Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Открытие дифракции рентгеновских лучей М. фон Лауэ

Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах была открыта Максом Теодором Феликсом фон Лауэ (1879–1960) в 1912 году вместе с двумя его студентами В. Фридрихом и П. Книппингом. Она является основой для рентгеноструктурного анализа, используемого для изучения структуры вещества на сверхмалых расстояниях. Рентгеновские лучи имеют длины волн  (), в то время как расстояния между атомами кристаллической решетки имеют порядок одного ангстрема. Поскольку, в отличие от видимого света, эти расстояния могут оказаться примерно одного порядка, для рентгеновских лучей с  кристалл может служить трехмерной дифракционной решеткой. Видимый же свет не замечает периодические пространственные  неоднородности в его структуре, поскольку они по масштабам существенно меньше его длины волны.

Теорию рассеяния света на трехмерной пространственно-периодической структуре, которую представляет из себя кристалл, предложил Вильям Лоуренс Брэгг (1890–1971). Согласно этой теории свет отражается от кристаллических плоскостей, при этом происходит явление, аналогичное интерференции на тонких пленках: разность хода между лучами, отразившимися от соседних плоскостей, должна быть кратной длине волны излучения. Мы приведем здесь альтернативный — непростой, но фундаментальный — вывод основного закона дифракции Брэгга.

Для этого запишем выражение для рассеянной кристаллом волны, считая, что процесс рассеяния достаточно слаб, чтобы можно было не учитывать дважды рассеянные на ионах волны. В этом случае, считая, что рассеивающие центры расположены в пространстве периодически с периодами , а именно в точках

мы в первом приближении будем считать, что волна, рассеянная -ым центром, пропорциональна падающей, а ее фаза складывается с фазой падающей волны. Если на кристалл падала плоская монохроматическая волна , то сумма рассеянных каждым из ионов сферических волн имеет вид:

где  — направление падающего излучения, а коэффициент  описывает амплитуду рассеяния при единичной амплитуде падающей волны. Выражение  есть не что иное, как сферическая волна, расходящаяся от центра рассеяния . Теперь если рассмотреть рассеянную волну в области, удаленной от кристалла, , то здесь

,

где  — направляющий вектор в точку наблюдения, а . Поэтому выражение для рассеянной волны приводится к виду

Дифракционные максимумы достигаются тогда, когда все слагаемые суммы находятся в фазе. Другими словами, разность фаз между слагаемыми для соседних значений , а также  и , должна быть кратна . Записывая волновой вектор как , мы приходим к условиям дифракционного максимума — уравнениям Лауэ:

В отличие от случая двумерной кристаллической решетки, теперь для каждого набора целых чисел  мы имеем три уравнения на единичный вектор , задающий направление на максимум. Но единичный вектор задается всего лишь двумя полярными углами, поэтому наша система уравнений оказывается избыточной! Это определяет вид дифракционной картины в рентгеновских лучах: даже при непрерывном их спектре (т.е. варьируемом ) она содержит множество отдельных точек на общем черном фоне. Никаких дифракционных полос не наблюдается (см. рис. ниже).


Типичный вид дифракционной картины при рассеянии
рентгеновского излучения на неподвижном кристалле

Система уравнений Лауэ достаточно нетривиальна в общем случае, однако есть простой подход, позволяющий получать из нее дифракционные максимумы. Этот подход основан на понятии о кристаллографических плоскостях — плоскостях, проведенных через три любые, не лежащие на одной прямой кристаллические узла. Такая плоскость из-за периодичности кристалла будет содержать еще строго периодичный бесконечный набор узлов, образующих ячейки в виде параллелограмма со сторонами

где  — некоторые целые числа, характеризующие данную плоскость. С другой стороны, через каждый узел кристалла можно в силу той же периодичности провести ровно одну плоскость, в которой лежат векторы . Это говорит о том, что плоскостями, параллельными данной, можно исчерпать все узлы решетки. Введем вектор, соединяющий две соседние плоскости из этого семейства:

Поскольку, как было только что сказано, любой вектор, принадлежащий решетке, может быть разложен по базису , это справедливо и для исходного базиса :

где  — матрица из целых чисел.

