемыми понятиями. Через них вводились понятия параллельных (непересекающихся прямых, находящихся в одной плоскости), окружности (множество точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки этой плоскости), прямого угла и прочих геометрических структур.

Основой анализа служили следующие пять постулатов Евклида.

  1. Любые две точки можно соединить одним и только одним отрезком прямой.
  2. Любой отрезок прямой можно бесконечно (непрерывно) продолжать в обе стороны.
  3. Можно построить окружность с центром в любой точке и с радиусом любой длины.
  4. Все прямые углы равны.
  5. Если взять любую прямую и любую точку, не лежащую на этой прямой, то через эту точку можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Остальные исходные положения (они назывались аксиомами, хотя отличием аксиом от постулатов не имеет определенного смысла) касались логики отношений равенства и неравенства ("равные третьему равны между собой", "добавление равных не меняет неравенство" и т.п.).

Долгие годы 5-ый постулат Евклида был предметом многочисленных исследований и дискуссий. Его пытались вывести из остальных постулатов, предлагались различные альтернативы и модификации. Наконец после тысячелетних споров в начале 19-го века выяснилось, что возможны и другие геометрии, в которых этот постулат отсутствует. Геометрию с 5-ым постулатом стали называть евклидовой, а без него - неевклидовой.

Геометрия с самого начала строилась (а затем излагалась) путем анализа соотношений различных наглядных элементов - отрезков прямых, углов, плоских и объемных фигур, их площадей и объемов и т.п.. И в основном этот анализ был завершен до того, как в математике, кроме арифметики, появились и другие разделы - алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление и другие. В современных условиях евклидова геометрия может быть изложена в аналитической форме, не прибегая к наглядным изображениям. Тем не менее, ее преподают (особенно в школе) в "чертежном" варианте. Очевидно, это связано с тем, что алгебра считается более абстрактным предметом, чем геометрия. А ждать пока алгебра будет усвоена, школа не может.

Мы будем полагать, что читатель знаком, по крайней мере, с элементарной алгеброй. Это дает нам возможность с самого начала излагать геометрию на алгебраическом языке. Хотя при этом мы теряем в наглядности, но взамен имеем более четкую и компактную теорию, в которой почти вся логика рассуждений является алгебраическими выкладками. А это значит, что легче проверить правильность результатов, степень их однозначности и пр.

Порядок изложения будет следующий. Вводятся исходные понятия. Затем формулируется некоторый минимум аксиом, с помощью которых выводится и определяется все, что можно (из существенного). Далее новые аксиомы, следствия и определения. И так до последней аксиомы, которая приводит нас к самому простейшему варианту - к евклидовой геометрии. В такой последовательности шагов более явно виден смысл каждого шага (зачем он нужен, к чему приводит). И если кто-то захотел бы на каком-то этапе сделать иной шаг (т.е. построить новую теорию), он был бы уверен во всех предыдущих результатах.

 

2. Основные понятия и аксиомы.

 

В качестве неопределяемых (исходных) выступают два понятия: "точка" и "расстояние" (протяженность, удаленность). Расстояние выражается одним числом в заданной системе единиц. При переходе в другую систему все расстояния умножаются на одну и ту же величину.

Аксиомы будем вводить по мере определения новых понятий. Сначала введем следующие две.

АКСИОМА 1. Существует сколь угодно много точек. АКСИОМА 2. Между любыми двумя точками существует связь - однозначно определяемое расстояние между этими точками.

Итак, существует бесконечное множество точек, в котором заданы всевозможные парные связи (расстояния). Далее займемся определением остальных геометрических понятий (прямая, угол, плоскость и т.д.) так, чтобы они исходили исключительно из понятия расстояния между двумя точками. Это значит, что все аксиомы будут основаны на понятии парных связей (т.е. все, в конечном счете, выражается на "языке" расстояний).

