|
|
 |
|
 | |
Анализ функций комплексной переменной
1. Комплексные числа.
Пусть объект Отсюда вытекают и свойства, присущие операциям с действительными числами (коммутативность, ассоциативность и пр.):
Комплексные числа (сокращение: КЧ) составляют группу и по сложению, и по умножению (в последнем случае число
где Действительные числа (сокращение: ДЧ) являются подмножеством множества КЧ и записываются в виде В привычном представлении комплексных чисел вводится элемент где и считается, что это выражение в плане операций сложения и умножения ничем не отличается от арифметической суммы чисел. Тогда с учетом (2) получаем свойства (1). Представление (3) более удобно в работе с КЧ. Однако подчеркнем, что суть КЧ заключается в представлении их двумерными числами, операции с которыми обладают свойствами (1). Имеется в виду, что КЧ являются частным случаем многомерных чисел. А при определении последних нет необходимости в привлечении неких абстрактных элементов. Достаточно ввести правила для операций с ними. То, что к правилам (1) можно придти с помощью (2, 3), является исключительным свойством КЧ. Ни один другой класс двумерных чисел не обладает таким свойством. Например, 2-мерный вектор можно было бы записать в виде аналогичной (3) суммы, но для этого требовалось бы ввести не один, а два абстрактных элемента (базисные векторы или что-то иное). Отметим, что КЧ может быть отображено точкой 2-мерной плоскости, в которой заданы прямоугольная система координат и начало ее отсчета. Далее, если нет уточнений, под числом будем подразумевать комплексное число. Обозначения: Сопряжение. Числа Действительная и мнимая части:
Тригонометрическая форма: так как из вида степенных рядов следует, что
то любое число Эта форма очень удобна для записи результатов умножения, деления и возведения в произвольную степень (сложение проще выглядит в обычной записи). Важно и то, что в такой форме легче выявить все неоднозначности, возникающие в расчетах. В геометрической интерпретации представление (4) является переходом в комплексной плоскости от декартовых координат к полярным ( Результаты умножения, деления и возведения в целую степень являются однозначными: Извлечение корней неоднозначно, причем в большей степени, чем это было для ДЧ. В соответствии с (4) имеем
для любого целого где При возведении числа При этом Обычно в конечных результатах имеют дело с модулями КЧ. В таких случаях неоднозначности в (6, 7) несущественны. Иное дело, когда показателем степени является КЧ, при котором где Возведение в комплексную (а точнее, в чисто мнимую) степень имеет смысл, когда вводятся дополнительные условия граничного типа, которые превращают эту процедуру в достаточно однозначную операцию (например, задают предел для результата при Логарифмирование числа
При этом главное значение имеет место при Отметим еще главные значения, принятые для следующих операций:
Чтобы в дальнейшем не было двусмысленностей, определимся в одном нюансе. Всякое выражение можно понимать и как совокупность операций, и как результат этих операции (в частности, как главное значение). Например, выражение
2. Функции и операции с ними.
Как и в случае ДЧ, функция - это некоторое правило, которое каждому числу Наиболее безусловным определением однозначных функций общего вида являются степенные ряды: где коэффициенты
получим следующие свойства Правила дифференцирования функций вида (9) такие же, что и в случае действительной переменной. Т.е. исходным является соотношение где
Учитывая вышеприведенные неоднозначности результатов операций с КЧ, следует ожидать, что не всякая функция вещественной переменной имеет однозначное аналитическое продолжение. Поэтому более четким будет определение функции комплексной переменной с помощью задания ее действительной и мнимой частей. Итак, функция где Учитывая (13), производная по Если Приведем разложение некоторых элементарных функций от
здесь и выше
Отметим неоднозначность в определении функций (17, 21). Однако эти неоднозначности имеют различные основы. Так (17) характерно и в поле ДЧ, однако неоднозначность в (21) возникает исключительно в поле КЧ. Поэтому функция В операциях интегрирования функций действительной переменной понятия неопределенный и определенный интеграл были тесно связаны. В случае комплексной переменной такая связь условна. Неопределенный интеграл и в этом случае есть операция обратная дифференцированию. Если в общем случае нельзя считать корректным (ни по сути, ни по форме). Во-первых, такой интеграл не всегда равен разности значений одной и той же первообразной функции в точках Таким образом, определенный интеграл по комплексной переменной должен быть записан в виде где
Здесь мы видим, что определенный интеграл по
3. Интегралы по траекториям.
