Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Анализ функций комплексной переменной

 

1. Комплексные числа.

 

Пусть объект определяется двумя упорядоченными действительными числами и (обозначение: ). Множество объектов такого вида называется множеством комплексных чисел, если сложение и умножение этих чисел определено так, что для любых и :

Отсюда вытекают и свойства, присущие операциям с действительными числами (коммутативность, ассоциативность и пр.):

Комплексные числа (сокращение: КЧ) составляют группу и по сложению, и по умножению (в последнем случае число исключается). "Единицей" по сложению является , а по умножению - . Обратным элементом для по сложению будет число , а по умножению - число

где называется модулем КЧ .

Действительные числа (сокращение: ДЧ) являются подмножеством множества КЧ и записываются в виде .

В привычном представлении комплексных чисел вводится элемент , называемый мнимой единицей, который обладает следующими свойствами:

где - любое ДЧ. При этом КЧ записывается в виде

и считается, что это выражение в плане операций сложения и умножения ничем не отличается от арифметической суммы чисел. Тогда с учетом (2) получаем свойства (1).

Представление (3) более удобно в работе с КЧ. Однако подчеркнем, что суть КЧ заключается в представлении их двумерными числами, операции с которыми обладают свойствами (1). Имеется в виду, что КЧ являются частным случаем многомерных чисел. А при определении последних нет необходимости в привлечении неких абстрактных элементов. Достаточно ввести правила для операций с ними. То, что к правилам (1) можно придти с помощью (2, 3), является исключительным свойством КЧ. Ни один другой класс двумерных чисел не обладает таким свойством. Например, 2-мерный вектор можно было бы записать в виде аналогичной (3) суммы, но для этого требовалось бы ввести не один, а два абстрактных элемента (базисные векторы или что-то иное).

Отметим, что КЧ может быть отображено точкой 2-мерной плоскости, в которой заданы прямоугольная система координат и начало ее отсчета.

Далее, если нет уточнений, под числом будем подразумевать комплексное число. Обозначения: - КЧ, и - ДЧ (с индексами или без них).

Сопряжение. Числа и называются комплексно сопряженными.

Действительная и мнимая части: есть действительная часть, а - мнимая часть числа . Обозначения:

Тригонометрическая форма: так как из вида степенных рядов следует, что

то любое число можно записать в тригонометрической форме

Эта форма очень удобна для записи результатов умножения, деления и возведения в произвольную степень (сложение проще выглядит в обычной записи). Важно и то, что в такой форме легче выявить все неоднозначности, возникающие в расчетах. В геометрической интерпретации представление (4) является переходом в комплексной плоскости от декартовых координат к полярным ( - расстояние до точки от начала координат, - угол, отсчитываемый против хода часовой стрелки от направления оси до направления к данной точке).

Результаты умножения, деления и возведения в целую степень являются однозначными:

Извлечение корней неоднозначно, причем в большей степени, чем это было для ДЧ. В соответствии с (4) имеем

для любого целого . Поэтому корень -ой степени из дается соотношением

где . Т.е. всего получается различных корней.

При возведении числа в иррациональную степень приходим к бесконечному количеству результатов:

При этом называют главным значением в (7).

Обычно в конечных результатах имеют дело с модулями КЧ. В таких случаях неоднозначности в (6, 7) несущественны. Иное дело, когда показателем степени является КЧ, при котором

где - любое целое число. Как видим, при заданных , и результат по модулю может быть сколь угодно мал или сколь угодно велик.

Возведение в комплексную (а точнее, в чисто мнимую) степень имеет смысл, когда вводятся дополнительные условия граничного типа, которые превращают эту процедуру в достаточно однозначную операцию (например, задают предел для результата при или , т.е. когда мнимая часть числа стремится к нулю).

Логарифмирование числа также приводит к неоднозначностям:

При этом главное значение имеет место при . Заметим, что в поле КЧ логарифм положительного ДЧ является неоднозначным.

Отметим еще главные значения, принятые для следующих операций:

Чтобы в дальнейшем не было двусмысленностей, определимся в одном нюансе. Всякое выражение можно понимать и как совокупность операций, и как результат этих операции (в частности, как главное значение). Например, выражение можно считать операцией возведения в комплексную степень ДЧ , и тогда речь идет о наборе результатов этой операции. Но можно считать это выражение однозначно заданным числом. Мы, если иное не оговорено, будем в таких случаях иметь в виду второй вариант.

