Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Наблюдение спинового эха в статистических системах — реализация парадокса Лошмидта

Прежде чем обсуждать явление спинового эха, напомним, что представляет из себя парадокс Лошмидта. Этот парадокс возникает в связи с существованием необратимых процессов в термодинамике. В механике движение частиц определяется уравнениями движения, которые в случае консервативной системы обратимы во времени. Например, для пары частиц, связанных упругой пружинкой жесткостью ,

где  — номер частицы, а  — потенциальная энергия деформации пружины,  — ее недеформированная длина. Очевидно, если заменить знак времени на обратный, ускорения  не изменятся, поэтому уравнения останутся верными.

По-другому обстоит дело в термодинамике: хотя она изучает, в основном, квазистатические процессы и время входит в уравнения только параметрически, второе начало термодинамики говорит, что изменение полной энтропии замкнутой системы неотрицательно:

Более того, в не квазистатических процессах энтропия может возрастать. А это, поскольку энтропия является функцией равновесного термодинамического состояния, говорит о недостижимость исходного состояния после протекания такого необратимого процесса. Тем не менее, никаких механических запретов возвращения в это состояние нет: поскольку система замкнутая, достаточно «расставить» молекулы так, как они стояли до необратимого процесса. Однако если термодинамическая система эргодична (как обычно и предполагается), она должна реализовывать все свои разрешенные механиков микросостояния с одинаковой вероятностью, в том числе и те, которые были превалирующими в начале эксперимента. В итоге получается, что возвращение термодинамической системы в исходное состояние не запрещено, а маловероятно (т.к. число частиц велико). Более того, после этого возвращения система должна снова претерпеть макроскопически наблюдаемый необратимый переход.

Часто рассматриваемым примером необратимого перехода в замкнутой системе является расширение идеального газа в пустоту. Данный процесс наблюдался еще Гей‑Люссаком, однако он не смог дать ему объяснение. Рассмотрим прямоугольный сосуд объема , разделенный перегородкой на две герметичные половинки, одна из которых заполнена одним молем идеального газа при давлении . В другой половине в начале эксперимента был вакуум. Если резко убрать перегородку, то молекулы газа благодаря хаотическому движению быстро заполнят объем . Такое расширение газа отличается от обратимого расширения тем, что в нашем случае газ не толкает поршень, т.е. не совершает работы. С другой стороны, если оболочка системы адиабатическая, то , поэтому внутренняя энергия газа тоже не изменилась:

Для идеального газа внутренняя энергия пропорциональна температуре, поэтому температуры газа до и после расширения одинаковы. Температуры для этих двух состояний определены, поскольку они являются равновесными. С другой стороны, в момент заполнения газом второй половины сосуда система является неравновесной и сильно неоднородной, поэтому формула  к ней неприменима. Тем не менее, изменение энтропии в результате неравновесного расширения легко считается c использованием формулы для энтропии идеального газа:

где  — молярная газовая постоянная,  — постоянная Больцмана,  — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Рассмотрим теперь вероятность  возвращения системы в состояние 1, когда все молекулы находятся в левой половине сосуда. Для одной молекулы вероятность попадания в нее равна , поэтому для всех  молекул — . Эта вероятность связана с изменением энтропии формулой Больцмана–Планка:

Здесь  — число микросостояний, реализующих данное равновесное термодинамическое состояние.

Таким образом, мы убедились в том, что вероятность возвращения в данное состояние экспоненциально мала. Однако положение о необратимости встречает более серьезное возражение, которое и называется парадоксом Лошмидта. Как видно из механических уравнений движения для частиц газа, для каждого их решения , соответствующего необратимой эволюции термодинамической системы, существует решение вида , которое, следовательно, должно описывать эволюцию системы с возрастающей энтропией. Более того, данное соответствие взаимно-однозначно, т.е. таких траекторий «поровну»  почему же мы не наблюдаем второй тип поведения в термодинамических системах? Этот парадокс был выдвинут Иоганном Йозефон Лошмидтом (1821–1895) как возражение против кинетической теории Людвига Больцмана, который, вопреки наивным попыткам его опровержения, «вывел» из механики кинетические уравнения, дающие необратимое поведение систем большого числа частиц (см. кинетическое уравнение Больцмана, Н-теорема Больцмана, 1872).

Ситуация еще более осложняется доказанной Анри Пуанкаре (1854–1912) теоремой о возвращении (1890): из уравнений движения следует, что термодинамическая система должна (за экспоненциально большое время) вернуться сколь угодно малую окрестность начального состояния. Таким образом, перед самым возвращением она должна пройти путь понижения энтропии.