Далее будем рассматривать неразветвляющиеся кривые (т.е. не пересекающие сами себя). Такие кривые задаются функцией при всех Замкнутая простая кривая - это неразветвляющаяся кривая, которая замыкается на концах: Элемент длины дуги кривой выражается соотношением Кривую на комплексной плоскости можно выразить (и часто это более эффективно) и в полярных координатах:
где Рассмотрим интегралы вида где
Не ограничивая общность, можно считать Но если Вот это соотношение и представляет главную особенность интегрирования в комплексной плоскости. Если замкнутая кривая не содержит внутри себя точку Обобщением (28, 29) является соотношение где Итак, интегралы по траекториям зависят от свойств регулярности функции, стоящей под интегралом. В этом плане выделяются функции, являющиеся непрерывными и ограниченными. Функцию называют аналитической в точке Функция который сходится в некоторой окрестности точки Функцию который сходится при достаточно больших Пусть ниже функция
в частности, где Приведенные свойства аналитических функций являются эффективным инструментом при расчете некоторых интегралов от действительной переменной. Приведем простой пример. Пусть необходимо рассчитать интеграл от действительной функции ( Во многих случаях интеграл в правой части (36) легче рассчитать, чем (35). Особенно это касается несобственных интегралов, когда Если внутри определенной выше области Прежде чем рассматривать неаналитические функции, приведем ряд вариантов представления аналитических функций, зависящих от вида областей их задания. Пусть сходится равномерно и является единственным для Ряд (32) представлял функцию аналитическую на бесконечности (т.е. на любой точке окружности, радиус которой стремится к бесконечности). Если исключить случай Определим следующие окружности с центром в точке
Если функция где или в общем виде где Нулями функции
4. Особые точки и вычеты.
Особыми точками функции называются точки, в которых эта функция не является аналитической. Особую точку Существуют и другие виды особых точек. Если в точке Далее будем говорить (если не подразумевается иное) об изолированных особых точках, являющихся полюсами. Пусть Если В частности, при Пусть функция С помощью (45) можно обобщить соотношение (36) на случай наличия особых точек внутри контура. Пусть кривая где Особенно эффективно соотношение (46) для бесконечных пределов интегрирования, если при этом интеграл вдоль Пусть
то
Если где Отметим, что сказанное выше применимо и к нижней полуплоскости при соответствующей коррекции значений параметров (например, в (48)
5. Примеры приложений. Конформное отображение.
Соотношение (49) позволяет свести вычисление некоторых несобственных интегралов к расчету вычетов подынтегральной функции, аналитически продолженной в верхнюю полуплоскость. Для примера рассмотрим следующий интеграл: где У функции В то же время функция Есть еще одна особенность функций комплексной переменной, которая может быть полезна в приложениях. Пусть функция аналитична в точке  , и ее производная в этой точке отлична от нуля. Рассмотрим две кривые, исходящие из точки  :
Угол где
Функция
Функции где
Учитывая (13), нетрудно убедиться в том, что правые части (47) и (53) совпадают, и Итак, конформное отображение точек
во всех этих точках. Подходящим выбором отображения (т.е. функции Многозначные функции являются отдельной темой для анализа. Мы не будем подробно останавливаться на этом и ограничимся указанием одного метода (аналитическое продолжение), весьма эффективного в построении и исследовании различных ветвей многозначных функций. Пусть функция Отметим, что аналитическое продолжение определяется единственным образом, исходя из его значений в области |
|
определяется двумя упорядоченными действительными числами 
и 
(обозначение: 
). Множество объектов такого вида называется множеством 
и 
:
исключается). "Единицей" по сложению является 
, а по умножению - 
. Обратным элементом для 
по сложению будет число 
, а по умножению - число
называется 
.
.
, называемый 
- любое ДЧ. При этом КЧ 
записывается в виде 
- КЧ, 
и 
- ДЧ (с индексами или без них).
и 
называются 
есть 
- 
. Обозначения:
можно записать в тригонометрической форме 
- расстояние до точки от начала координат, 
- угол, отсчитываемый против хода часовой стрелки от направления оси 
до направления к данной точке).
