![]() |
![]() |
|
![]() | ![]() |
Основы общей алгебры
Очевидны преимущества следующего принципа: сначала получить все, что можно, из общей модели, а уже затем выводить то, что следует из частных случаев. А в математике часто различные концепции имеют (на первый взгляд не очень заметные) свойства, позволяющие подходить к этим концепциям с более общих позиций. Алгебра в своем общем виде и представляет обобщение ряда разделов математики. Основными понятиями алгебры являются: объект, операция с объектом, отношение между объектами. В частном случае (в арифметике) объекты - это числа, операции - сложение и умножение, отношение - определение связи двух чисел в плане их расположения на числовой оси (больше, меньше или равно). Это относится и к школьной (элементарной) алгебре, которая отличается от арифметики лишь тем, что числа обозначаются символами, а в уравнениях ищутся общие решения. Ниже, когда кажется, что излагаемое слишком абстрактно, рекомендуем попробовать найти аналогии в той же арифметике.
1. Основные понятия абстрактной алгебры
В абстрактной алгебре объекты не определяются (т.е. не конкретизуются). Операции характеризуются лишь своей бинарностью (операция связывает два объекта с результатом действия операции). Из отношений определяется лишь понятие "равенство", смысл которого заключается в эквивалентности (неразличимости в рамках данной модели) двух объектов. Это отношение рефлексивно ( Ну и что может дать такая степень общности? Что можно доказать в этой модели такое, что было бы конструктивно для частных моделей? И здесь необходимы некоторые пояснения. Предметами анализа абстрактной алгебры является алгебраические модели, в которых тем или иным образом определяются объекты, операции и отношения. И выводы такого анализа касаются не самих объектов, как таковых, а взаимоотношений различных алгебраических моделей. Если две модели в чем-то похожи друг на друга, то естественно ожидать, что результаты, полученные в одной модели, могут иметь аналоги в другой. Чтобы такого рода выводы были бесспорны, нужно четко определить, что понимается под тем или иным отношением двух моделей друг к другу. Пусть даны две модели Отображение (т.е. результаты всех операций в Очевидно, что одним из необходимых условий гомоморфизма Взаимно однозначный гомоморфизм ( Если какие-то две модели характеризуются одинаковым числом операций, то, прежде чем рассматривать их поодиночке, имеет смысл проверить их на изоморфизм. В этом плане важно выявить общие свойства, которыми могут обладать операции и отношения. Обозначим через
Из отношений между элементами кроме равенства (эквивалентности) особо выделяется отношение порядка следования. Обозначение Класс элементов называют линейно (совершенно) упорядоченным, если в нем для всех его элементов определено отношение порядка такое, что для любых
Если отношение порядка определено лишь для части элементов, то, исключая п.4, говорят о частичной упорядоченности. Итак, в общем случае имеется класс объектов, в котором определено лишь отношение эквивалентности элементов, не исключая возможность других отношений. Относительно операций постулируется лишь их бинарность. Конкретизируя число и свойства операций, структуру класса элементов и отношения между элементами, можно получать различные математические модели.
2. Одна определяющая операция (группы).
Из моделей с одной операцией основной интерес представляют группы, которые отображают многие изоморфные математические структуры. Прочие модели с одной операцией не имеют такого широкого приложения. Группой называется класс элементов, с одной замкнутой ассоциативной операцией, содержащий "единицу" (
Обычно операцию
3. Модели с двумя и более операциями.
В моделях с двумя операциями одну называют абстрактным сложением (знак Класс элементов Т.е. в кольце содержится нулевой элемент, обе операции ассоциативны, сложение коммутативно, а вместе эти операции дистрибутивны. Если Если кольцо содержит левую единицу Если в кольце с единицей элемент Полем называют кольцо с единицей, в котором каждый элемент Поле (или кольцо) коммутативно, если Класс матриц одинаковой размерности является кольцом. Если в таком классе ограничиться неособенными матрицами (детерминанты отличны от нуля), то речь идет о поле. Особняком в моделях с двумя операциями стоит булева алгебра, о которой мы ниже еще будем говорить. В некоторых моделях существует особый вид отношений, заключающийся в качественном отличии одних объектов от других. Т.е. множество объектов в таких моделях состоит из нескольких классов объектов. Например, скаляры это один класс, а векторы - другой. Тензоры 2-го ранга образуют свой класс, тензоры 3-го ранга - следующий и т.д. А есть еще, так называемые, спиноры (тензоры полуцелого ранга). Объединяет элементы разных классов то, что бинарные операции с объектами из одного (или разного) класса может давать объекты другого класса. Т.е. речь идет о моделях с тремя и более определяющими операциями. В алгебре тензоров рассматривается подобную модель. При этом векторная алгебра будет ее частным случаем.
4. Булева алгебра.
Пусть в классе объектов для всех Пока все как в арифметике. Булевой алгеброй класс
Отметим, что из этих свойств следует вторая часть дистрибутивности: В качестве элементов булевой алгебры могут служить события или высказывания (утверждения), для которых операции представляют логические связки: сложение - союз "или", умножение - союз "и". При этом в классе событий: Более наглядный и ясный смысл приведенные свойства приобретают, если считать, что объектами класса Очевидны также разложения: где Нетрудно доказать следующие соотношения: Здесь мы видим некую симметрию: дополнение суммы есть произведение дополнений слагаемых и наоборот. Т.е. при нахождении дополнения знаки операций меняются местами. Некоторый набор различных элементов булевой алгебры называют дизъюнктивным, если произведение любой пары элементов равно Таким образом, набор элементов Обозначим через называют результат, получаемый из Из (2) следуют соотношения:
Соотношение (4) означает, что дополнение функции есть функция дополнений, где знаки сложения и умножения меняются местами. Отметим, что всякая функция (3) или тождественно равна Равенства
В алгебре классов элемент В плане изоморфизма отметим два положения.
Прикладной смысл булевых алгебр заключается в возможности определения неких внешних характеристик для элементов алгебры. В частности, обычных функций одного аргумента (элемента). Например, если речь идет о множестве возможных событий (исходов), то для каждого события В алгебре высказываний Простейшая булева алгебра как раз и состоит из двух элементов Внешней характеристикой высказываний теперь может служить функция, отображающая каждое утверждение алгебры Таким образом, мы реализовали гомоморфное отображение алгебры высказываний в простейшую алгебру ( если определены все функции На основании (9) можно составлять таблицы (карты Карно) для различных функций от небольшого числа булевых переменных. |
|