Обозначения. Точки будем обозначать буквой с индексами: . В общем случае разные индексы обозначают разные точки. Совпадение точек с разными индексами будет оговариваться. Расстояния между точками будем обозначать буквой с индексами точек: - расстояние между точками и . По определению: и . Иногда точку будем обозначать буквой без индекса. При этом расстояние от точки до точки будем обозначать в виде .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЯМОЙ. Пусть заданы две точки и . Прямой, проходящей через эти точки, будем назвать множество точек (в том числе и ) таких, что расстояния удовлетворяют хотя бы одному из следующих равенств (большее равно сумме меньших)

Если удовлетворяется первой из равенств (1), будем говорить, что точка лежит между точками и , если второе - точка лежит между и , если третье - точка лежит между и . При этом удовлетворение хотя бы одного из равенств (1) означает равенство

(и наоборот). Отметим, что множества и совпадают: . Кроме того, если точка и не совпадает с точками и , то

(множество типа есть все множество точек).

Приведенное определение однозначно задает прямую, проходящую через две данные точки. Однако из него не следует, что множество точек на прямой бесконечно и плотно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что прямая существует, если на любом расстоянии от любой заданной точки этой прямой найдутся две разные точки на этой прямой.

Замечание. Говоря о любом расстоянии, мы оставляем в стороне множества точек, в которых это расстояние не может быть бесконечным (например, множество точек замкнутой поверхности типа сферы). В общем случае здесь и далее следовало бы говорить о допустимых расстояниях. Но, учитывая, что мы здесь собираемся описывать евклидовую геометрию, мы и дальше будем говорить о любых расстояниях.

АКСИОМА 3. Для любых двух разных точек существует прямая, проходящая через эти точки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество объектов называется линейно упорядоченным, если в нем определено отношение следования между любыми двумя объектами и , обозначаемое (или ), так, что из отношений и следует (для любых , и из данного множества).

Утверждение. Множество точек прямой можно линейно упорядочить.

Доказательством этого будет указание способа упорядочивания точек. По определению прямой можно выяснить, какая из трех точек данной прямой лежит между двумя остальными. Допустим, лежит между и , а отношение между крайними точками имеет вид . Тогда определяем, что и . Отсюда следует, что для упорядочивания всех точек достаточно выбрать любые две точки на прямой и определить отношение следования между ними. При этом очевидно, что есть два варианта следования (если наглядно - от левого к правому или наоборот). Выбрав один из вариантов, получаем прямую, направленную в определенную сторону.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если любые три точки исходного множества удовлетворяют уравнению (2), то это множество называется одномерным пространством и представляется одной прямой.

Вся геометрия такого пространства есть по существу арифметика действительных чисел (все свойства прямой отображаются свойствами числовой оси).

Если существуют точки, не удовлетворяющие (2), то мы имеем дело с пространством, размерность которого больше единицы. Пусть даны две точки и , и существует точка , не лежащая на прямой . Тогда, согласно аксиоме 3, существуют прямые и .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Плоскостью , проходящей через точки , и , не лежащие на одной прямой, называется множество всех точек всевозможных прямых, проходящих через любые две точки множества, состоящего из точек прямых , и .

В соответствии с аксиомой 3, если существуют три точки, не лежащие на одной прямой, то существует и плоскость, проходящая через эти три точки: для любой точки плоскости существует сколь угодно много точек на данной плоскости, которые находятся на любом заданном расстоянии от данной точки. Далее, говоря о трех точках, определяющих плоскость, будем иметь в виду, что эти точки не лежат на одной прямой.

Очевидно, две плоскости совпадают тогда и только тогда, когда три точки, определяющие одну плоскость, являются точками другой плоскости.

Далее определим понятия расстояние от точки до прямой, параллельные и перпендикулярные прямые.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые называются параллельными, если они принадлежат одной плоскости и не имеют общую точку (не пересекаются).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием от точки до прямой называется минимальное из расстояний каждой точки прямой до этой точки. Будем обозначать это расстояние . Очевидно, , если .

Точку , для которой , можно назвать ближайшей точкой прямой для точки . Если точка не принадлежит прямой , то эта точка и прямая определяют плоскость, которую будем обозначать через .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество точек плоскости будем называть перпендикулярным к прямой в точке , если ближайшая к точке точка прямой является ближайшей и для всех остальных точек этого подмножества. Будем обозначать это подмножество через .