 

2. Функции и операции с ними.

 

Как и в случае ДЧ, функция - это некоторое правило, которое каждому числу ставит в соответствие число (также комплексное). Наиболее типичным определением функций от комплексной переменной является аналитическое продолжение функций от действительной переменной на комплексную плоскость. Разумеется при условии, что все операции, производимые в рамках данной функции над переменной , определены и для комплексной переменной .

Наиболее безусловным определением однозначных функций общего вида являются степенные ряды:

где коэффициенты - заданные числа (об областях сходимости и пр. будет еще сказано). Если все эти коэффициенты являются ДЧ, то называют вещественной функцией комплексной переменной. При этом, обозначая

получим следующие свойства

Правила дифференцирования функций вида (9) такие же, что и в случае действительной переменной. Т.е. исходным является соотношение

где - целое число. В общем случае, если есть аналитическое продолжение дифференцируемой функции такой, что можно продолжить на комплексной плоскости, то .

 

Учитывая вышеприведенные неоднозначности результатов операций с КЧ, следует ожидать, что не всякая функция вещественной переменной имеет однозначное аналитическое продолжение. Поэтому более четким будет определение функции комплексной переменной с помощью задания ее действительной и мнимой частей.

Итак, функция , где определяется разложением

где и есть вещественные функции от двух действительных переменных. При этом свойства функции (непрерывность, дифференцируемость и т.д.) определяются соответствующими свойствами функций и . В частности, дифференцируемость означает, что частные производные функций и существуют и при этом

Учитывая (13), производная по может быть определена в любом из следующих вариантов

Если есть аналитическое продолжение вещественной функции , то и находятся из уравнений (13) при граничных условиях вида

Приведем разложение некоторых элементарных функций от .

 

 

 

 

 

здесь и выше - любое целое число, а

Отметим неоднозначность в определении функций (17, 21). Однако эти неоднозначности имеют различные основы. Так (17) характерно и в поле ДЧ, однако неоднозначность в (21) возникает исключительно в поле КЧ. Поэтому функция есть аналитическое продолжение функции только в том случае, когда в (21) , т.е. если потребуем, чтобы при и () представление (21) стремилось к .

В операциях интегрирования функций действительной переменной понятия неопределенный и определенный интеграл были тесно связаны. В случае комплексной переменной такая связь условна. Неопределенный интеграл и в этом случае есть операция обратная дифференцированию. Если , то можно считать, что где - произвольное число. Однако соотношение

в общем случае нельзя считать корректным (ни по сути, ни по форме). Во-первых, такой интеграл не всегда равен разности значений одной и той же первообразной функции в точках и . Во-вторых, переменная интегрирования есть точка плоскости, и поэтому однократный интеграл должен быть записан с указанием пути, по которому производится интегрирование.

Таким образом, определенный интеграл по комплексной переменной должен быть записан в виде

где

Здесь мы видим, что определенный интеграл по зависит от кривой , по которой идет интегрирование. В частности, в случае этот интеграл не обязательно равен нулю. Тогда, спрашивается, какое отношение к (23) может иметь соотношение (22)? Существуют ли функции , для которых результат не зависит от пути интегрирования? Такие функции есть, и их класс довольно широк (см. ниже). Однако, как это ни странно, более полезными для приложений оказываются случаи, когда интеграл зависит от пути интегрирования, и (22) не определяет (23).

 

3. Интегралы по траекториям.

 

Далее будем рассматривать неразветвляющиеся кривые (т.е. не пересекающие сами себя). Такие кривые задаются функцией , которая является однозначной в области задания параметра :

при всех из отрезка .

Замкнутая простая кривая - это неразветвляющаяся кривая, которая замыкается на концах:

Элемент длины дуги кривой выражается соотношением

Кривую на комплексной плоскости можно выразить (и часто это более эффективно) и в полярных координатах:

где - действительная функция полярного угла.

Рассмотрим интегралы вида

где - целое число, . Если кривая замкнута (), и начало координат находится внутри этой кривой, то

Не ограничивая общность, можно считать и . Тогда при

Но если , то имеем

Вот это соотношение и представляет главную особенность интегрирования в комплексной плоскости.

