Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Элементарная алгебра

 

Элементарная алгебра оперирует действительными или комплексными числами и, по сути, это та же арифметика, но с одной поправкой: операции производятся не над конкретными числами, а над символами, которые на любом этапе могут быть заменены числами. При этом в алгебраических уравнениях символами, над которыми совершается операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень), обозначают не только неизвестные величины, но и разного рода числовые параметры (хотя часто кое-что приходится конкретизировать, особенно показатели степеней). Цель такого подхода - выяснить все, что можно, о соотношениях алгебраических выражений, не подставляя в них конкретные числа.

К примеру, об арифметическом выражении можно сказать следующее:

Алгебраический аналог этого выражения означает только одно:

Но зато это будет справедливо для любых чисел и .

Т.е. алгебра может дать относительно меньше результатов, однако они будут охватывать широкий класс чисел. И очень часто эффективность анализа зависит от выбора обозначений. Можно даже сказать, что алгебраические методы - это искусство обозначений. Сложная и громоздкая на первый взгляд задача при удачном выборе обозначений предстает в компактной форме, в которой более четко проявляется суть задачи. Более того, решение задачи может стать очевидным при выборе некоего идеального варианта обозначений. Добавим еще, что и "обозримость" (простота, наглядность и т.п.) результатов зависит от обозначений.

 

1. Основные формулы и обозначения

 

Факториал целого неотрицательного числа :

Биномиальные коэффициенты:

где - целые неотрицательные числа такие, что:

Далее (если иное не оговорено) будем считать показатели степеней целыми неотрицательными числами.

Целая рациональная функция (многочлен) от переменных есть конечная сумма выражений вида

где - некоторое число. Максимум суммы степеней во всех слагаемых называется степенью полинома.

Многочлен от называется симметрическим, если значение многочлена не меняется при любой перестановке аргументов . Элементарными симметрическими функциями от называются симметрические многочлены вида:

где суммирование ведется согласно соотношениям, приведенным ниже знаков сумм, т.е. по всем таким, что .

Обобщением (1) является бином Ньютона:

Еще более общим является соотношение

Для любого целого получим

Откуда для нечетных имеем

Матрицей (квадратной) размера называется упорядоченная совокупность элементов , где индексы (номер строки) и (номер столбца) пробегают значения от до (подробнее см. "Матрицы и операторы"). Определителем называется сумма всевозможных произведений вида

где - упорядоченный набор различных чисел от до . Этот набор можно получить из набора с помощью (плюс любое четное число) парных перестановок (парной называется перестановка местами двух членов набора).

Минором -го порядка матрицы называют определитель матрицы, полученной путем вычеркивания строк и столбцов из :

где и при , есть определитель матрицы, полученный вычеркиванием -ой, , -ой строк и -го, ,-го столбцов из . При миноры называют главными.

Минор -го порядка связан с минорами -ых порядков соотношением:

где - номер, не равный ни одному из (отметим, что суммирование можно производить и по , фиксируя ). В частности,

для любого .

Величину называют алгебраическим дополнением элемента матрицы . При этом (9) обобщается в виде

Соотношение (9) представляет алгоритм расчета определителя матрицы путем перехода к матрицам все меньшего и меньшего порядков. При имеем

 

2. Алгебраические уравнения.

 

Алгебраическое уравнение -ой степени относительно есть уравнение вида

где - действительные или комплексные числа. Функцию называют многочленом -ой степени относительно ; - называют свободным членом многочлена.

Решения уравнения (11) называют корнями этого уравнения (или корнями функции ). Любой многочлен может быть представлен однозначным образом через произведение:

где - некоторые (в общем случае комплексные) числа. Очевидно, что эти числа (и только они) являются корнями уравнения (11). Если какие-то из этих чисел совпадают, то говорят о кратности данного корня. Например, есть корень кратности (порядка) , если

Корни уравнения (11) связаны с коэффициентами соотношениями:

где элементарные симметрические функции от , определенные в (5). В частности,

Приведем также формулу Ньютона:

Дискриминантом уравнения (11) называется произведение

где - определитель Вандермонда, равный

Уравнение (11) с действительными коэффициентами называют действительным алгебраическим уравнением. В таких уравнениях если есть комплексный корень ( и - действительные числа), то есть и сопряженный ему корень . Поэтому разложение (12) можно переписать, используя только действительные числа, в виде:

Отсюда следует, что действительное уравнение (11) при нечетном имеет хотя бы один действительный корень.