АКСИОМА 4. Для любой прямой и любой точки прямая есть перпендикулярное подмножество , где - ближайшая к точка прямой .

До сих пор евклидовый характер пространства ничем не подчеркивался. Например, через одну точку может проходить несколько прямых, перпендикулярных некоторой прямой. Перпендикулярность одной прямой ко второй еще не означает, что вторая прямая перпендикулярна первой. Чтобы снять такого рода неоднозначности, необходимо ввести еще одну аксиому. Это можно сделать в различных вариантах. У нас в основе лежит понятие расстояния, поэтому пойдем по самому простому пути - введем теорему Пифагора в ранг аксиомы.

АКСИОМА 5. Прямая перпендикулярна прямой в точке тогда и только тогда, когда для любых точек и имеет место следующее соотношение для расстояний:

Приведем без доказательства перечень некоторых следствий.

  1. Через две (разные) точки можно провести только одну прямую.
  2. Если одна прямая перпендикулярна второй, то и вторая перпендикулярна первой.
  3. Для любой заданной точки ближайшей на любой прямой является одна и только одна точка (т.е. через точку вне данной прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной).
  4. Если две прямые параллельны, то все точки одной прямой удалены на одно и то же расстояние от другой.
  5. Для любых трех точек , и имеет место неравенство:

    причем равенство будет тогда и только тогда, когда эти точки лежат на одной прямой, и точки и являются крайними (отметим, что (5), в конечном счете, приводит к важнейшему свойству прямой: если от одной точки к другой идти различными путями, то отрезок прямой между этими точками является кратчайшим путем).

Наверное, можно предложить и другие варианты аксиоматизации геометрии. Однако думается, что первые три аксиомы в той или иной форме должны присутствовать, если исходить из понятия расстояния между точками. А вот для двух последних аксиом вполне возможны более удачные альтернативы.

Прежде чем идти дальше, определим ряд понятий.

Ломаная линия есть совокупность отрезков прямых, последовательно соединяющих некоторый набор точек. Один и тот же набор точек можно соединить различными ломаными линиями, если число точек больше двух.

Если ломаная линия не пересекается сама с собой, то она называется простой.

Замкнутая ломаная линия - это простая ломаная линия, в которой первая и последняя точка соединены отрезком прямой, не пересекающим другие отрезки.

Плоская ломаная линия связывает точки, принадлежащие одной плоскости.

Множество точек называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить ломаной линией, все точки которой принадлежат данному множеству. А если любые две точки множества можно соединить отрезком прямой, входящим в это множество, то такое множество называется выпуклым.

 

3. Плоские фигуры и их площади.

 

Ниже, обозначая некоторую плоскость в виде , будем всегда подразумевать, что точки , и , определяющие ее, не лежат на одной прямой. Отрезок прямой от точки до точки будем обозначать через .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Треугольником называется фигура, составленная из отрезков прямых , и , которые называют сторонами треугольника. Периметром треугольника называют как совокупность его сторон, так и сумму длин этих сторон.

Внутренней областью треугольника будем называть множество всех точек , принадлежащих плоскости , таких, что отрезки прямых , исходящие из каждой точки периметра треугольника, не имеют иных общих точек с периметром. Очевидно, что эта область является выпуклой.

Далее под треугольником будем понимать (в зависимости от контекста) как замкнутую ломаную линию из трех отрезков, так и множество внутренних точек треугольника.

Введем величину , являющуюся симметричной функцией расстояний между тремя точками , и :

где . Эта величина отлична от нуля тогда и только тогда, когда данные три точки не лежат на одной прямой.

Если, например, , то есть функционал отрезка прямой , тождественно равный нулю. Если совпадают все три точки, то есть функционал одной точки.

Обозначим через внутреннюю (двумерную) область некоторого треугольника, через - внутренние точки отрезка прямой, через - некоторую точку. Так как есть функционал области, определяемой соответствующим числом точек, то есть функция сторон треугольника, данная в (6), а .

