Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Дифференциальная геометрия

 

1. Исходные понятия.

 

Аналитическая геометрия имела дело в основном с объектами, образованными прямыми и плоскостями. Анализ криволинейных фигур ограничивался окружностями и сферами, свойства которых можно было более или менее подробно описывать на алгебраическом языке. Однако более сложные геометрические объекты требуют привлечения методов, связанных с понятиями бесконечно малых величин (числа, отрезка, элемента поверхности или объема и т.д.).

Смысл и эффективность таких методов заключается в постулировании следующего положения: бесконечно малые элементы кривых линий и поверхностей можно считать бесконечно малыми отрезками прямых и бесконечно малыми частями плоскостей. В результате аналитическая геометрия ломаных линий и плоскостей предельным переходом превращается в дифференциальную геометрию, в которой объекты задаются исключительно функциями, а методами анализа будут дифференцирование и интегрирование. Ниже считается, что вводимые функции достаточное число раз дифференцируемы.

Пространство считается трехмерным и евклидовым, а система координат - правой. Дифференциальная геометрия на плоскости выделяется только тем, что она имеет дело с плоскими кривыми.

Кривую линию в пространстве можно задать двумя уравнениями:

При этом кривая будет лежать в некоторой плоскости, если одно из уравнений (1) есть уравнение этой плоскости.

Если кривая задана параметрическим образом (тремя функциями)

то плоской она будет при условии, что , т.е. задается двумя функциями (если , то имеем дело с прямой).

Ниже мы будем говорить о кривых на плоскости . Это означает, что в (1) , а в (2) . Плоскость путем линейных преобразований координат (трансляций и вращений) можно преобразовать в любую заданную плоскость в новой системе координат. Поэтому все результаты для кривых на плоскости имеют место и для произвольных плоских кривых линий.

Дифференциал функции есть разность значений этой функции в бесконечно близких значениях аргументов, не выходящих за допустимые границы. Если допустимой областью для функций или аргументов являются точки некоторого геометрического объекта, то дифференциалы приобретают специфические свойства и геометрический смысл. Например, из уравнения (1) следует, что

если считать, что точки и есть близкие точки данной кривой. При этом вектор , учитывая (2), равный

представляет собой направленный отрезок прямой, соединяющий близкие точки данной кривой. В то же время модуль с точностью до слагаемых меньшего порядка малости есть длина соответствующего элемента дуги кривой. Т.е. интеграл

есть длина (спрямленной) кривой от точки до точки .

Вектор определяет касательную к кривой, а векторы в силу (3) ортогональны к этой касательной. Вектор касательной можно определить и через функции и , а векторы нормалей через векторную функцию . Однако при этом выражения получаются более громоздкими. Поэтому мы и далее векторы касательных будем определять на основе уравнения (2), а нормали - из уравнений (1).

Прочие бесконечно малые величины (площади, объемы и т.п.), характеризующие криволинейные геометрические объекты, с точностью до слагаемых большего порядка малости также будут выражаться элементами "прямолинейных" объектов.

 

2. Плоские кривые.

 

При определении кривой на плоскости будем использовать оба варианта ее задания:

(иногда будет рассматриваться частный вариант ).

Вектор касательной и вектор нормали в данной точке кривой имеют вид

Отметим связь

где - функция, зависящая от геометрического смысла параметра . Если , где есть длина кривой, отсчитываемая от фиксированной точки кривой до данной (знак определяется заданием направления для данной кривой), то вектор является единичным:

Тогда , где знак зависит от того, в какую сторону направлена нормаль.

Если в точке пересечения двух кривых у них совпадают касательные прямые, то эти кривые называются касательными друг к другу в данной точке. Касание двух кривых может иметь более глубокий смысл, чем касание кривой и прямой.

Пусть заданы две кривые и . Говорят, что эти кривые имеют в точке касание -го порядка, если

где

Отметим, что точка касания может быть точкой пересечения кривых, когда одна из кривых лежит по разные стороны от другой до и после касания. Такое будет тогда и только тогда, когда порядок касания есть четное число. Если одна из кривых есть прямая и порядок касания , то говорят, что точка касания есть точка перегиба второй кривой.

Мы внесем несколько иное содержание в понятие касания двух кривых. Будем говорить, что кривые: 1) пересекаются, если ; 2) касаются, если ; 3) соприкасаются, если . Ввиду особой важности этих геометрических свойств, приведем соответствующие критерии и для других форм задания кривых.

Пусть одна кривая задана в параметрической форме уравнением , а вторая - уравнением в координатах . Обозначим через функцию . Пусть . Тогда, если

то кривые пересекаются в точке . Если вдобавок к (11)

то кривые касаются в точке . Если вдобавок к (11, 12)

то кривые соприкасаются в точке .

Если и вторая кривая задана параметрической форме (причем, здесь параметр может иметь смысл, отличный от смысла параметра в задании первой кривой), то (11 - 13) соответственно имеют вид

где и некоторые константы, зависящие от масштабных преобразований параметров.

