Основы общей алгебры

Очевидны преимущества следующего принципа: сначала получить все, что можно, из общей модели, а уже затем выводить то, что следует из частных случаев. А в математике часто различные концепции имеют (на первый взгляд не очень заметные) свойства, позволяющие подходить к этим концепциям с более общих позиций. Алгебра в своем общем виде и представляет обобщение ряда разделов математики.

Основными понятиями алгебры являются: объект, операция с объектом, отношение между объектами. В частном случае (в арифметике) объекты - это числа, операции - сложение и умножение, отношение - определение связи двух чисел в плане их расположения на числовой оси (больше, меньше или равно). Это относится и к школьной (элементарной) алгебре, которая отличается от арифметики лишь тем, что числа обозначаются символами, а в уравнениях ищутся общие решения. Ниже, когда кажется, что излагаемое слишком абстрактно, рекомендуем попробовать найти аналогии в той же арифметике.

1. Основные понятия абстрактной алгебры

В абстрактной алгебре объекты не определяются (т.е. не конкретизуются). Операции характеризуются лишь своей бинарностью (операция связывает два объекта с результатом действия операции). Из отношений определяется лишь понятие "равенство", смысл которого заключается в эквивалентности (неразличимости в рамках данной модели) двух объектов. Это отношение рефлексивно (), симметрично (из следует ) и транзитивно (из и следует ).

Ну и что может дать такая степень общности? Что можно доказать в этой модели такое, что было бы конструктивно для частных моделей? И здесь необходимы некоторые пояснения. Предметами анализа абстрактной алгебры является алгебраические модели, в которых тем или иным образом определяются объекты, операции и отношения. И выводы такого анализа касаются не самих объектов, как таковых, а взаимоотношений различных алгебраических моделей. Если две модели в чем-то похожи друг на друга, то естественно ожидать, что результаты, полученные в одной модели, могут иметь аналоги в другой. Чтобы такого рода выводы были бесспорны, нужно четко определить, что понимается под тем или иным отношением двух моделей друг к другу.

Пусть даны две модели и , состоящие соответственно из объектов и , а также операций

Отображение (т.е. сопоставление каждому объекту из одного объекта из ) называется гомоморфизмом модели в модель (обозначение: ), если операции модели можно пронумеровать так, что

(т.е. результаты всех операций в отображаются результатами операций в ), и при этом сохраняются все отношения между объектами.

Очевидно, что одним из необходимых условий гомоморфизма является то, что число операций в не превышает числа операций в .

Взаимно однозначный гомоморфизм () называется изоморфизмом. В таких случаях одна модель может представлять другую. Все свойства данной модели имеют место для всех моделей, изоморфных ей. И речь здесь не о какой-то качественной аналогии, а об абсолютно точном соответствии.

Если какие-то две модели характеризуются одинаковым числом операций, то, прежде чем рассматривать их поодиночке, имеет смысл проверить их на изоморфизм. В этом плане важно выявить общие свойства, которыми могут обладать операции и отношения.

Обозначим через парную операцию с объектами (элементами) данного класса . Операция называется в классе :

замкнутой (безусловной, всеобщей), если для любых и она определена однозначно, и результат ;

коммутативной (перестановочной), если для любых , ;
ассоциативной, если для всех из класса .

Из отношений между элементами кроме равенства (эквивалентности) особо выделяется отношение порядка следования. Обозначение (или, что то же самое, ) означает, что равно () или следует за ().

Класс элементов называют линейно (совершенно) упорядоченным, если в нем для всех его элементов определено отношение порядка такое, что для любых :

из и следует ;
и означает, что ;
из и следует ;
если , то или , или .

Если отношение порядка определено лишь для части элементов, то, исключая п.4, говорят о частичной упорядоченности.

Итак, в общем случае имеется класс объектов, в котором определено лишь отношение эквивалентности элементов, не исключая возможность других отношений. Относительно операций постулируется лишь их бинарность. Конкретизируя число и свойства операций, структуру класса элементов и отношения между элементами, можно получать различные математические модели.

2. Одна определяющая операция (группы).

Из моделей с одной операцией основной интерес представляют группы, которые отображают многие изоморфные математические структуры. Прочие модели с одной операцией не имеют такого широкого приложения.