Можно показать, что для любой внутренней точки треугольника имеет место соотношение

В то же время область есть сумма попарно не пересекающихся областей (будем называть такую сумму прямой):

где внутренние точки отрезка прямой , - это одна точка .

Из соотношения (8) следует, что область можно разбить на любое число отдельных областей, т.е. выразить прямой суммой вида

где - внутренние области треугольников, - внутренние точки отрезков прямых, - отдельные точки. При этом соотношение (7), учитывая, что , обобщается в виде

Более того, разбиение (9) может быть произведено так, что для любого сколь угодно малого будем иметь

Основным свойством меры множества является то, что мера прямой суммы конечного числа множеств равна сумме мер слагаемых множеств. Как видим из (9, 10), определенный нами функционал обладает этим свойством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определенная в (6), называется площадью (мерой области) треугольника .

Подчеркнем, площадь, как мера, определена с точностью до постоянного множителя. Представление ее в форме (6) означает, что площадь квадрата (см. ниже) со стороной равна .

Прямой суммой вида (9) можно выразить и другие плоские фигуры, в частности, многоугольники, образовываемые плоскими замкнутыми ломаными линиями. Вершинами многоугольника являются точки излома ломаной линии. Только треугольник однозначно определяется своими тремя вершинами. Для остальных задания вершин недостаточно для однозначного определения. Ниже приведем один из возможных способов однозначного определения четырехугольников.

Возьмем две разные прямые и , принадлежащие одной плоскости, и выберем точки так, чтобы отрезки прямых

попарно не пересекались во внутренних точках. Тогда замкнутая ломаная линия, соединяющая четыре точки в последовательности , образует четырехугольник, который мы обозначим в виде (при этом круговая перестановка индексов дает ту же фигуру).

В точки и , а также точки и , называются противоположными. Отрезки прямых и (или и ) называют противоположными сторонами данного четырехугольника.

Любой четырехугольник можно разбить на два треугольника, сумма площадей которых и будет являться площадью четырехугольника.

Приведем некоторые частные случаи четырехугольников.

Трапеция - четырехугольник, у которого какие-либо две противоположные стороны параллельны друг другу. При этом две другие стороны называются боковыми. Нетрудно убедиться, что трапеция представляет выпуклую область.

Параллелограмм - трапеция, у которой параллельны и боковые стороны.

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны друг другу.

Прямоугольник - параллелограмм, у которого смежные стороны перпендикулярны друг другу.

Квадрат - прямоугольник, у которого стороны равны друг другу (или ромб с перпендикулярными смежными сторонами).

Из прочих плоских фигур здесь отметим окружность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Окружностью радиуса с центром в точке данной плоскости называется множество всех точек этой плоскости, которые удалены на расстояние от точки .

Внутренней областью окружности является множество всех точек, которые являются внутренними точкам отрезков прямых, соединяющих какие-либо две точки окружности. Эту область называют кругом. Из самого определения следует, что круг есть выпуклая область.

На окружности можно выбрать одно из двух направлений обхода точек. Обычно положительным считают направление против хода часовой стрелки. При этом, выбрав какую-либо точку на окружности, можно линейно упорядочить остальные точки в определенном направлении относительно заданной точки.

Приведем некоторые геометрические характеристики треугольников и четырехугольников. Каждый треугольник характеризуется медианами, биссектрисами и высотами, являющимися отрезками прямых, которые соединяют каждую вершину с противоположной стороной: медиана делит противоположную сторону пополам, биссектриса делит пополам угол при вершине, высота есть перпендикуляр, опущенный на противоположную сторону. В четырехугольнике диагонали есть отрезки прямых, соединяющих противоположные вершины, а высоты из вершины могут быть опущены на две смежные с противоположной вершиной стороны.

 

4. Углы и тригонометрические функции.

