Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Опыт Дэвиссона–Джермера по дифракции электронов. Гипотеза де Бройля. Копускулярно-волновой дуализм

Квантовая механика возникла в XX веке, по сути дела, из так называемой оптомеханической аналогии. Действительно, распространение световых волн в оптике описывается волновым уравнением, которое в приближении геометрической оптики (когда можно использовать понятие тонкого светового луча) сводится к вариационному принципу Ферма. Этот принцип был сформулирован Пьером Ферма в 1662 году и гласит, что луч света между двумя заданными точками A и B распространяется по траектории минимальной оптической длины. Оптическая длина пути определяется интегралом вдоль траектории луча:

иными словами, на 1см пути сквозь вещество с показателем преломления приходится см оптического пути. Это приближение справедливо для волн достаточно малой длины, например, для света, проходящего через бинокль. Для распространения звука по коридору такое приближение работает плохо: длина волны звуковых волн не сильно меньше ширины коридора, и он распространяется как бы по нескольким траекториям одновременно, после чего вклады всех траекторий складываются (интерферируют).

С другой стороны, движение частиц в механике описывается уравнениями, в которые входят сила и координата частицы:

В случае стационарных потенциальных сил существует потенциал , такой, что сила выражается через его производные по координатам (градиент):

Как видим, в этом случае сила не должна зависеть ни от скорости, ни явно от времени. Еще в 1744 году математик Пьер Луи де Мопертюи указал на то, что задача Ньютона с такими силами может быть переформулирована в виде вариационного принципа наименьшего действия, аналогичного принципу Ферма: частица в потенциальном поле из точки A в точку В движется по такой траектории, для которой действие

минимально. Здесь  — сохраняющаяся полная энергия частицы, являющаяся функцией начального положения частицы и начальной скорости. В случае однородной среды или постоянного потенциала из вариационных принципов Ферма и Мопертюи вытекает прямолинейное распространение лучей света и материальных частиц. Действительно, легко показать, что отрезок прямой — это наикратчайший пути из одного его конца в другой.

Аналогия между основными принципами, определяющими распространение волн в приближении геометрической оптики и движение частиц, заставляет задуматься о том, что, возможно, аналогия эта имеет и физический, а не только математический характер. Более того, встает конкретный вопрос: поскольку известно, что принцип Ферма может быть выведен из волнового уравнения, то существует ли волновое уравнение, из которого будет в пределе малых длин волн следовать принцип Мопертюи?

Это уравнение было получено в 1924 году Эрвином Шредингером. Мы обратимся к его рассмотрению позже, а сейчас остановимся на более простых следствиях оптомеханической аналогии. Во-первых, под интегралом для механического действия стоит не что иное, как импульс частицы . В интеграле же Ферма стоит показатель преломления , где  — волновое число, а  — частота света, которая, как и энергия частицы, считается фиксированной. Поэтому естественно предположить, что эти две величины пропорциональны друг другу:

Аналогично можно получить связь между энергией частицы и частотой волны, которую часто называют формулой Планка:

Необходимо, все же, заметить, что у Планка смысл этой формулы состоит в квантовании энергии осциллятора частоты порциями , т.е.  — частота колебаний самой частицы, а не соответствующей ей «волны материи». В случае же оптомеханической аналогии речь идет именно о частоте волны материи. Коэффициент пропорциональности в этх двух формулах, как нетрудно показать, одинаков. Его называют постоянной Планка:

Подпись:  
Луи де
Бройль
Корпускулярно-волновой дуализм был выражен в гипотезе, предложенной Луи де Бройлем в 1924 году: каждой микроскопической точечной частице с импульсом и энергией соответствует волна с волновым вектором и частотой ,


Смысл слова «соответствует», так же как и природа волны была не прояснена. Также не было объяснено, как должна выглядеть волна, соответствующая частице, находящейся в потенциальном поле, когда импульс начинает зависеть от координаты. Тем не менее, ожидалось, что такие волны должны интерферировать и поэтому можно проводить соответствующие опыты.

Опыт по дифракции электронов и был поставлен Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером тремя годами позже, т.е. в 1927 году. В качестве дифракционной решетки использовалась атомная кристаллическая решетка монокристалла никеля (см. рис. ниже).

На спиленный под углом монокристалл направлялся пучок электронов, разогнанный в электронной пушке G до определенной энергии: с точки зрения де Бройля, такие частицы должны были обладать определенным импульсом, а, следовательно, определенной длиной волны. Для частиц, пролетевших разность потенциалов кинетическая энергия равна , так что длина волны

После выхода из никелевого кристалла интенсивность пучка под углом  измерялась с помощью цилиндра Фарадея C. Последний, по сути дела, есть металлический анод, к которому подключается источник ЭДС и последовательно с источником — амперметр. Все электроны, падающие на цилиндр, поглощаются им и посылаются ЭДС источника через амперметр, который фиксирует их количество в единицу времени. В итоге измеряется поток падающих на цилиндр электронов.

Опыт показал наличие пиков на угловой зависимости потока электронов от угла дифракции , аналогичное дифракционным пикам для световых волн. Дифракционные максимумы приходились на те углы рассеяния, для которых между электронами, отразившимися от соседних кристаллических плоскостей в кристалле никеля, было целое число длин волн (условие Брэгга–Вульфа):

где расстояние между плоскостями  — это не что иное, как период кристаллической решетки. Для никеля эта величина составляет 4 ангстрема. В опыте Дэвиссона–Джермера электроны разгонялись в потенциале порядка , тогда их длины волн имеют порядок одного-двух ангстрем, и дифракционные минимумы и максимумы ясно различимы.

Изменяя напряжение между катодом и анодом электронной пушки, Дэвиссон и Джермер наблюдали сдвиги интерференционной картины, что свидетельствовало об изменении длины волны пучка падающих электронов. Это изменение оказалось в полном соответствии с гипотезой де Бройля. В итоге де Бройлю была присуждена Нобелевская премия 1929 года по физике за предсказание волн материи, а Дэвиссону — премия 1937 года за открытие волн материи.

<<К предыдущему эксперименту  |  Квантовая теория  |  К следующему эксперименту>>