Современное разрешение парадокса Лошмидта основывается на нескольких процедурах. Одно из решений состоит в корректном введении термодинамических величин при переходе от механического рассмотрения — так называемая «процедура огрубления» (Боголюбов). Есть также модели, в которых к необратимости приводит взаимодействие молекул газа со стенками. Наконец, в 1990‑х годах была доказана флуктуационная теорема (Эванс, Коэн, Моррисс), являющаяся обобщением полученной нами экспоненциально малой оценки для вероятности возвращения системы в исходное состояние. А именно, отношение вероятности убывания энтропии в момент времени  к вероятности ее возрастания в этот момент экспоненциально мало по .


Эрвин Хан
Несмотря на указанные методы разрешения парадокса Лошмидта вопрос о самосогласованном его разрешении, т.е. о конкретной, применимой к реальным системам модели необратимости, остается открытым. Более того, существует система, в которой действительно наблюдаются «возвращения». Ее существование ни в коей мере не опровергает термодинамику — однако заставляет задуматься о причинах ее экстраординарных свойств. Спиновое эхо в системах с ядерным магнитным резонансом было открыто в 1950 году американским физиком Эрвином Ханом (род. 1921). Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) является обобщением ларморовой прецессии (см. раздел, посвященный эффекту Фарадея) для систем со спином: спин частиц  прецессирует вокруг направления приложенного однородного магнитного поля , удовлетворяя уравнению из ньютоновской механики:

Здесь магнитный момент частицы ,  — гиромагнитное соотношение, а  — момент сил, действующих на магнитный диполь в магнитном поле. Из данного уравнения видно, что частота прецессии равна

Если поле  направлено вдоль вертикальной оси , то конец вектора магнитного момента  описывает окружности в горизонтальной плоскости, параллельной :

В результате гармонические колебания этого момента вдоль оси  будут испытывать резонанс при взаимодействии с линейно поляризованным вдоль  магнитным полем с частотой :

Действительно, если перейти в систему отсчета, вращающуюся со скоростью  вокруг вертикальной оси, то в этой системе отсчета ядерный магнитный момент постоянен, а поле  содержит одну статическую компоненту и одну компоненту с частотой  (считаем далее, что ):

Резонансное взаимодействие с постоянной компонентой  также приводит к прецессии — но теперь уже вокруг оси  вращающейся системы отсчета.


Для наблюдения эффекта спинового эха образец, содержащий атомы с ядрами ненулевого спина, помещается в постоянное поле . Анимация выше демонстрирует явление в системе отсчета, вращающейся с ларморовской частотой  вокруг оси , а ниже изображены характерные этапы развития эффекта (A–F). Вначале (рис. A) спины атомов сориентированы по полю, что является самой энергетически выгодной конфигурацией. Далее резонансное поле , направленное из экрана, включается на время , что приводит к повороту спинов вокруг оси  на угол  (рис. B). Спины оказываются в экваториальной плоскости, где начинается потеря их когерентности (рис. C). Эта потеря связана с неоднородностями локальных магнитных полей, спин-спиновому взаимодействием, температурными эффектами и т.п. и с точки зрения термодинамики является необратимым переходом. Действительно, по прошествии большого времени  спины хаотично распределены в экваториальной плоскости. То, что они не выходят в другие плоскости, связано с сохранением энергии в постоянном поле, из которого следует сохранение проекции . Однако если на перешедшую к хаосу систему подействовать резонансным импульсом поля  удвоенной длительности , все (!) спины повернутся вокруг оси  на угол, равный  (рис. D). Другими словами, спины развернутся и станут противоположными, независимо от истории их хаотического блуждания по экваториальной плоскости. Это есть аналог желанной процедуры мгновенного обращения скоростей всех молекул газа — и она действительно приводит к обращению эволюции (рис. E)! Действительно, через время  после подачи разворачивающего импульса все спины снова возвращаются в состояние упорядоченности. Поскольку это состояние в покоящейся системе отсчета соответствует ядерным магнитным моментам, синхронно прецессирующим вокруг оси  с максимальной амплитудой, создаваемое ими магнитное поле с частотой  наводит в индукционной катушке ток, который изображен на графике всплеском (рис. F).

Эффект спинового эха явно призывает к обсуждению границ класса статистических систем и процессов в них, для которых обращение скоростей неосуществимо и отклонения от второго начала термодинамики не просто маловероятны, но и нефизичны. В случае спинового эха элегантная процедура подачи короткого резонансного импульса обращающего поля действительно позволяет вернуть систему в маловероятное состояние с высокой степенью упорядоченности по прошествии большого времени после утери порядка.

<<К предыдущему эксперименту  |  Молекулярная и статистическая физика  |  К следующему эксперименту>>