. Поэтому корень 
-ой степени из 
дается соотношением
. Т.е. всего получается 
различных корней.
в иррациональную степень 
приходим к бесконечному количеству результатов:
называют 
- любое целое число. Как видим, при заданных 
, 
и 
результат по модулю может быть сколь угодно мал или сколь угодно велик.
или 
, т.е. когда мнимая часть числа 
стремится к нулю).
также приводит к неоднозначностям:
. Заметим, что в поле КЧ логарифм положительного ДЧ является неоднозначным.
можно считать операцией возведения в комплексную степень 
ДЧ 
, и тогда речь идет о наборе результатов этой операции. Но можно считать это выражение однозначно заданным числом. Мы, если иное не оговорено, будем в таких случаях иметь в виду второй вариант. 
ставит в соответствие число 
(также комплексное). Наиболее типичным определением функций от комплексной переменной является аналитическое продолжение функций от действительной переменной 
на комплексную плоскость. Разумеется при условии, что все операции, производимые в рамках данной функции над переменной 
, определены и для комплексной переменной 
.
- заданные числа (об областях сходимости и пр. будет еще сказано). Если все эти коэффициенты являются ДЧ, то 
называют вещественной функцией комплексной переменной. При этом, обозначая
- целое число. В общем случае, если 
есть аналитическое продолжение дифференцируемой функции 
такой, что 
можно продолжить на комплексной плоскости, то 
. 
, где 
определяется разложением
и 
есть вещественные функции от двух действительных переменных. При этом свойства функции 
(непрерывность, дифференцируемость и т.д.) определяются соответствующими свойствами функций 
и 
. В частности, дифференцируемость 
означает, что частные производные функций 
и 
существуют и при этом
может быть определена в любом из следующих вариантов
есть аналитическое продолжение вещественной функции 
, то 
и 
находятся из уравнений (
.
- любое целое число, а
есть аналитическое продолжение функции 
только в том случае, когда в (
, т.е. если потребуем, чтобы при 
и 
(
) представление (
.
, то можно считать, что 
где 
- произвольное число. Однако соотношение
и 
. Во-вторых, переменная интегрирования есть точка плоскости, и поэтому однократный интеграл должен быть записан с указанием пути, по которому производится интегрирование.
зависит от кривой 
, по которой идет интегрирование. В частности, в случае 
этот интеграл не обязательно равен нулю. Тогда, спрашивается, какое отношение к (
, для которых результат не зависит от пути интегрирования? Такие функции есть, и их класс довольно широк (см. ниже). Однако, как это ни странно, более полезными для приложений оказываются случаи, когда интеграл зависит от пути интегрирования, и (
, которая является однозначной в области задания параметра 
:
из отрезка 
.
- действительная функция полярного угла.
- целое число, 
. Если кривая замкнута (
), и начало координат находится внутри этой кривой, то
и 
. Тогда при 
, то имеем
, то интеграл (
. Таким образом, интеграл по замкнутой кривой зависит от наличия внутри кривой точек расходимости и от вида этой расходимости. 
- любая простая замкнутая кривая, внутри которой лежит точка 
. 
, если она дифференцируема (а, значит, непрерывна и ограниченна) в некоторой окрестности точки 
.
аналитическая в точке 
тогда и только тогда, когда ее можно представить степенным рядом
. Если функция 
является аналитической во всех точках открытой области 
, то ее называют аналитической в области 
(открытая область - это область, которая не содержит свою границу).
называют аналитической на бесконечности, если 
является аналитической функцией в точке 
. Такую функцию можно разложить в ряд по обратным степеням
.
является аналитической в области 
, и все упоминаемые точки кривой принадлежат области 
. Тогда с учетом (
по любой замкнутой кривой равен нулю.
по незамкнутой кривой зависит только от конечных точек этой кривой.
(
)
имеют место соотношения
- любая простая замкнутая кривая вокруг точки 
.
:
есть ДЧ). Определим область 
, границей которой является замкнутая кривая 
, содержащая кусок прямой на оси 
от 
до 
. В частности, 
- это полукруг, верхняя граница которого описывается полуокружностью 
при 
. Если 
является аналитической в 
, то интеграл вдоль замкнутой кривой 
равен нулю. От сюда следует, что
.