Рассмотрим теперь рентгеновский луч, испытывающий отражение от нашей кристаллографической плоскости по привычному закону: «падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости, а угол падения  равен углу отражения». В этом случае вектор  нормален к кристаллографической плоскости, поэтому

Если же кроме этого будет выполнено условие

тогда, исходя из связи между двумя базисами, уравнения Лауэ на вектор  будут выполнены с порядками максимума

Дополнительное к закону отражения условие, содержащее вектор , нетрудно переписать в более простом виде:

где   расстояние между ближайшими плоскостями рассмотренного семейства. Заметим, что сам вектор  не обязан быть ортогональным к плоскости, содержащей . Записанное условие называется также законом Брэгга–Вульфа и имеет прозрачный физический смысл: разность хода лучей, отраженных от соседних кристаллических плоскостей, должна быть пропорциональна длине волны. Это точно то же условие, которое имело место в случае интерференции света на тонкой пленке. Вообще, упругое рассеяние рентгеновских лучей на кристалле в соответствии с данным законом называют брэгговским рассеянием. Схематически конструктивная и деструктивная интерференция при брэгговском рассеянии изображена на рисунке ниже.

Измерив в эксперименте углы рассеяния , можно получить сведения о расстояниях между соседними  кристаллическими плоскостями из различных семейств, что дает глубокие сведения о кристаллической структуре. Еще более глубокие сведения можно получить, если измерить эти углы для различных положений образца (т.е. различных значений вектора ). В этом заключаются основы рентгеноструктурного анализа, которые были заложены Вильямом Лоуренсом Брэггом и его отцом Вильямом Генри Брэггом. За свои исследования они оба были удостоены Нобелевской премии по физике в 1915 году, вместе с Максом фон Лауэ — за открытие дифракции рентгеновских лучей. Формально премия М. фон Лауэ относилась к 1914 году, но была вручена ему только год спустя.

Интересно, что закон Брэгга–Вульфа был получен только в 1913 году, т.е. после эксперимента Лауэ, так что последний еще не имел теории для обработки полученной им дифракционной картины (см. рис. в середине статьи). Тем не менее, идея об использовании кристалла в качестве дифракционной решетки принадлежала именно Лауэ и была новаторской: попытки обнаружить дифракцию рентгеновских лучей на двумерных решетках не увенчались успехом как из-за малой длины волны излучения, так и из-за его высокой проникающей способности.

Коротко расскажем об эксперименте Лауэ, Фридхиха и Книппинга (см. фото их установки выше). Схема оригинального эксперимента проста: рентгеновское излучение от катодной трубки A направлялось на неподвижный кристалл B, за которым была установлена светочувствительная пластинка C. Тем не менее, чтобы сделать эксперимент осуществимым, необходимо было учесть его технические особенности — тем более что для наблюдения необходимо было подвергать пластинку экспозиции в течение нескольких часов. Во-первых, рентгеновская трубка давала не тонкий пучок рентгеновских лучей: они исходили как от стеклянной колбы, так и от ионизированного воздуха рядом с трубкой. Ставить ее далеко от кристалла было невыгодно: при этом падала мощность пучка. С другой стороны, трубок в диаметром колбы менее 10см в те времена не было. Постановка экрана D с малым отверстием между разрядной трубкой и кристаллическим образцом также сталкивалась с трудностями. Стеклянный экран на малом расстоянии от трубки сильно нагревался и электризовался излучением; свинцовый же экран отражал рентгеновское излучение и поэтому при установке на расстоянии менее 17см от трубки нарушал ее работу.

Маленькая коробочка B, в которой находился образец, была выполнена из свинца; грань, обращенная к падающему лучу, имела входное отверстие диаметром 3мм. На противоположной грани, точно напротив него располагалось другое отверстие, чтобы не рассеянная кристаллом волна выходила беспрепятственно, не взаимодействуя со свинцовой оболочкой и не вызывая дополнительных эффектов.

В качестве образца брались кристаллы сульфата меди , каменной соли , а также цинковой обманки (сфалерита ) и свинцового блеска (галенит ). Спектр излучения рентгеновской трубки был непрерывным, поэтому на дифракционной картине наблюдалось множество точек: для многих наборов целых чисел , характеризующих порядок дифракционного максимума в уравнениях Лауэ, существует длина волны  в спектре трубки, для которой эти уравнения выполняются. Одна из фотографий, полученная группой Лауэ, приведена ниже.

Значение исследований Лауэ и Брэггов в физике двадцатого века сложно переоценить: во-первых, была доказана волновая природа рентгеновских лучей, во-вторых, заложены основы рентгеноструктурного анализа, позволяющего исследовать (квази)периодические атомарные структуры сверхмелких масштабов. В-третьих, за экспериментами Лауэ скоро последовали эксперименты Дэвиссона–Джермера и Томсона–Тартаковского по рассеянию электронов на кристалле. Эти эксперименты следовали технике рентгеноструктурного анализа и выявили аналогичные результаты, что неопровержимо свидетельствовало в пользу гипотезы корпускулярно-волнового дуализма. С данными экспериментами читатель может познакомиться в разделе «Квантовая теория и физика элементарных частиц».

<<К предыдущему эксперименту  |  Оптика  |  К следующему эксперименту>>