«Объявление о дискуссии»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Дискуссия  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Элементарная алгебра

 

Элементарная алгебра оперирует действительными или комплексными числами и, по сути, это та же арифметика, но с одной поправкой: операции производятся не над конкретными числами, а над символами, которые на любом этапе могут быть заменены числами. При этом в алгебраических уравнениях символами, над которыми совершается операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень), обозначают не только неизвестные величины, но и разного рода числовые параметры (хотя часто кое-что приходится конкретизировать, особенно показатели степеней). Цель такого подхода - выяснить все, что можно, о соотношениях алгебраических выражений, не подставляя в них конкретные числа.

К примеру, об арифметическом выражении можно сказать следующее:

Алгебраический аналог этого выражения означает только одно:

Но зато это будет справедливо для любых чисел и .

Т.е. алгебра может дать относительно меньше результатов, однако они будут охватывать широкий класс чисел. И очень часто эффективность анализа зависит от выбора обозначений. Можно даже сказать, что алгебраические методы - это искусство обозначений. Сложная и громоздкая на первый взгляд задача при удачном выборе обозначений предстает в компактной форме, в которой более четко проявляется суть задачи. Более того, решение задачи может стать очевидным при выборе некоего идеального варианта обозначений. Добавим еще, что и "обозримость" (простота, наглядность и т.п.) результатов зависит от обозначений.

 

1. Основные формулы и обозначения

 

Факториал целого неотрицательного числа :

Биномиальные коэффициенты:

где - целые неотрицательные числа такие, что:

Далее (если иное не оговорено) будем считать показатели степеней целыми неотрицательными числами.

Целая рациональная функция (многочлен) от переменных есть конечная сумма выражений вида

где - некоторое число. Максимум суммы степеней во всех слагаемых называется степенью полинома.

Многочлен от называется симметрическим, если значение многочлена не меняется при любой перестановке аргументов . Элементарными симметрическими функциями от называются симметрические многочлены вида:

где суммирование ведется согласно соотношениям, приведенным ниже знаков сумм, т.е. по всем таким, что .

Обобщением (1) является бином Ньютона:

Еще более общим является соотношение

Для любого целого получим

Откуда для нечетных имеем

Матрицей (квадратной) размера называется упорядоченная совокупность элементов , где индексы (номер строки) и (номер столбца) пробегают значения от до (подробнее см. "Матрицы и операторы"). Определителем называется сумма всевозможных произведений вида

где - упорядоченный набор различных чисел от до . Этот набор можно получить из набора с помощью (плюс любое четное число) парных перестановок (парной называется перестановка местами двух членов набора).

Минором -го порядка матрицы называют определитель матрицы, полученной путем вычеркивания строк и столбцов из :

где и при , есть определитель матрицы, полученный вычеркиванием -ой, , -ой строк и -го, ,-го столбцов из . При миноры называют главными.

Минор -го порядка связан с минорами -ых порядков соотношением:

где - номер, не равный ни одному из (отметим, что суммирование можно производить и по , фиксируя ). В частности,

для любого .

Величину называют алгебраическим дополнением элемента матрицы . При этом (9) обобщается в виде

Соотношение (9) представляет алгоритм расчета определителя матрицы путем перехода к матрицам все меньшего и меньшего порядков. При имеем

 

2. Алгебраические уравнения.

 

Алгебраическое уравнение -ой степени относительно есть уравнение вида

где - действительные или комплексные числа. Функцию называют многочленом -ой степени относительно ; - называют свободным членом многочлена.

Решения уравнения (11) называют корнями этого уравнения (или корнями функции ). Любой многочлен может быть представлен однозначным образом через произведение:

где - некоторые (в общем случае комплексные) числа. Очевидно, что эти числа (и только они) являются корнями уравнения (11). Если какие-то из этих чисел совпадают, то говорят о кратности данного корня. Например, есть корень кратности (порядка) , если

Корни уравнения (11) связаны с коэффициентами соотношениями:

где элементарные симметрические функции от , определенные в (5). В частности,

Приведем также формулу Ньютона:

Дискриминантом уравнения (11) называется произведение

где - определитель Вандермонда, равный

Уравнение (11) с действительными коэффициентами называют действительным алгебраическим уравнением. В таких уравнениях если есть комплексный корень ( и - действительные числа), то есть и сопряженный ему корень . Поэтому разложение (12) можно переписать, используя только действительные числа, в виде:

Отсюда следует, что действительное уравнение (11) при нечетном имеет хотя бы один действительный корень.