Если замкнутая кривая не содержит внутри себя точку , то интеграл (27) равен нулю при всех целых . Таким образом, интеграл по замкнутой кривой зависит от наличия внутри кривой точек расходимости и от вида этой расходимости.

Обобщением (28, 29) является соотношение

где - любая простая замкнутая кривая, внутри которой лежит точка .

Итак, интегралы по траекториям зависят от свойств регулярности функции, стоящей под интегралом. В этом плане выделяются функции, являющиеся непрерывными и ограниченными.

Функцию называют аналитической в точке , если она дифференцируема (а, значит, непрерывна и ограниченна) в некоторой окрестности точки .

Функция аналитическая в точке тогда и только тогда, когда ее можно представить степенным рядом

который сходится в некоторой окрестности точки . Если функция является аналитической во всех точках открытой области , то ее называют аналитической в области (открытая область - это область, которая не содержит свою границу).

Функцию называют аналитической на бесконечности, если является аналитической функцией в точке . Такую функцию можно разложить в ряд по обратным степеням

который сходится при достаточно больших .

Пусть ниже функция является аналитической в области , и все упоминаемые точки кривой принадлежат области . Тогда с учетом (30) можно сделать следующие выводы.

  1. Интеграл от по любой замкнутой кривой равен нулю.
  2. Интеграл от по незамкнутой кривой зависит только от конечных точек этой кривой.
  3. Существуют все производные ()
  4. Для любой точки имеют место соотношения

в частности,

где - любая простая замкнутая кривая вокруг точки .

Приведенные свойства аналитических функций являются эффективным инструментом при расчете некоторых интегралов от действительной переменной. Приведем простой пример. Пусть необходимо рассчитать интеграл от действительной функции :

( есть ДЧ). Определим область , границей которой является замкнутая кривая , содержащая кусок прямой на оси от до . В частности, - это полукруг, верхняя граница которого описывается полуокружностью при . Если является аналитической в , то интеграл вдоль замкнутой кривой равен нулю. От сюда следует, что

Во многих случаях интеграл в правой части (36) легче рассчитать, чем (35). Особенно это касается несобственных интегралов, когда .

Если внутри определенной выше области функция имеет особенности (расходимости), то (36) корректируется добавлением так называемых вычетов (см. ниже).

Прежде чем рассматривать неаналитические функции, приведем ряд вариантов представления аналитических функций, зависящих от вида областей их задания.

Пусть является аналитической внутри окружности радиуса и с центром в точке . Тогда ряд (31), называемый рядом Тейлора,

сходится равномерно и является единственным для . При этом

Ряд (32) представлял функцию аналитическую на бесконечности (т.е. на любой точке окружности, радиус которой стремится к бесконечности). Если исключить случай , то очевидно, что с помощью рядов по целым степеням аргумента нельзя задать функцию аналитическую на всей комплексной плоскости. Т.е. комбинация рядов вида (31, 32) может быть аналитической лишь в области, аналогичной кольцу между двумя концентрическими окружностями.

Определим следующие окружности с центром в точке :

Если функция аналитична в кольце между окружностями и , то существует единственное ее разложение в равномерно сходящийся ряд, называемый рядом Лорана,

где

или в общем виде

где - любая окружность между и .

Нулями функции называют точки, в которых эта функция равна нулю. Функция аналитическая в точке имеет нуль порядка , если в разложении в ряд Тейлора (37) . Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен степени по имеет нулей с учетом кратности.

 

4. Особые точки и вычеты.

 

Особыми точками функции называются точки, в которых эта функция не является аналитической. Особую точку функции называют изолированной, если найдется ДЧ такое, что является аналитической в области . Особая точка называется полюсом -го порядка, если в разложении в ряд Лорана (39) , а при .

Существуют и другие виды особых точек. Если в точке функция разветвляется, то точку называют точкой разветвления функции . Существенно особой называют точку , для которой в разложении (39) отличными от нуля являются бесконечное число коэффициентов . К примеру, для функции такой точкой является .

Далее будем говорить (если не подразумевается иное) об изолированных особых точках, являющихся полюсами.