Некоторые свойства корней (в частности, касающиеся знаков действительной части корней) можно в общем случае определить, исходя из свойств различных функций от коэффициентов уравнения. Это сделано в разделе "Дифференциальные уравнения" при анализе линейных уравнений -го порядка, решение которых напрямую связано с корнями соответствующего алгебраического уравнения.

 

3. Решение уравнений низших порядков.

 

В общем случае решения уравнения (11) получено лишь при . Приведем их, полагая, что (т.е. разделив все коэффициенты на ).

Квадратное уравнение ()

имеет два корня

Если уравнение (19) действительное, то корни действительны лишь тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен.

Кубичное уравнение ()

можно привести к специальному виду

где

Корни уравнения (21) равны

где

При этом и выбираются так, чтобы . Если уравнение (20) действительное, то при один корень действительный, а два комплексные, а при все корни действительные, причем при два из них одинаковые. Отметим, что дискриминант уравнения (20) (а также уравнения (21)) .

Корни (22) называют решением Кардано. При действительных и корни уравнения (21) можно представить в форме тригонометрического решения, которая зависит от знаков и .

Если , то и

где

.

Если и , то

где

Если и , то

где

(в (23-25) знак относится к , а знак - к ).

Решение уравнения 4-ой степени

приводится к решению кубичного уравнения.

Решение Декарта - Эйлера. Замена в (26) приводит к уравнению относительно :

где

Пусть и являются корнями кубичного уравнения

Тогда корни уравнения (27) имеют вид

где значения квадратных корней такие, что .

Решение Феррари. Пусть некоторый корень кубичного уравнения

Тогда четыре корня уравнения (26) являются корнями следующих двух квадратных уравнений

где

Как нетрудно убедиться, возведя правую и левые части (29) в квадрат и учитывая уравнение (28) для , получим уравнение (26).

 

4. Деление многочленов и элементарные дроби.

 

Отношение двух многочленов

где и , называют рациональной дробью (или рациональной функцией от ).

Если в (30) , то дробь можно разложить (однозначно) в виде

Здесь остаток есть многочлен, степень которого меньше степени знаменателя. Коэффициенты (а значит и остаток ) определяются из следующих уравнений, которые мы запишем отдельно для и .

При

или

При

или

Как видим, коэффициенты можно найти из (32) или (33) без труда, последовательным образом (это, так называемое, деление углом).

Если , то имеет место теорема Безу:

где

Пусть в разложении многочлена

все корни различные. Тогда

где ; , если ; при :

 

в частности, .

Отметим также, что при и , если .

В случае кратности корней знаменателя соотношение (36) обобщается с помощью дифференцирования многочленов. К примеру,

где ,

 

при , а если , то

Элементарной называют дробь, в которой числитель является константой, а знаменатель имеет вид , . Произведение двух таких дробей можно разложить в сумму элементарных дробей:

где ,

С помощью соотношений (38-40) любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и элементарных дробей:

где - многочлен степени (если , то ), - некоторые постоянные, есть корни многочлена , - кратность корня ().

Разложение (41) очень полезно при интегрировании рациональных дробей, так как интегрирование многочленов и элементарных дробей не составляет никакого труда.

Немаловажное значение имеет и вопрос об общих корнях многочленов и . Определим квадратную матрицу размера с элементами равными:

при :

при :

Результантом многочленов и называется определитель матрицы .

Можно доказать, что и имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда . Если , то говорят, что и взаимно просты.

Отметим, что

где - корни , - корни .

Наличие общих корней дает возможность сократить рациональную дробь (что упрощает процедуру разложения на элементарные дроби). Наибольший общий делитель (определенный с точностью до постоянного множителя) многочленов и содержит все общие корни (и только их) этих многочленов. Этот делитель можно найти путем последовательного применения процедуры разложения (31). Если в (31) , то и есть такой делитель. В противном случае находим остаток от деления . Если , то находим остаток от деления . И так далее, пока очередной остаток не станет равным нулю (а это неизбежно в силу того, что степени многочленов конечны). Тогда, если , то наибольшим общим делителем будет остаток . Если этот остаток равен константе, то говорят об отсутствии общего делителя.