 

Пусть и есть некоторые две точки окружности радиуса с центром в точке . Определим направление на окружности и будем называть все точки окружности, следующие в положительном направлении от точки до точки , дугой . Нетрудно доказать, что на этой дуге можно выбрать любое количество точек так, что соответствующая ломаная линия будет состоять из равных по длине отрезков. Выберем точек , для которых

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Длиной дуги называется предел

Нетрудно убедиться, что отношение не зависит от . Поэтому и величина

также не зависит от радиуса окружности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина (14) называется углом между прямыми и , отсчитываемым в положительном направлении от точки к точке . Если было выбрано отрицательное направление, то угол берется со знаком минус.

Отметим, что в криволинейных пространствах (14) может зависеть от . В таких случаях берут предел (14) при .

Если точка лежит на прямой и не совпадает с точкой , то точки и делят окружность на две равные части, называемые полуокружностями. При этом величина , являющаяся одинаковой для всех окружностей, обозначается знаком . Значение этой величины является трансцендентным числом (). Таким образом, длина окружности радиуса равна

Далее речь пойдёт о точках без привязки к окружности. Очевидно, что угол между прямыми не зависит от выбора точек на прямых, если они выбираются в одной и той же стороне от точки пересечения: для любых точек и таких, что

имеем

Если же точки лежат по разные стороны от точки пересечения, т.е.

то вертикальные (противоположные) углы равны, а сумма смежных (примыкающих) углов равна :

Пусть точки и находятся по ту же сторону от , что и , и при этом прямые и параллельны. Тогда можно доказать, что

(прямую или называют секущей для параллельных).

Угол между перпендикулярными прямыми равен . Его называют прямым углом.

В треугольнике углы , , называют внутренними углами. При этом, например, угол при вершине в точке называют еще углом, противолежащим стороне . Из (19, 20) следует, что сумма этих внутренних углов равна : . А из этого следует, что сумма внутренних углов четырехугольника равна .

Два треугольника с равными углами называются подобными. У таких треугольников отношение сторон, противолежащих равным углам, будут одинаковыми. Так в примере, приводящем к соотношениям (20), два треугольника и являются подобными и поэтому

Верно и обратное: если для произвольных треугольников , имеет место (21), то эти треугольники подобны.

Кроме отношения подобия треугольники можно связывать отношением тождественности (равенства). Однако мы привязывали фигуры к конкретным точкам плоскости, и поэтому для определения такого отношения следует задать процедуру сравнения. В общем случае такой процедурой может служить сочетание параллельного переноса и поворотов вокруг общей точки. Треугольники отличаются от прочих многоугольников тем, что однозначно определяются своими вершинами. И если при переносе и поворотах совпали вершины, то совпадут и стороны (и наоборот). Поэтому равенство двух треугольников мы можем определить, как равенство их сторон (здесь и ниже под стороной понимается и отрезок, и длина отрезка).

Необходимыми и достаточными условиями равенства двух треугольников могут служить любые из следующих утверждений: два треугольника равны, если у них равны

  • - или две стороны и один угол, одинаково ориентированный относительно этих сторон;
  • - или два угла и одна сторона, одинаково ориентированная относительно этих углов;
  • - или три угла и площадь (или периметр).

Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов является прямым. Например,

При этом и называют катетами, а - гипотенузой.

Тригонометрические функции (косинус) и (синус) определяются, как отношения катетов к гипотенузе:

Учитывая свойства подобных треугольников (21), отметим, что введенные функции зависят только от значений угла (т.е. не зависят от абсолютных значений сторон).

Обратный отсчет угла означает, что противолежащая ему сторона также "меняет" знак. Поэтому синус, как отношение противолежащего катета к гипотенузе, является нечетной функцией: .

Из (23) с учетом, что , получим

 

где . Считая (24) справедливым и при , приходим к определению и для любых значений угла . При этом

Нетрудно вывести следующие разложения для функций от суммы углов:

Тангенсы () и котангенсы () определяются отношениями катетов:

Определяя угол отношением длины дуги к радиусу, мы одновременно задаем и единицу угла - один радиан. Т.е. рад. Если углы измеряют в градусах, то углу соответствует градусов (). При этом

.

Различие единиц измерения проявляется при разложении тригонометрических функций в ряды. Например,

где отмеряется в радианах.

Пусть , и длины сторон некоторого треугольника, а - угол, противолежащий стороне (). Тогда

При этом площадь такого треугольника равна

 

5. Трехмерные фигуры и их объемы.