Пусть замкнутая кривая, содержащая внутри себя точку , а функция во внутренней области этой кривой или аналитична, или имеет единственную особую точку . Тогда вычет функции в точке , обозначаемый в виде , равен

Если является аналитической в точке , то ее вычет в этой точке очевидно равен нулю. Если - полюс порядка , то нетрудно показать, что

В частности, при (простой полюс) и , где и являются аналитическими функциями в точке (при этом есть нуль 1-го порядка функции ), получим

Пусть функция аналитична в некоторой области за исключением изолированных особых точек, а внутри контура находится конечное число полюсов . При этих условиях теорема о вычетах гласит, что

С помощью (45) можно обобщить соотношение (36) на случай наличия особых точек внутри контура. Пусть кривая состоит из двух частей: прямого отрезка на действительной оси от точки до точки и кривой в комплексной плоскости, соединяющей точки и в направлении от до . Тогда

где - полюса функции , находящиеся внутри контура .

Особенно эффективно соотношение (46) для бесконечных пределов интегрирования, если при этом интеграл вдоль стремится к нулю.

Пусть есть полуокружность радиуса в верхней полуплоскости с центром в точке : . Тогда имеют место следующие теоремы.

  1. Если найдется конечное ДЧ такое, что является аналитической при и при всех

  2. то

  3. Лемма Жордана: если является аналитической в верхней полуплоскости за исключением конечного числа полюсов, и при в этой полуплоскости, то

    где - любое положительное ДЧ.

Если удовлетворяет какому-либо из двух приведенных условий, то несобственный интеграл

где - полюса функции в верхней полуплоскости.

Отметим, что сказанное выше применимо и к нижней полуплоскости при соответствующей коррекции значений параметров (например, в (48) ).

 

5. Примеры приложений. Конформное отображение.

 

Соотношение (49) позволяет свести вычисление некоторых несобственных интегралов к расчету вычетов подынтегральной функции, аналитически продолженной в верхнюю полуплоскость.

Для примера рассмотрим следующий интеграл:

где - ДЧ. Будем считать, что , .

У функции в верхней полуплоскости только один полюс . Этот полюс простой, и в соответствии с (44) вычет равен

В то же время функция удовлетворяет условию (47) (а удовлетворяет условиям леммы Жордана). Поэтому интеграл (50) согласно (49) равен

Есть еще одна особенность функций комплексной переменной, которая может быть полезна в приложениях.

Пусть функция аналитична в точке , и ее производная в этой точке отлична от нуля. Рассмотрим две кривые, исходящие из точки :

Угол между двумя этими кривыми в точке дается соотношением

где

Функция вдоль этих кривых расщепляется на две функции от действительной переменной :

Функции определяют две кривые в комплексной плоскости , являющейся отображением плоскости функцией . Эти кривые также исходят из одной точки , и угол между ними определяется аналогичным (52) соотношением:

где

Учитывая (13), нетрудно убедиться в том, что правые части (47) и (53) совпадают, и . Это значит, что функция отображает любые две кривые -плоскости, исходящие из одной точки , в две кривые новой -плоскости, исходящие из точки , так, что сохраняется угол между кривыми в точке исхода. Поэтому такое отображение называется конформным.

Итак, конформное отображение точек -плоскости в точки -плоскости осуществляется аналитической в этих точках функцией такой, что

во всех этих точках.

Подходящим выбором отображения (т.е. функции ) можно получать различные видоизмененные варианты одной и той же отображаемой области. Вся -плоскость (или некоторая ее часть) может быть отображена или всей -плоскостью, или ее частью. Полуплоскость, полосы, круги, прямоугольники, кольца, полукольца и т.п. - все эти области могут быть связаны конформным отображением. Такого рода возможности полезны в ряде приложений, когда исходная область комплексной плоскости не очень удобна для конструктивного анализа. Важно при этом подчеркнуть, что речь идет об отображениях, при которых сохраняются углы между любыми двумя кривыми, исходящими из любой точки отображаемой области.

Многозначные функции являются отдельной темой для анализа. Мы не будем подробно останавливаться на этом и ограничимся указанием одного метода (аналитическое продолжение), весьма эффективного в построении и исследовании различных ветвей многозначных функций.

Пусть функция однозначна и аналитична в области , функция аналитична в области , и пересечение является непустой областью. Если при , где является открытой подобластью (разумеется, непустой), то говорят, что функция есть аналитическое продолжение функции .

Отметим, что аналитическое продолжение определяется единственным образом, исходя из его значений в области . В результате мы имеем возможности как построения различных ветвей функции, так и анализа ветвей в плане поиска соответствующих аналитических продолжений.

Содержание