 

5. Системы линейных уравнений.

 

Пусть неизвестные определяются системой линейных уравнений вида

Или в сокращенной записи:

Если , то система (43) имеет единственное решение, которое с учетом свойств (10) алгебраического дополнения можно записать в виде

Решение (44) иногда записываю в другой форме (правило Крамера):

где - определитель матрицы , в которой -ый столбец заменен на столбец из :

Далее разберемся, почему (43) при или не имеет решения, или имеет больше чем одно решение. Для этого определим понятие линейной независимости.

Пусть даны функций , определенных при всех значениях . Функции (или уравнения ) называют линейно независимыми, если из тождества

имеющего место при любых , следует, что .

Если же тождество (46) удовлетворяется, когда хотя бы один коэффициент из отличен от нуля, то эти функции (уравнения) считаются линейно зависимыми (тривиальный случай: одна или больше функций тождественно равны нулю).

Нетрудно показать, что линейных функций линейно независимы тогда и только тогда, когда .

Итак, если в (43) , то это означает, что левые части этих уравнений являются линейно зависимыми. В таком случае зависимыми должны быть и правые части этого уравнения. Т.е. одно из чисел линейно зависит от остальных (в частности, равно нулю); например,

где - некоторые числа (возможно, все равные нулю), которые связывают левую часть последнего уравнения системы (43) с остальными левыми частями. Если на самом деле не удовлетворяет (47), то это означает, что последнее уравнение противоречит предыдущим, а значит, уравнение (43) не имеет решения. Если соотношение (47) имеет место, то последнее уравнение будет лишним, так как оно является линейной комбинацией остальных. В итоге приходим к системе из уравнений для неизвестных. При этом, задавая то или иное значение для одной из неизвестных, будем получать различные решения системы уравнений (43).

Чтобы обобщить сказанное, рассмотрим систему уравнений с неизвестными :

Матрица имеет размер . Обозначим разность через ( может иметь любой знак) и зададим целое число такое, что и . Вычеркивание из матрицы каких-либо строк и столбцов приводит к квадратной матрице размера . Определители таких матриц называются минорами -го порядка матрицы . Рангом матрицы называется число такое, что хотя бы один из миноров -го порядка отличен от нуля, а все миноры более высших порядков равны нулю.

Добавив в матрице один столбец из , получим расширенную матрицу , где

Обобщенный вывод о наличии решений системы уравнений заключается в следующем утверждении (его доказательство не очень сложное).

Система уравнений (48) имеет решение тогда и только тогда, когда ранги матриц и совпадают.

Если в (43) , то приходим к системе однородных уравнений:

При (50) имеет только тривиальное решение .

При структура решений системы (50) связана с рангом матрицы . Общее решение зависит от произвольных констант. В зависимости от значений констант будем получать различные решения, которые будем обозначать в виде строки . Из них можно выделить линейно независимых (см. ниже) решений:

При этом любое решение можно представить в виде

где произвольные величины. Линейная независимость решений (51) означает, что в (52) только, если все .

В частном случае, когда , имеем

где произвольная константа, а выбирается таким, чтобы хотя бы одно из алгебраических дополнений было отлично от нуля.

В особом ряду стоят однородные системы уравнений вида

где некоторая неизвестная величина. Из сказанного выше следует, что система (53) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда удовлетворяет уравнению

являющимся алгебраическим уравнением -ой степени относительно .

Корни уравнения (54) называют собственными значениями матрицы . Решение системы уравнений (53) при , удовлетворяющее условию нормировки

называется собственным вектором матрицы (подробнее см. "Матрицы и операторы").

В заключение отметим, что различные алгебраические уравнения с двумя и более неизвестными имеют геометрические приложения. К примеру, кривые (или поверхности) второго порядка описываются уравнениям для многочленов 2-ой степени от двух и более переменных.

Содержание