Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Эксперименты по наблюдению спектра излучения абсолютно черного тела (АЧТ). Закон Кирхгоффа. Асимптотики спектра и УФ–катастрофа. Формула Планка и первая идея о квантовании

Прежде всего отметим, что абсолютно черное тело не является черным на вид; в частности солнце в хорошем приближении является абсолютно черным телом. Тем не менее, использование термина «черный» является достаточно обоснованным. Действительно, мы привыкли называть желтыми тела, хорошо отражающими желтую часть видимой части спектра, красными — красную. Черными мы называем тела, почти не отражающие свет — а в темноте тела только кажутся черными. Именно указанное свойство и называется в физике чернотой: абсолютно черное тело поглощает весь свет, падающий на него. Черным на вид это тело не кажется, поскольку от него исходит тепловое излучение.

Исследования излучения нагретых тел, по сути дела, начались еще в древности: кузнецы знали, что о большей температуре нагрева железного клинка говорит более яркий и бесцветный оттенок его свечения. Отсюда пришли в обыденную жизнь термины «красное» и «белое каление». На самом деле, как известно, при нагревании тела начинают излучать и желтые, и зеленые компоненты спектра, но они, складываясь с красными, создают ощущение бесцветности излучения. Лишь при очень высоких температурах, порядка десятков тысяч градусов, красный конец спектра тускнеет, и кажущийся цвет разогретого вещества становится голубым и даже фиолетовым.

В начале XIX века английский физик Джон Лесли (1766–1832) использовал так называемый куб Лесли, чтобы сравнивать излучательную способность различных тел. Грани этого куба, в который наливалась горячая вода контролируемой температуры, были сделаны из различных металлов: золота, меди, латуни и т.д. Кроме того, одна грань была покрыта сажей. К этому кубу подносился детектор теплового излучения (см. рис.), который превращал его энергию в энергию электрического тока. Оказалось, что тепловое излучение абсолютно черной сажи было наиболее сильным. На первый взгляд это противоречит здравому смыслу, но, с другой стороны, сажа не отражает падающий на нее свет, а преобразует во внутреннюю энергию, которая потом отдается в виде теплового излучения — поэтому неудивительно, что последнее является наиболее мощным.

Поскольку экспериментальное исследование спектра и мощности излучения черного тела было достаточно доступным, за первую половину XIX века накопилось достаточно большое количество эмпирических данных, которые необходимо было осмыслить теоретически. В середине XIX века Густав Кирхгоф (1824–1887) вывел фундаментальный закон, которому должно удовлетворять распределение равновесного излучения АЧТ по частотам. А именно, это распределение не зависит от материала, из которого сделано тело, а только от его температуры. Равновесное состояние, в котором, кстати, только и возможно ввести понятие температуры, достигается, если поместить АЧТ в термостат, который будет обмениваться с ним теплом в виде излучения. Равновесие АЧТ и термостата будет достигнуто, когда в единицу времени каждый квадратный сантиметр поверхности тела будет излучать ровно столько же энергии, сколько поглощать (причем в каждом выделенном направлении и в каждом спектральном интервале). Последнее условие называется принципом детального равновесия. Итак, согласно закону Кирхгофа существует фундаментальная функция, описывающая спектральную светимость излучения АЧТ:

где  — энергия в диапазоне частот , излученная элементом поверхности тела за время . Используя условие детального равновесия, нетрудно получить связь светимости с плотностью энергии излучения АЧТ:

где новая функция описывает, сколько лучистой энергии в диапазоне приходится на пространства, окружающего черное тело.

В силу законов Кирхгофа вопрос оставался в самой зависимости спектра излучения АЧТ от частоты и температуры, которая должна была содержать только фундаментальные константы. В этом направлении почти на полвека наступила эра экспериментальных исследований и попыток подгонки под них эмпирических формул.

Чистое теоретическое исследование вопроса об излучении АЧТ наталкивалось на существенную проблему. В статистической физике благодаря исследованиям Максвелла и Больцмана утвердился закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Согласно этому закону на каждую поступательную степень свободы в состоянии термодинамического равновесия приходится ровно энергии, а на каждую (гармоническую) колебательную — . Этот факт с легкостью выводится из так называемого распределения Максвелла–Больцмана, утверждающего, что вероятность заполнения состояния с энергией пропорциональна больцмановскому фактору в равновесном состоянии с температурой . Электромагнитное поле разлагается в бесконечный набор гармонических осцилляторов, поэтому имеет бесконечное число степеней свободы. Казалось бы, считая, что на каждый из них приходится по лучистой энергии, мы бы пришли к формуле для плотности энергии излучения АЧТ. Так и поступили Рэлей (Джон Вильям Стратт 1842–1919) и Джеймс Хопвуд Джинс (1877–1946), заметив, что в объеме и диапазоне частот лежит

электромагнитных степеней свободы. Придав каждой из них энергию , мы приходим к равновесной плотности

В результате оказывается, что на ультрафиолетовую область приходится бесконечно большая лучистая энергия — так называемая ультрафиолетовая (УФ-) катастрофа. Формула Рэлея–Джинса, тем не менее, достаточно хорошо описывала низкочастотную часть спектра абсолютно черного тела.