Нетрудно доказать следующие два утверждения.

  1. Две кривые, соприкасающиеся в одной и той же точке с третьей, соприкасаются и сами в этой точке.
  2. Две соприкасающиеся окружности есть одна и та же окружность.

Допустим, что мы нашли окружность, соприкасающуюся в данной точке с данной кривой. Из приведенных выше двух утверждений следует:

  1. Все кривые, соприкасающиеся в данной точке с данной кривой, соприкасаются в этой точке и с найденной окружностью.
  2. Не найдется другой окружности, соприкасающейся в данной точке с этими кривыми.

Отсюда следует, что соприкасающаяся окружность может служить неким эталоном при выявлении геометрических свойств кривой в окрестности точки соприкосновения. Окружность задается радиусом и местоположением центра. Поэтому вся информация об искомых свойствах заложена в векторе, соединяющем точку соприкосновения с центром окружности. Модуль этого вектора (радиус окружности) характеризует меру искривленности данной кривой в данной точке, а его направление совпадает с направлением нормали к кривой в данной точке.

Пусть дана кривая . Из (11 - 13) найдем радиус и координаты центра окружности, соприкасающейся с данной кривой в точке :

где

Величину, обратную радиусу соприкасающейся окружности, называют кривизной плоской кривой в точке касания:

Если кривая задана в виде , то имеем

Площадь некоторой плоской области по определению есть двойной интеграл в пределах этой области. Чтобы найти площадь внутренней области плоской замкнутой кривой, необходимо задать эту область в аналитической форме. Пусть замкнутая кривая задается уравнением и делит плоскость на две области, каждая из которых является связной. При этом в одной области , а в другой . Чтобы выяснить, какой знак функции соответствует той или иной области, достаточно учесть, что внутренняя область является ограниченной. Т.е. знак предела

есть знак функции во внешней области. Обычно функцию выбирают так, что этот предел будет положительным. В таких случаях площадь внутренней области равна

 

3. Кривые в пространстве.

 

Кривые общего вида задаются в пространстве или уравнениями (1), или в параметрической форме (2). Причем, вектор-дифференциал

как и для плоских кривых определяет касательную к кривой в данной точке, а его модуль с точностью до слагаемых большего порядка малости есть длина дуги кривой между точками и .

Далее в качестве параметра будем использовать длину дуги кривой, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки . Обозначая такой параметр через , будем иметь ввиду, что его знак зависит от направления отсчета. Итак,

При этом

где есть вектор касательной к кривой в данной точке.

Наличие дополнительной степени свободы увеличивает число геометрических характеристик кривых. В частности, соприкасающаяся окружность определяется не только радиусом и центром , но и единичным вектором , ортогональным плоскости окружности (т.е. шестью величинами). Уравнения (1) для такой окружности имеют вид

Условия соприкосновения (11 - 13) окружности с кривой теперь должны выполняться для двух функций: и . В результате из шести следующих уравнений

можно найти все шесть характеристик окружности, соприкасающейся с данной кривой в точке :

где . Все найденные величины являются функциями параметра и имеют смысл для всех точек кривой, в которых . При этом кривизна кривой в данной точке равна

Сам вектор часто называют вектором кривизны.

Вектор

называют главной нормалью кривой в данной точке, вектор - бинормалью. Вместе с вектором касательной они составляют тройку ортонормированных векторов, меняющихся от точки к точке данной кривой. Обычно при определении в (24) выбирают знак плюс. Тогда тройка векторов , аналогично тройке , представляет правую систему координат, связанную с данной точкой данной кривой (иногда эту тройку называют подвижным трехгранником).

Плоскость называют соприкасающейся плоскостью, плоскость называют нормальной, а плоскость - спрямляющей.

Отметим следующие свойства дифференцирования по параметру:

здесь величину

называют кручением кривой в данной точке. Обратная величина называется радиусом кручения.

Соприкосновение сферы, задаваемой уравнением , с кривой в точке определяется соотношениями (11 - 13), к которым добавляется еще одно уравнение:

Отсюда получим параметры сферы для данной точки кривой

 

4. Криволинейные поверхности.

 

Поверхность задается или уравнением или в параметрической форме:

 

здесь и ниже

Поверхности еще более разнообразны в своих характеристиках, чем кривые. В частности, числа касательных прямых и соприкасающихся окружностей неограниченны. Например, вектором касательным в данной точке может быть любая линейная комбинация векторов и .

Множество всех касательных векторов определяют точки плоскости, являющейся касательной к поверхности в данной точке. Эту плоскость можно задать в одном из двух следующих видов:

где - радиус-вектор данной точки поверхности, - радиус-вектор точки касательной плоскости, а есть вектор нормали этой плоскости:

Геометрия поверхности определяется свойствами кривых, которые можно задать на этой поверхности. По отдельности эти кривые являются обычными кривыми в пространстве. Но в совокупности они несут все то, что характерно именно для данной поверхности (в т.ч. и ограничения, например, не всякая поверхность содержит прямую линию).