Группой называется класс элементов, с одной замкнутой ассоциативной операцией, содержащий "единицу" () и все обратные элементы. Т.е. для любых элементов из класса , представляющего группу, выполняются следующие условия:

;
;
существует элемент такой, что ;
для каждого существует элемент такой, что

Обычно операцию называют абстрактным умножением и, если эта операция аналогична умножению числовых выражений, то ее часто обозначают в виде (или , опуская точку). Обратную операцию называют абстрактным делением. Как видно из определения, деление в группе является замкнутой операцией, и уравнение имеет решение при любых и из данной группы. И это не самое главное достоинство групп (см. "Теория групп").

3. Модели с двумя и более операциями.

В моделях с двумя операциями одну называют абстрактным сложением (знак ), а вторую - умножением (знак - точка, которую часто опускают).

Класс элементов с замкнутыми операциями сложения и умножения называется кольцом, если для любых из этого класса:

Т.е. в кольце содержится нулевой элемент, обе операции ассоциативны, сложение коммутативно, а вместе эти операции дистрибутивны.

Если , но и , и не равны нулю, то называют левым делителем нуля, а - правым. В кольце без делителей нуля из следует, что или , или . В таком кольце действует закон сокращения: если или , то .

Если кольцо содержит левую единицу и правую единицу такие, что и при любых , то эти единицы совпадают и представляют единственную единицу. Такое кольцо называют кольцом с единицей.

Если в кольце с единицей элемент обладает левым обратным элементом и правым обратным элементом (), то , и элемент обладает единственным обратным элементом.

Полем называют кольцо с единицей, в котором каждый элемент обладает обратным элементом . Т.е. ненулевые элементы поля образуют группу по умножению.

Поле (или кольцо) коммутативно, если для всех и . Примеры: рациональные числа; действительные числа; комплексные числа. Моделью, представляющей такие поля, может служить элементарная алгебра.

Класс матриц одинаковой размерности является кольцом. Если в таком классе ограничиться неособенными матрицами (детерминанты отличны от нуля), то речь идет о поле.

Особняком в моделях с двумя операциями стоит булева алгебра, о которой мы ниже еще будем говорить.

В некоторых моделях существует особый вид отношений, заключающийся в качественном отличии одних объектов от других. Т.е. множество объектов в таких моделях состоит из нескольких классов объектов. Например, скаляры это один класс, а векторы - другой. Тензоры 2-го ранга образуют свой класс, тензоры 3-го ранга - следующий и т.д. А есть еще, так называемые, спиноры (тензоры полуцелого ранга). Объединяет элементы разных классов то, что бинарные операции с объектами из одного (или разного) класса может давать объекты другого класса. Т.е. речь идет о моделях с тремя и более определяющими операциями.

В алгебре тензоров рассматривается подобную модель. При этом векторная алгебра будет ее частным случаем.

4. Булева алгебра.

Пусть в классе объектов определены две замкнутые операции (сложение и умножение), которые по отдельности коммутативны и ассоциативны, а вместе - дистрибутивны:

для всех из .

Пока все как в арифметике. Булевой алгеброй класс становится, если добавить следующие свойства, имеющие место для всех из .

Идемпотентность: .
Совместимость: тогда и только тогда, когда .
Существуют элементы и такие, что

Для каждого существует дополнение такое, что

Отметим, что из этих свойств следует вторая часть дистрибутивности:

В качестве элементов булевой алгебры могут служить события или высказывания (утверждения), для которых операции представляют логические связки: сложение - союз "или", умножение - союз "и". При этом в классе событий: - невозможное событие, - достоверное событие. В классе высказываний: и - соответственно абсолютно ложное и достоверное утверждения.

Более наглядный и ясный смысл приведенные свойства приобретают, если считать, что объектами класса являются множества точек. Пусть, например, - это некоторый круг на плоскости, а прочие элементы - это какие-то части этого круга, т.е. подмножества множества точек круга. При этом - пустое подмножество. В такой модели сложение - это объединение всех точек двух подмножеств (обозначение: ), а умножение - это общая часть (пересечение) двух подмножеств (обозначение: ). Дополнение - это исходная область (круг), из которой "вычтена" область . При этом становятся очевидными свойства операций, постулированные выше. Например, ясно, что .