Макс Планк

Следующим шагом в развитии теории излучения АЧТ был закон излучения Вильгельма Вина (1864–1928), который он вывел в 1892 году. Согласно этому закону плотность излучения должна иметь вид:

где  — некоторая универсальная функция. Эта формула уже позволяла судить об изменении интенсивности спектральной зависимости при изменении температуры. Например, если тело нагреть в два раза, то точно та же, с точностью до множителя , спектральная зависимость будет иметь место уже на удвоенных частотах. Другими словами, график зависимости обладает определенными свойствами подобия. Данный закон также называют законом смещения Вина: при увеличении температуры форма графика спектральной плотности не меняется, а сам график перемещается в сторону более высоких частот пропорционально температуре.

Четырьмя годами позже, в 1896 году, на основе дополнительных предположений Вин вывел и другой закон излучения, который, как оказалось, описывает высокочастотную асимптотику плотности энергии излучения:

где  — некоторые константы.

Итак, достаточно хорошая аппроксимация спектральной кривой была получена — оставалось найти формулу, из которой следовали бы и закон Вина, и закон Рэлея–Джинса — а также подкрепить ее некоторой теорией. Последняя, по всей видимости, должна была быть фундаментальной, поскольку использование чисто классической физики неизбежно приводило к ультрафиолетовой катастрофе. Новую теорию создал в 1900 году Макс Карл Эрнст Людвиг Планк (1858–1947), предположивший, что составляющие черное тело молекулярные осцилляторы, обменивающиеся энергией с окружающим пространством через процессы излучения и поглощения, могут иметь не произвольную энергию, а энергию, пропорциональную :

где  — частота осциллятора, а  — постоянная Планка (квант действия). Это, конечно же, было смелой гипотезой, ведь в классической физике энергия может изменяться только непрерывно, так же как и координаты частицы. Важно отметить, что Планк не предполагал, что такой же «квантованной» может быть и энергия электромагнитного поля — это, еще более смелое предположение сделал несколькими годами позже Эйнштейн, развивая свою теорию фотоэффекта. Для Планка было вполне достаточным, что в процессах излучения и поглощения света энергия передается порциями по . Данный постулат приводил к другому видению степеней свободы абсолютно черного тела: теперь осциллятор заданной частоты вместо классической колебательной имел квантовую, дискретную степень свободы Согласно распределению Максвелла–Больцмана при температуре осциллятор находится в состоянии с заданным с вероятностью

где константа введена, чтобы сумма всех вероятностей была равна единице. С использованием формулы для суммы геометрической прогрессии она легко вычисляется, и мы получаем:

Отсюда средняя энергия, приходящаяся на квантованный осциллятор с частотой ,

В низкочастотном пределе эта формула дает классическое среднее , а при высоких частотах не подвержена ультрафиолетовой катастрофе. Последнее достаточно легко объяснить: благодаря квантованию нельзя излучить частичку высокочастотного фотона — необходимо «собрать энергии» на целый фотон. Вероятность такого события по Больцману пропорциональна  — отсюда и возникает экспоненциальное подавление в формуле для средней энергии.

Наконец, подставив среднюю энергию на одну степень свободы в формулу для числа степеней свободы из формулы Рэлея–Джинса, мы получаем модификацию последней — формулу Планка:

Вид кривой, полученный Планком и блестяще совпавший с экспериментальными данными, изображен на рисунке ниже. В нем каждая кривая соответствует определенной температуре черного тела, а по оси абсцисс откладываются длины волн, а не частоты. Как видим, кривая имеет ярко выраженный пик и резкое спадание при малых длинах волн (высоких частотах).

1900‑й год принято считать годом рождения квантовой теории, а Планка — ее прародителем. Тем не менее, эта теория возникла в недрах статистической физики, а не механики или оптики, как можно было бы предположить. Сам Планк, вводя квантование процессов лучистого обмена энергией гармоническими осцилляторами, деликатно не настаивал на фундаментальности этого свойства, как когда-то Коперник не настаивал на истинности своей гелиоцентрической модели Солнечной системы. Коперник подавал свою гипотезу как удобный способ вычислять даты церковных праздников, Планк — как изящный способ избавиться от ультрафиолетовой катастрофы и «сшить» формулы Вина и Рэлея–Джинса. Тем не менее, в который раз оказалось, что изящное, хотя и в некотором смысле сумасшедшее объяснение явлений природы оказывается соответствующим действительности. Кроме того, дальнейшее развитие механики, оптики и теории элементарных частиц подхватило и обогатило идею Планка, превратив ее сначала в концепцию, а затем — в глубокую теорию, образующую современную физическую картину мира.

<<К предыдущему эксперименту  |  Квантовая теория  |  К следующему эксперименту>>