Некоторые свойства корней (в частности, касающиеся знаков действительной части корней) можно в общем случае определить, исходя из свойств различных функций от коэффициентов уравнения. Это сделано в разделе "Дифференциальные уравнения" при анализе линейных уравнений -го порядка, решение которых напрямую связано с корнями соответствующего алгебраического уравнения.

 

3. Решение уравнений низших порядков.

 

В общем случае решения уравнения (11) получено лишь при . Приведем их, полагая, что (т.е. разделив все коэффициенты на ).

Квадратное уравнение ()

имеет два корня

Если уравнение (19) действительное, то корни действительны лишь тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен.

Кубичное уравнение ()

можно привести к специальному виду

где

Корни уравнения (21) равны

где

При этом и выбираются так, чтобы . Если уравнение (20) действительное, то при один корень действительный, а два комплексные, а при все корни действительные, причем при два из них одинаковые. Отметим, что дискриминант уравнения (20) (а также уравнения (21)) .

Корни (22) называют решением Кардано. При действительных и корни уравнения (21) можно представить в форме тригонометрического решения, которая зависит от знаков и .

Если , то и

где

.

Если и , то

где

Если и , то

где

(в (23-25) знак относится к , а знак - к ).

Решение уравнения 4-ой степени

приводится к решению кубичного уравнения.

Решение Декарта - Эйлера. Замена в (26) приводит к уравнению относительно :

где

Пусть и являются корнями кубичного уравнения

Тогда корни уравнения (27) имеют вид

где значения квадратных корней такие, что .

Решение Феррари. Пусть некоторый корень кубичного уравнения

Тогда четыре корня уравнения (26) являются корнями следующих двух квадратных уравнений

где

Как нетрудно убедиться, возведя правую и левые части (29) в квадрат и учитывая уравнение (28) для , получим уравнение (26).

 

4. Деление многочленов и элементарные дроби.

 

Отношение двух многочленов

где и , называют рациональной дробью (или рациональной функцией от ).

Если в (30) , то дробь можно разложить (однозначно) в виде

Здесь остаток есть многочлен, степень которого меньше степени знаменателя. Коэффициенты (а значит и остаток ) определяются из следующих уравнений, которые мы запишем отдельно для и .

При

или

При

или

Как видим, коэффициенты можно найти из (32) или (33) без труда, последовательным образом (это, так называемое, деление углом).

Если , то имеет место теорема Безу:

где

Пусть в разложении многочлена

все корни различные. Тогда

где ; , если ; при :

 

в частности, .

Отметим также, что при и , если .

В случае кратности корней знаменателя соотношение (36) обобщается с помощью дифференцирования многочленов. К примеру,

где ,

 

при , а если , то

Элементарной называют дробь, в которой числитель является константой, а знаменатель имеет вид , . Произведение двух таких дробей можно разложить в сумму элементарных дробей:

где ,

С помощью соотношений (38-40) любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и элементарных дробей:

где - многочлен степени (если , то ), - некоторые постоянные, есть корни многочлена , - кратность корня ().

Разложение (41) очень полезно при интегрировании рациональных дробей, так как интегрирование многочленов и элементарных дробей не составляет никакого труда.

Немаловажное значение имеет и вопрос об общих корнях многочленов и . Определим квадратную матрицу размера с элементами равными:

при :

при :

Результантом многочленов и называется определитель матрицы .

Можно доказать, что и имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда . Если , то говорят, что и взаимно просты.

Отметим, что

где - корни , - корни .