функция 
имеет особенности (расходимости), то (
является аналитической внутри окружности 
радиуса 
и с центром в точке 
. Тогда ряд (
. При этом
, то очевидно, что с помощью рядов по целым степеням аргумента нельзя задать функцию аналитическую на всей комплексной плоскости. Т.е. комбинация рядов вида (
:
аналитична в кольце между окружностями 
и 
, то существует единственное ее разложение в равномерно сходящийся ряд, называемый 
- любая окружность между 
и 
.
называют точки, в которых эта функция равна нулю. Функция аналитическая в точке 
имеет нуль порядка 
, если в разложении в ряд Тейлора (
. Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен степени 
по 
имеет 
нулей с учетом кратности.
функции 
называют изолированной, если найдется ДЧ 
такое, что 
является аналитической в области 
. Особая точка 
называется 
-го порядка, если в разложении в ряд Лорана (
, а 
при 
.
функция 
разветвляется, то точку 
называют 
. 
, для которой в разложении (
. К примеру, для функции 
такой точкой является 
.
замкнутая кривая, содержащая внутри себя точку 
, а функция 
во внутренней области этой кривой или аналитична, или имеет единственную особую точку 
. Тогда 
в точке 
, обозначаемый в виде 
, равен
является аналитической в точке 
, то ее вычет в этой точке очевидно равен нулю. Если 
- полюс порядка 
, то нетрудно показать, что
(
, где 
и 
являются аналитическими функциями в точке 
(при этом 
есть нуль 1-го порядка функции 
), получим
аналитична в некоторой области 
за исключением изолированных особых точек, а внутри контура 
находится конечное число полюсов 
. При этих условиях теорема о вычетах гласит, что
состоит из двух частей: прямого отрезка 
на действительной оси 
от точки 
до точки 
и кривой 
в комплексной плоскости, соединяющей точки 
и 
в направлении от 
до 
. Тогда
- полюса функции 
, находящиеся внутри контура 
. 
стремится к нулю.
есть полуокружность радиуса 
в верхней полуплоскости с центром в точке 
: 
. Тогда имеют место следующие теоремы.
такое, что 
является аналитической при 
и при всех 
является аналитической в верхней полуплоскости за исключением конечного числа полюсов, и 
при 
в этой полуплоскости, то
- любое положительное ДЧ.
удовлетворяет какому-либо из двух приведенных условий, то несобственный интеграл
- полюса функции 
в верхней полуплоскости.
).
- ДЧ. Будем считать, что 
, 
.
в верхней полуплоскости только один полюс 
. Этот полюс простой, и в соответствии с (
удовлетворяет условию (
удовлетворяет условиям леммы Жордана). Поэтому интеграл (
между двумя этими кривыми в точке 
дается соотношением 
вдоль этих кривых расщепляется на две функции 
от действительной переменной 
:
определяют две кривые в комплексной плоскости 
, являющейся отображением плоскости 
функцией 
. Эти кривые также исходят из одной точки 
, и угол 
между ними определяется аналогичным (
. Это значит, что функция 
отображает любые две кривые 
-плоскости, исходящие из одной точки 
, в две кривые новой 
-плоскости, исходящие из точки 
, так, что сохраняется угол между кривыми в точке исхода. Поэтому такое отображение называется конформным.
-плоскости в точки 
-плоскости осуществляется аналитической в этих точках функцией 
такой, что
) можно получать различные видоизмененные варианты одной и той же отображаемой области. Вся 
-плоскость (или некоторая ее часть) может быть отображена или всей 
-плоскостью, или ее частью. Полуплоскость, полосы, круги, прямоугольники, кольца, полукольца и т.п. - все эти области могут быть связаны конформным отображением. Такого рода возможности полезны в ряде приложений, когда исходная область комплексной плоскости не очень удобна для конструктивного анализа. Важно при этом подчеркнуть, что речь идет об отображениях, при которых сохраняются углы между любыми двумя кривыми, исходящими из любой точки отображаемой области.
однозначна и аналитична в области 
, функция 
аналитична в области 
, и пересечение 
является непустой областью. Если 
при 
, где 
является открытой подобластью (разумеется, непустой), то говорят, что функция 
есть 
.
. В результате мы имеем возможности как построения различных ветвей функции, так и анализа ветвей в плане поиска соответствующих аналитических продолжений.