 

Определение плоскости мы связывали с наличием трех точек, не лежащих на одной прямой. Если исходное множество точек исчерпывается плоскостью, то мы имеем дело с двумерным пространством. Если же существует и плоскость, и точка вне ее, то мы приходим к пространствам с размерностью больше двух. Нетрудно показать, что в таких пространствах можно определить сколь угодно много различных плоскостей.

Пусть четыре точки и не лежат в одной плоскости. Это значит, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Тогда плоскости

определены и являются различными. В результате пересечения этих плоскостей мы можем выделить трехмерную фигуру, определяемую четырьмя треугольниками и шестью отрезками прямых:

Эта фигура называется тетраэдром; приведенные треугольники являются его гранями, отрезки прямых - ребрами, четыре данные точки - его вершинами. При этом каждое ребро является общей стороной двух граней, а каждая вершина есть общая вершина трех граней.

Тетраэдр полностью определяется своими вершинами. Поэтому будем обозначать его через (причем, порядок перечисления точек не имеет значения). Внутренней областью тетраэдра называется множество, объединяющее множества внутренних точек всевозможных отрезков прямых, которые соединяют точки различных граней. Нетрудно убедиться в том, что эта область является выпуклой.

Выбрав какую-либо внутреннюю точку тетраэдра и проведя через нее и вершины тетраэдра различные плоскости и прямые, можно разложить этот тетраэдр на прямую сумму тетраэдров (более мелких), треугольников, отрезков прямых и отдельных точек. Аддитивным функционалом областей, двумерный аналог которого мы определяли выше (см. (6 - 11)), для тетраэдра является следующая функция длин его ребер (будем называть ее объемом данного тетраэдра):

где

В (30) в целях компактности выделена точка . В действительности, как нетрудно убедиться, функция полностью симметрична.

При задании треугольника его стороны не могли быть произвольными. Сумма любых двух сторон должна была быть больше третьей, что обеспечивало положительность подкоренного выражения в (6). Аналогично и шесть ребер тетраэдра связаны требованием положительности подкоренного выражения (30). Допустим, заданы все ребра, кроме . Область допустимых значений для выявляется, если мы запишем (30) в виде

где

Так как и не зависят от , то искомая область определяется неравенствами

Равенство (левое или правое) в (34) будет тогда и только тогда, когда все четыре точки лежат в одной плоскости. При этом и объем равен нулю.

Итак, любые четыре точки, не принадлежащие одной плоскости, однозначно определяют некоторую трехмерную область, которую можно назвать 3-мерным пространством. Прежде чем определять прочие фигуры и свойства в этом пространстве, приведем ряд определений и утверждений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием (удаленностью) между двумя множествами и называется минимальное из расстояний между парой точек из разных множеств:

где и пробегают все точки соответственно множеств и .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая называется перпендикулярной плоскости , если она перпендикулярна любой прямой плоскости , проходящей через точку пересечения прямой и плоскости .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая (или плоскость) называется параллельной некоторой плоскости, если все ее точки равноудалены от данной плоскости.

Утверждение. Пусть задана плоскость и точка вне ее. Тогда существует единственная точка такая, что есть расстояние от точки до плоскости . При этом прямая является перпендикулярной плоскости .

Утверждение. В 3-мерном пространстве две непараллельные плоскости в обязательном порядке пересекаются по некоторой прямой.

Угол между двумя плоскостями и в 3-мерном пространстве можно определить следующим образом. Пусть есть прямая, по которой эти плоскости пересекаются, и точка . Выберем точки и такие, что прямые и перпендикулярны прямой . Тогда углом между данными плоскостями называют угол между прямыми и . Причем в зависимости от выбора точек это один из смежных углов или (). Обычно выбирают меньший. Если этот угол прямой (), плоскости называют перпендикулярными.

