Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Опыт Штерна по измерению скоростей движения молекул в газе.
Распределение Максвелла

Дата: 1920.

Методы: количественные измерения в узком диапазоне параметров, в которых работает используемая теоретическая модель.

Прямота эксперимента: косвенный эксперимент.

Искусственность изучаемых условий: искусственные условия, специально подобранные, чтобы была применима используемая модель.

Исследуемые фундаментальные принципы: статистическое распределение частиц газа по скоростям.

Итак, представления ученых о хаотическом движении молекул вещества стали практически устоявшимися. На такой характер теплового движения указывали, в первую очередь, опыты Р. Брауна, в которых было обнаружено дрожание мелких частиц, помещенных в жидкость. Теория, описывающая подобное движение, была разработана во второй половине XIX века специалистами по теории вероятности и физиком Джеймсом Клерком Максвеллом. Последний рассматривал газ как систему макроскопического числа частиц, которые могут взаимодействовать друг с другом через потенциальные центральные силы, а также иногда упруго сталкиваются друг с другом. Такое приближение хорошо работает для не слишком плотных газов при температурах, при которых эти газы существуют, а также для многих жидкостей (в той степени, в которой можно пренебречь квантовыми эффектами). На основе данной модели, считая, что после столкновения молекул векторы их скоростей меняются случайным образом (в рамках законов сохранения энергии и импульса), можно получить распределение молекул газа по скоростям, носящее имя распределения Максвелла. Согласно этому распределению, доля молекул  газа, обладающих скоростями в окрестности  размерами  в пространстве скоростей, подчиняется выражению:

где  — масса молекулы,  — температура газа,  — постоянная Больцмана, которая связывает среднюю кинетическую энергию молекулы с температурой, . Важно, что распределение Максвелла справедливо не только для идеальных систем, где частицы взаимодействуют только во время редких и коротких соударений, но и для неидеальных газов, в которых существенно взаимодействие между частицами. По этой причине постоянная Больцмана является универсальной константой, переводящей температурные единицы в энергетические.

С математической точки зрения распределение Максвелла является гауссовым, или нормальным распределением; наибольшая концентрация частиц в пространстве скоростей имеет место в точке , т.е. где частицы покоятся. Однако если задаться вопросом, сколько частиц обладает модулем скорости от  до , то окажется, что наиболее вероятная скорость уже не нулевая. Распределение по  имеет вид:

и изображено на рисунке справа. Из него также следует, что температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул:

Однако не стоит путать понятия средней кинетической энергии и температуры: например, в вырожденных системах они не равны. В частности, в металле средняя кинетическая энергия свободных электронов имеет порядок  даже при комнатных температурах .

Экспериментальному подтверждению и визуализации распределения молекул газа по скоростям и был посвящен опыт Отто Штерна (1888–1969). Это еще один красивый опыт, позволявший в прямом смысле слова «начертить» график этого распределения на экспериментальной установке. Установка Штерна состояла из двух вращающихся полых цилиндров с совпадающими осями (см. рис. справа; большой цилиндр нарисован не полностью). Во внутреннем цилиндре, прямо по его оси была протянута серебряная нить 1, по которой пропускался ток, что приводило к ее нагреванию, частичному плавлению и последующему испарению атомов серебра с ее поверхности. В результате внутренний цилиндр, в котором изначально был вакуум, постепенно заполнялся газообразным серебром малой концентрации. Во внутреннем цилиндре, как показано на рисунке, была проделана тонкая щель 2, поэтому большая часть атомов серебра, долетая до цилиндра, оседала на нем. Малая же часть атомов проходила сквозь щель и попадала во внешний цилиндр, в котором поддерживался вакуум. Здесь эти атомы уже не сталкивались с другими атомами и поэтому двигались в радиальном направлении с постоянной скоростью, достигая внешнего цилиндра через время, обратное пропорциональное этой скорости:

где  — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров, а  — радиальная компонента скорости частицы. В результате с течением времени на внешнем цилиндре 3 возникал слой серебряного напыления. В случае покоящихся цилиндров этот слой имел вид полоски, расположенной точно напротив щели во внутреннем цилиндре. Но если цилиндры вращались с одинаковой угловой скоростью , то за время достижения молекулой внешнего цилиндра последний уже сдвигался на расстояние

по сравнению с точкой, стоящей прямо напротив щели (т.е. той точкой, на которую оседали частицы в случае неподвижных цилиндров). Как видим, частицы с различными значениями радиальной компоненты скорости порождают смещенные друг относительно друга полосы напыления на внешнем цилиндре. В результате на последнем действительно «рисуется» распределение атомов газообразного серебра по одной из проекций их скоростей, а именно по радиальной компоненте в точке пролета сквозь щель. Это распределение, как выяснилось, и совпадает с распределением Максвелла.

Важно отметить, что описанная выше схема эксперимента является крайне упрощенной: на самом деле для успешного наблюдения распределения по скоростям необходимо выполнить технически непростые требования. Действительно, распределение Максвелла имеет место только для систем многих частиц, находящихся в термодинамическом равновесии. Это равновесие, в частности, достигается за счет столкновений между частицами, которых должно быть достаточно много, а именно длина свободного пробега частиц должна быть гораздо меньше линейных размеров сосуда, в который помещен газ. В противном случае состояние газа в сосуде называют вакуумным (не путать с физическим вакуумом в квантовой теории поля). В нашем случае, поскольку мы хотим измерять распределение по скоростям атомов серебра при температуре накала нити, необходимо, чтобы во внутреннем цилиндре был газ из этих атомов с концентрацией, существенно превышающей вакуумное значение.

С другой стороны, вылетевшие из внутреннего цилиндра атомы серебра должны долететь до стенки внешнего равномерно и прямолинейно, не испытав по пути никаких столкновений — так что во внешнем цилиндре уже должен поддерживаться вакуум. Но, казалось бы, вытекание серебряного пара сквозь щель сравняет давления во внутреннем и внешнем цилиндрах. Это действительно так — для макроскопических щелей. Щели, через которые в единицу времени проходит малое число атомов серебра, не создают макроскопический поток газа и поэтому не приводят к выравниванию давлений. Именно такую щель (и концентрацию газа во внутреннем сосуде) надо подобрать, чтобы обеспечить возможность измерения желаемого распределения по скоростям.

Кроме описанных выше, фундаментальных требований к эксперименту, в нем должны были быть выполнены и другие требования. В частности, цилиндры охлаждали, чтобы молекулы серебра сразу приставали к их поверхности, а не отскакивали. Это также приводило к тому, что газ во внутреннем цилиндре не начинал вращаться вместе с последним: атомы серебра, коснувшиеся цилиндра, так и оставались на нем, а не отдавали полученный при столкновении момент импульса всему газу. По этой же причине охлажденные цилиндры практически не охлаждали серебряный пар. А чтобы окончательно сделать малыми эффекты трения газа о вращающийся цилиндр и их теплообмена, из внутреннего цилиндра газ постоянно откачивался. В результате его наполнял лишь газ, только что испарившийся с поверхности нити накала и не успевший охладиться или начать вращаться.

Опыт Штерна являлся одним из немногих опытов, позволявших напрямую исследовать само статистическое распределение, а не его т.н. моменты, являющиеся средними значениями от произведений компонент скоростей молекул газа по этому распределению. Поскольку распределение Максвелла и более общее каноническое распределение Гиббса, из которого оно следует, являются фундаментальными в статистической физике, таким же фундаментальным является и опыт Штерна, подтвердивший их.

<<К предыдущему эксперименту  |  Молекулярная и статистическая физика  |  К следующему эксперименту>>