Открытие белых карликов. Принцип запрета Паули и предел Чандрасекхара

Еще одной макроскопической квантовой системой, наблюдаемой в природе, являются белые карлики. Это звезды с массой, примерно равной солнечной, но радиусом в сотни раз меньше Солнца (т.е. размерами с Землю или даже меньше). Плотность внутри белого карлика такова, что один кубический сантиметр его вещества весит тонн. Таким образом, плотность белого карлика находится в промежутке между атомной и ядерной плотностью:

Исторически первый белый карлик был открыт в системе Сириуса в 1862 году Альваном Грэхэмом Кларком, через 18 лет после того, как Фридрих Бессель предсказал его существование по периодическим искажениям орбиты Сириуса (см.рис. справа). Спектральные характеристики открытого Сириуса B говорили о высокой температуре его поверхности, но, в то же время, он обладал аномально малой светимостью, откуда следовало, что эта поверхность имеет очень малую площадь.

Из-за гигантской плотности внутри карлика не существует атомно-молекулярной материи, а вместо нее существует только электронно-ядерная плазма. Обычную звезду удерживает от гравитационного коллапса давление ее вещества и света, исходящего из ядра; давление возникает благодаря высокой плотности и температуре звездного вещества. Температура звезды, в свою очередь, обеспечивается постоянным протеканием в ее ядре ядерных реакций. Однако эта энергия постоянно излучается звездой в окружающее пространство, поэтому за миллиарды лет эволюции постепенно истощается, и звезда начинает сжиматься. Белый карлик представляет собой результат такого сжатия. Оказывается, дальнейшее сжатие и охлаждение белого карлика не описывается с помощью классических представлений. Одним из важных свойств, которое никак не может объяснить классическая теория, является отсутствие белых карликов с массой больше примерно 1.4 солнечной.

Это наблюдаемое положение дел было объяснено индийским астрофизиком Субраманьяном Чандрасекхаром (1910–1995) на основе квантовых представлений. Действительно, электроны внутри белого карлика образуют вырожденный квантовый ферми-газ. Причина этого заключается в квантовой тождественности электронов и подчинении их принципу запрета Паули: в одном квантовом состоянии не может одновременно находиться более одного электрона. Этот принцип имеет отношение к системам тождественных частиц с полуцелым спином, которыми являются электроны, протоны, нейтроны и др. Как следствие, электроны противостоят сжатию их в одну точку, поэтому оказывают дополнительное, квантовое давление на белый карлик, тормозящее его сжатие.

Чтобы понять суть эффекта, рассмотрим нерелятивистские электроны в объеме при нулевой абсолютной температуре, пренебрегая их кулоновским взаимодействием. При абсолютном нуле они будут стремиться занять состояния с наименьшей энергией , где  — импульс электрона. В классической статистической физике все они собрались бы в состоянии с нулевым импульсом — но в квантовом случае это запрещено принципом Паули. В результате электронам остается собраться внутри шара в трехмерном импульсном пространстве. Поверхность этого шара называется сферой Ферми. Чтобы посчитать количество состояний в этом шаре, необходимо учесть, что квантовое состояние электрона в конечном объеме характеризуется квантованным импульсом и проекцией спина:

Из этих соображений нетрудно подсчитать, что под сферой Ферми находится

квантовых состояний — и все они должны быть заполнены электронами. В результате мы получаем зависимость импульса Ферми от концентрации электронов:

Полная внутренняя энергия такого идеального вырожденного ферми-газа будет равна сумме энергий всех электронов и может быть также легко вычислена:

Мы получили удивительный результат: внутренняя энергия идеального газа при абсолютном нуле температуры не равна нулю, более того, в нем наличествуют частицы с ненулевым импульсом. «Движение» этих частиц не является тепловым, а имеет квантовую природу. Между прочим, за вырожденным квантовым ферми-газом не надо далеко ходить: при температурах порядка комнатной электронный газ в металлах является вырожденным.

Внутри белого карлика физическая ситуация оказывается гораздо сложнее: электроны находятся в сильном гравитационном поле при ненулевой температуре (даже поверхность карлика имеет температуру в несколько десятков тысяч кельвин). Однако если посчитать температуру вырождения , при которой энергия теплового движения достигнет энергии Ферми , т.е. начнет ее размывать сферу Ферми, то получится:

Таким образом, газ внутри белого карлика сильно вырожден — практически как при абсолютном нуле температуры. В результате он оказывает изнутри существенное противостояние сжатию; давление нерелятивистского вырожденного ферми-газа равно

Оказывается, тем не менее, что вырождение электронов не может полностью остановить сжатие звезды: в ней еще есть ядерная материя, не состоящая из тождественных ферми-частиц и описывающаяся другим уравнением состояния. Оказывается, критической точкой, за которой гравитационное сжатие белого карлика уже не может быть остановлено давлением вырожденного электронного газа внутри него, и является предел Чандрасекхара

Звезды с массами больше этого предела просто не проживают долго на стадии белого карлика: обычно они взрываются в форме сверхновой. Более того, известны двойные звездные системы, в которых одна звезда — белый карлик — своей гравитацией «снимает стружку» со второй звезды и стягивает ее вещество на себя. Этот процесс называется аккрецией. Если при этом масса белого карлика близка к чандрасекхаровской, в результате аккреции критическая точка может быть пройдена — и тогда белый карлик взрывается.

Аналогичный механизм имеет место в случае еще более плотных нейтронных звезд, плотность которых больше ядерной. В этих звездах электроны с протонами порождают нейтроны, поэтому большую часть вещества нейтронной звезды составляют именно нейтроны. Последние, также как и электроны, обладают спином , поэтому образуют вырожденную нейтронную ферми-жидкость. Нейтронная звезда как целое представляет собой огромное атомное ядро, состоящее только из нейтронов. Эти нейтроны удерживаются от бета-распада сильной гравитацией. Сейчас ученые также предполагают существование кварковых звезд, в которых плотность поднимается до плотности адронов, и отдельные нейтроны внутри такой звезды уже не существуют.

<<К предыдущему эксперименту  |  Квантовая теория  |  К следующему эксперименту>>