Наличие общих корней дает возможность сократить рациональную дробь (что упрощает процедуру разложения на элементарные дроби). Наибольший общий делитель (определенный с точностью до постоянного множителя) многочленов и содержит все общие корни (и только их) этих многочленов. Этот делитель можно найти путем последовательного применения процедуры разложения (31). Если в (31) , то и есть такой делитель. В противном случае находим остаток от деления . Если , то находим остаток от деления . И так далее, пока очередной остаток не станет равным нулю (а это неизбежно в силу того, что степени многочленов конечны). Тогда, если , то наибольшим общим делителем будет остаток . Если этот остаток равен константе, то говорят об отсутствии общего делителя.

 

5. Системы линейных уравнений.

 

Пусть неизвестные определяются системой линейных уравнений вида

Или в сокращенной записи:

Если , то система (43) имеет единственное решение, которое с учетом свойств (10) алгебраического дополнения можно записать в виде

Решение (44) иногда записываю в другой форме (правило Крамера):

где - определитель матрицы , в которой -ый столбец заменен на столбец из :

Далее разберемся, почему (43) при или не имеет решения, или имеет больше чем одно решение. Для этого определим понятие линейной независимости.

Пусть даны функций , определенных при всех значениях . Функции (или уравнения ) называют линейно независимыми, если из тождества

имеющего место при любых , следует, что .

Если же тождество (46) удовлетворяется, когда хотя бы один коэффициент из отличен от нуля, то эти функции (уравнения) считаются линейно зависимыми (тривиальный случай: одна или больше функций тождественно равны нулю).

Нетрудно показать, что линейных функций линейно независимы тогда и только тогда, когда .

Итак, если в (43) , то это означает, что левые части этих уравнений являются линейно зависимыми. В таком случае зависимыми должны быть и правые части этого уравнения. Т.е. одно из чисел линейно зависит от остальных (в частности, равно нулю); например,

где - некоторые числа (возможно, все равные нулю), которые связывают левую часть последнего уравнения системы (43) с остальными левыми частями. Если на самом деле не удовлетворяет (47), то это означает, что последнее уравнение противоречит предыдущим, а значит, уравнение (43) не имеет решения. Если соотношение (47) имеет место, то последнее уравнение будет лишним, так как оно является линейной комбинацией остальных. В итоге приходим к системе из уравнений для неизвестных. При этом, задавая то или иное значение для одной из неизвестных, будем получать различные решения системы уравнений (43).

Чтобы обобщить сказанное, рассмотрим систему уравнений с неизвестными :

Матрица имеет размер . Обозначим разность через ( может иметь любой знак) и зададим целое число такое, что и . Вычеркивание из матрицы каких-либо строк и столбцов приводит к квадратной матрице размера . Определители таких матриц называются минорами -го порядка матрицы . Рангом матрицы называется число такое, что хотя бы один из миноров -го порядка отличен от нуля, а все миноры более высших порядков равны нулю.

Добавив в матрице один столбец из , получим расширенную матрицу , где

Обобщенный вывод о наличии решений системы уравнений заключается в следующем утверждении (его доказательство не очень сложное).

Система уравнений (48) имеет решение тогда и только тогда, когда ранги матриц и совпадают.

Если в (43) , то приходим к системе однородных уравнений:

При (50) имеет только тривиальное решение .

При структура решений системы (50) связана с рангом матрицы . Общее решение зависит от произвольных констант. В зависимости от значений констант будем получать различные решения, которые будем обозначать в виде строки . Из них можно выделить линейно независимых (см. ниже) решений:

При этом любое решение можно представить в виде

где произвольные величины. Линейная независимость решений (51) означает, что в (52) только, если все .

В частном случае, когда , имеем

где произвольная константа, а выбирается таким, чтобы хотя бы одно из алгебраических дополнений было отлично от нуля.

В особом ряду стоят однородные системы уравнений вида

где некоторая неизвестная величина. Из сказанного выше следует, что система (53) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда удовлетворяет уравнению

являющимся алгебраическим уравнением -ой степени относительно .

Корни уравнения (54) называют собственными значениями матрицы . Решение системы уравнений (53) при , удовлетворяющее условию нормировки

называется собственным вектором матрицы (подробнее см. "Матрицы и операторы").

В заключение отметим, что различные алгебраические уравнения с двумя и более неизвестными имеют геометрические приложения. К примеру, кривые (или поверхности) второго порядка описываются уравнениям для многочленов 2-ой степени от двух и более переменных.

Содержание