При параметрическом задании поверхности в виде (29) параметры называются криволинейными координатами этой поверхности. С помощью уравнений или можно определить любые объекты (в т.ч. и кривые линии) на этой поверхности. В частности, фиксация какого-либо параметра дает соответствующую координатную линию.

Элемент длины на поверхности определяется соотношением

(здесь и ниже по повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование: ). Суммируя эти элементы вдоль какой-либо кривой, мы получаем интеграл, определяющий расстояние между двумя точками поверхности вдоль данной кривой.

В принципе, функции и квадратичная форма (33) определяют всю суть геометрии поверхности. Если бы предметом анализа было бы некое абстрактное пространство, то для определения расстояний между точками нам пришлось бы постулировать соотношение вида (33), и тем самым задать свойства (меру), связанные с искривленностью пространства. То, что мы вывели (33), обязано тому, что мы имеем дело с поверхностью, являющейся искривленным двумерным подпространством евклидового трехмерного пространства. А для последнего понятие расстояний между точками нами было уже определено.

Кривую на поверхности зададим параметрическим образом , причем параметром будет длина кривой. При этом

Вектор касательной к кривой в данной точке равен , а вектор кривизны, равный

определяет главную нормаль к кривой в данной точке. В общем случае эта нормаль не совпадает с нормалью к поверхности в данной точке. Но есть, так называемые, геодезические кривые, у которых эти нормали совпадают. Причем главная особенность этих кривых в другом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геодезическая линия - это кривая на поверхности, любые две точки которой соединяются этой кривой кратчайшим путем.

Пусть заданы какие-либо две точки поверхности . Среди всех кривых на поверхности, проходящих через эти точки, мы ищем кривую, для которой значение интеграла

будет минимальным.

Интеграл (36) является функционалом . Вариация этого интеграла равна нулю, если функции определяет геодезическую кривую. Это приводит к следующим уравнениям для таких функций

где

Чтобы нормаль к кривой, определенная в (35), совпадала (с точностью до знака) с нормалью (32) к поверхности необходимо и достаточно, чтобы

Нетрудно убедиться, что это имеет место для геодезических кривых (т.е. из (38) следует (37) и наоборот).

Итак: нормаль к поверхности совпадает с главной нормалью к кривой на поверхности в каждой точке тогда и только тогда, когда кривая является геодезической.

 

5. Кривизна поверхности. Площади и объемы.

 

Таким образом, геодезические линии на поверхности являются аналогами прямых линий на плоскости. Вектор кривизны для геодезической можно записать в виде

где

Величину называют нормальной кривизной, а плоскость, проходящую через нормаль и касательную к геодезической в данной точке, называют нормальным сечением.

Через данную точку проходит множество геодезических в различных направлениях, определяемых значениями и в данной точке. Перебирая направления, получим различные значения кривизны для геодезических в данной точке. Минимальное и максимальное из них называются главными кривизнами поверхности в данной точке. Из (40) имеем для определения направлений (т.е. ), соответствующих экстремальным значениям , следующие уравнения

Эта система уравнений имеет решение только в случае, когда

Отсюда получим и главные кривизны и :

где

(нетрудно показать, что подкоренное выражение в (42) неотрицательное).

Главные кривизны имеют разные знаки () только при условии, что . В таких случаях какая-то из геодезических, проходящих через данную точку, имеет в этой точке нулевую кривизну. Такие точки (если они есть) называют гиперболическими (седловыми) точками поверхности.

Если , то кривизна всех геодезических, проходящих через данную точку, одного знака. Соответствующие точки называются эллиптическими.

В параболических точках , и одна из главных кривизн равна нулю (пример: любая точка цилиндра). Кривизна одинакова для всех геодезических (), если

Из уравнения (41), подставляя или , получим (с точностью до знака) направления геодезических с главными кривизнами, которые обозначим соответственно через и (). При этом векторы соответствующих касательных равны

Из уравнения (41) следует, что

Т.е. нормальные сечения, соответствующие геодезическим с главными кривизнами (главные нормальные сечения), являются перпендикулярными друг другу. Пусть - это угол, образуемый нормальным сечением некоторой геодезической с первым главным нормальным сечением. Тогда кривизна этой геодезической равна (теорема Эйлера)

 

Величины и называют соответственно средней и гауссовой (полной) кривизнами. При этом

 

В заключение приведем некоторые формулы, касающиеся площадей и объемов.

Векторный элемент площади поверхности в точке определяется в виде

 

Т.е. по направлению совпадает с нормалью к поверхности, а по модулю равен площади параллелограмма, построенного на векторах

Площадь области данной поверхности определяется интегралом

Если область пространства заключена внутри замкнутой поверхности, определяемой уравнением , и при , то объем этой области равен

Этот объем можно выразить через поверхностный интеграл, определяя граничную поверхность в параметрической форме:

Содержание