Очевидны также разложения:

где - это все точки области за исключением точек, входящих в область (аналогичный смысл имеет и ).

Нетрудно доказать следующие соотношения:

Здесь мы видим некую симметрию: дополнение суммы есть произведение дополнений слагаемых и наоборот. Т.е. при нахождении дополнения знаки операций меняются местами.

Некоторый набор различных элементов булевой алгебры называют дизъюнктивным, если произведение любой пары элементов равно . Например, если - это круг, то любой набор непересекающихся друг с другом областей этого круга является дизъюнктивным. А если все вместе они охватывают весь круг, то такой набор называют полным.

Таким образом, набор элементов будет дизъюнктивным, если при всех , и вдобавок полным, если

Обозначим через переменные, каждая из которых может быть равна любому элементу булевой алгебры. Булевой функцией

называют результат, получаемый из комбинацией сложения, умножения и взятия дополнения. При ограниченности числа переменных из приведенных выше свойств операций следует, что число всевозможных функций ограничено (нетрудно показать, что это число равно ).

Из (2) следуют соотношения:

Соотношение (4) означает, что дополнение функции есть функция дополнений, где знаки сложения и умножения меняются местами.

Отметим, что всякая функция (3) или тождественно равна , или может быть единственным образом представима суммой слагаемых , где равно или , или при всех . Такое представление называют каноническим видом булевой функции.

Равенства или по существу означают, что "содержит" в себе , т.е. они эквивалентны по отношению частичного упорядочивания (или ). При этом:

из и следует ;
если заданный произвольный элемент алгебры, а пробегает всевозможные элементы этой алгебры, то все элементы и при этом образуют булеву алгебру, где .

В алгебре классов элемент есть некоторое множество, а остальные элементы являются подмножествами этого множества ( есть пустое множество). Сложение (знак ) означает объединение подмножеств, а умножение (знак ) - общую часть (пересечение) подмножеств. При этом отношение превращается в отношение включения .

В плане изоморфизма отметим два положения.

Всякая булева алгебра изоморфна некоторой алгебре классов.
Две булевы алгебры с конечным числом элементов изоморфны в том и только в том случае, когда у них одинаковое число элементов.

Прикладной смысл булевых алгебр заключается в возможности определения неких внешних характеристик для элементов алгебры. В частности, обычных функций одного аргумента (элемента). Например, если речь идет о множестве возможных событий (исходов), то для каждого события из этого множества определяется функция , называемая вероятностью (или плотностью вероятностей) данного события (см. "Теория вероятностей"). При этом , . В алгебре классов аналогом вероятности может служить понятие меры подмножества при условии, что мера множества определена.

В алгебре высказываний внешней характеристикой может служить оценка утверждения выбором из двух вариантов (двузначная логика): истинно оно или ложно. Т.е. соответствующая функция может иметь одно из двух значений, например, или . Далее можно сформулировать правила расчета этой функции от различных комбинаций утверждений, предполагая, что любое утверждение или истинно, или ложно. Запись этих правил упрощается, если считать, что и это не числа, а единственные элементы другой булевой алгебры.

Простейшая булева алгебра как раз и состоит из двух элементов и . Обозначим ее через , и будем считать, что означает "истинно", а - "ложно". Обычно в логике вместо пишут . Итак в все операции имеют вид

Внешней характеристикой высказываний теперь может служить функция, отображающая каждое утверждение алгебры в один из элементов алгебры : если , то . Обозначим через истинное утверждение. Тогда есть ложное утверждение, и . Для любых и из справедливы соотношения:

Таким образом, мы реализовали гомоморфное отображение алгебры высказываний в простейшую алгебру (). Из (7, 8) можно получить соотношение, определяющее ложность или истинность любого высказывания , являющего булевой функцией ():

если определены все функции . Отметим, что в правой части (9) булева функция касается переменных из (т.е. ее можно рассчитывать с помощью соотношений (7)).

На основании (9) можно составлять таблицы (карты Карно) для различных функций от небольшого числа булевых переменных.

Содержание