 

Угол между прямой и плоскостью в 3-мерном пространстве определяется, как минимальный из углов, образуемых данной прямой с каждой прямой данной плоскости. Допустим, прямая пересекает плоскость в точке , а точка является ближайшей к точке . Нетрудно показать, что угол между прямыми и и является искомым углом. Если , то этот угол прямой, и прямая перпендикулярна плоскости . Во всех иных случаях в плоскости существует одна и только одна прямая, которая является перпендикулярной к прямой .

Определим некоторые фигуры в трехмерном пространстве.

Сфера радиуса с центром в точке - это множество всех точек, удаленных от точки на одно и то же расстояние .

Цилиндр радиуса и высотой - это множество точек, удаленных от некоторого отрезка прямой с длиной на одно и то же расстояние .

Конус (круговой) высотой с основанием радиуса определяется следующим образом. Задается точка на расстоянии от плоскости . В плоскости задается окружность радиуса с центром в точке , являющейся ближайшей к точке . Тогда объединение всех точек отрезков прямых, соединяющих вершину с каждой точкой окружности, и является конусом (иногда конус замыкают, добавляя точки плоскости , лежащие внутри окружности).

Эллипсоид вращения, связанный с двумя точками и , есть множество всех точек, для каждой из которых сумма расстояний до точек и равна одному и тому же заданному значению большему, чем . Если эти две точки совпадают, то мы имеем дело со сферой. В плоскости, проходящей через данные две точки, таким же образом определяется эллипс.

Параллелепипед образуется точками пересечения трех пар плоскостей таких, что каждая пара состоит из параллельных плоскостей, причем, плоскости из разных пар не являются параллельными. Гранями этой фигуры являются параллелограммы. Если плоскости разных пар перпендикулярны, то речь идет о прямоугольном параллелепипеде. Если при этом расстояния между плоскостями в парах одинаковы, то мы имеем дело с кубом.

 

6. Произвольные размерности. Системы координат.

 

Выше, определяя меры площади (6) и объема (30), мы одновременно получали критерии принадлежности точек прямым, плоскостям и 3-мерным пространствам. В общем случае такой критерий означает: если -мерный "объем" для какого-то набора точек равен нулю, то эти точки принадлежат пространству меньшей (чем ) размерности. Поэтому для задания критерия достаточно иметь в своем распоряжении какой-либо функционал точек (функцию расстояний между точками), который пропорционален мерам областей той или иной размерности. Таким функционалом может служить так называемый определитель Кэли-Менгера.

Пусть даны точек: (). Определим матрицу размера с элементами равными

Определителем Кэли-Менгера называют

Величина с точностью до постоянного множителя определяет квадрат "объема" -мерной фигуры (-мерного "тетраэдра"), вершинами которого являются данные точки. В частности,

где площадь треугольника (6), - объем тетраэдра (30).

Учитывая сказанное, в общем случае можно сделать следующие выводы.

  1. Исходное множество точек является -мерным пространством тогда и только тогда, когда найдутся точек таких, что , а для любой совокупности точек этого множества .
  2. Любое -мерное подпространство исходного множества однозначно определяется набором точек таких, что . При этом каждая точка удовлетворяет уравнению .
  3. Пусть подпространства и определяются соответственно наборами точек и . Тогда и не пересекаются тогда и только тогда, когда для всех и имеем

При полное пересечение означает, что . Это будет тогда и только тогда, когда все точки принадлежат :

Выше везде мы неукоснительно соблюдали принцип: все описывать на языке расстояний между точками. Можно было бы и дальше все выражать на таком языке. Однако с какого-то момента этот язык становится не очень удобным из-за громоздкости выражений. Поэтому есть необходимость определения на этом языке ряда понятий, с помощью которых можно оперировать более компактными выражениями (т.е., образно говоря, создать более удобный язык, адекватно отображающий язык расстояний). Такими понятиями у нас будут системы координат, векторы и пр.

Ниже мы последовательно определим системы координат для прямой, плоскости и трехмерного пространства.

Одномерное пространство (прямая). Задаются две точки и на данной прямой. Точка служит началом отсчета, а точка задает направление отсчета. Т.е. все точки прямой разделяются относительно на два типа. Точки, находящиеся в той же стороне от , что и , относятся к 1-ому типу. Остальные составляют 2-ой тип. Координатой точки 1-го типа называется расстояние между этой точкой и точкой . Для точек 2-го типа координатой будет аналогичное расстояние со знаком минус.

Таким образом, если точка удовлетворяет равенству

то ее координата равна . Если же , то . Такую упорядоченную прямую называют направленной осью координат, на которой определена точка отсчета. Любая точка этой прямой однозначно задается координатой, выражаемой одним действительным числом.

Двумерное пространство (плоскость). На плоскости задаем точку и две разные направленные оси и , пересекающиеся в точке , которая является точкой отсчета для обеих осей. Пусть есть произвольная точка плоскости. Проведем через прямую параллельную прямой и обозначим через точку пересечения прямой с прямой . Аналогично, через обозначим точку пересечения прямых и , где есть прямая, проходящая через точку и параллельная прямой . Координату точки на оси обозначим через , а координату на оси - через . Таким образом, точка определяется парой действительных чисел , которые называются координатами этой точки в данной системе координатных осей. Нетрудно показать, что в данной системе координат любой такой паре чисел соответствует одна и только одна точка плоскости.

Трехмерное пространство. Задаем три направленные оси , и , имеющие одну общую точку отсчета и не принадлежащие одной плоскости. Пусть есть некоторая точка пространства, а и плоскости, проходящие через эту точку. Причем, параллельна осям и , параллельна и , параллельна и . Обозначим через точку пересечения плоскости с осью . Координаты точки на оси обозначим при соответственно через , и . Тройка действительных чисел называется координатами точки в данной системе осей. Любой такой тройке в данной системе координат соответствует одна и только одна точка пространства.

Аналогичным образом строится система прямолинейных координат в пространствах большей размерности. Задается одна общая точка отсчета и точек таких, что . Каждая пара точек и определяет направленную ось . Набор осей и задает нам систему координат в -мерном пространстве. Такие системы координат обычно называют декартовыми.

Таким образом, любые точек, для которых , являются необходимой и достаточной основой для определения системы координат в -мерном пространстве. Произвол при этом будет только в выборе точки отсчета из данного набора точек.

Если координатные оси перпендикулярны друг другу, то мы получаем прямоугольную систему координат. При этом для определения координат точки достаточно опустить перпендикуляры с этой точки на соответствующие оси.

Особое место занимает вопрос о нумерации осей (выбора направлений). На плоскости у нас было два варианта нумерации. Если в одном варианте мы имели пару координат в виде , то во втором варианте эта пара имеет вид . В пространствах большей размерности число вариантов увеличивается. Поэтому необходимо ввести какое-то правило нумерации. И тут нам без наглядных соображений (не имеющих никакого отношения к языку расстояний) не обойтись.

Приведем порядок нумерации для прямоугольной системы координат (путем линейных преобразований координат, не содержащих отражений, этот порядок определяется и для прочих декартовых систем). Направленные оси координат будем обозначать через . На плоскости направим оси и так, что при повороте на угол против хода часовой стрелки оси эта ось полностью совпала с осью . Ось направим вверх так, что, глядя с какой-либо верхней точки, мы увидели только что приведенный порядок осей и . Такую систему нумерации называют правой. Левая система координат получается из правой путем отражения (изменения направления) какой-либо оси (и, наоборот, - путем отражения одной оси левая система превращается в правую).

Здесь следует отметить одно очень важное обстоятельство. Никакими абстрактными соображениями мы не смогли бы определить понятия левое и правое, верх и низ. Если бы нам пришлось определять направления осей в пространствах больших размерностей, то, не зная физический смысл каждой размерности, мы вряд ли бы добились успеха. Лишь привлечение реальных физических процессов в качестве эталонов позволило нам решить эту задачу для трехмерного пространства. Кроме того, трудно представить, как выбрать точки, определяющие координатные оси, если не "привязываться" к реальным объектам. Таким образом, определение системы координат есть "слабое звено" геометрии, как раздела математики. И в обобщениях геометрии это дает о себе знать в виде проблем о равнозначности систем координат, об их всеобщности и т.п.

Содержание