Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Дифракционный опыт Араго–Пуассона. Теория дифракции Френеля. Принцип Гюйгенса–Френеля

Огюстен Жан Френель (1788–1827) работал ведущим инженером в нескольких французских департаментах, однако, когда Наполеон возвращался с острова Эльба (1815), участвовал в сражениях против него. После возвращения Наполеона — в период ста дней  Френель был уволен и отправился в местечко Матье, как когда-то Исаак Ньютон — в свое фамильное имение. Здесь он занялся изучением интерференции и дифракции на основе результатов его предшественников и современников, в частности, Томаса Юнга. Эти исследования привели Френеля к разработке теории дифракции, которая, с учетом крайне слабого развития теории волновых уравнений, была настоящим прорывом в волновой оптике. Затем, уже после свержения Наполеона, Френель вернулся в Париж и в 1818 году представил трактат по дифракции на рассмотрение Парижской Академии наук.

Френель возродил волновую теорию Христиана Гюйгенса и выдвинутый им основной принцип распространения волн — принцип Гюйгенса: волновой фронт в момент времени  является огибающей поверхностью сферических волновых возбуждений радиуса , порожденных вторичными источниками во всех точках фронта  в  момент . Здесь время , а  — скорость света в точке . Френель обобщил этот принцип, сформулировав дополнение, позволяющее вычислять световое поле в данной точке: поле в точке есть результат сложения (интерференции) полей всех вторичных источников, расположенных на произвольно фиксированном волновом фронте. Последнее утверждение носит название принципа Гюйгенса–Френеля и, по сути дела, утверждает дифракционный характер распространения света. Современным обобщением этого принципа является концепция суммирования по путям: источник в точке  создает в точке  волновое поле, равное сумме амплитуд, которые имели бы волны, пришедшие от  к  по всевозможным траекториям. Суммирование, точнее,  интегрирование, ведется по всем траекториям, соединяющим две точки. Конечно, такое интегрирование очень сложно формализовать, но результат оказывается полностью эквивалентным волновой теории, а также допускает естественное квантовое обобщение. Интеграл по траекториям был введен в середине XX века Ричардом Фейнманом для описания процессов взаимодействия элементарных частиц, однако первое приближение к этому интегралу в оптике было предложено Френелем и впоследствии, в 1883 году формализовано Густавом Кирхгофом (так называемый дифракционный интеграл Френеля–Кирхгофа).

Рассмотрим подход Френеля к вычислению светового поля в точке P (см. рис.), которое создает источник S, при наличии круглого отверстия радиуса , перпендикулярного главной оптической оси (ГОО) SP. Для начала выберем фронт волны, касающийся границ отверстия, как показано на рисунке. Все вторичные источники, расположенные на этом фронте, создают волны, которые приходят в точку P с различной фазой. Однако фазы вторичных волн от источников, лежащих на одной окружности с центром на ГОО и перпендикулярной ей, очевидно, совпадают — поэтому сгруппируем вторичные источники по таким окружностям. Пусть далее O — точка волнового фронта, ближайшая к точке наблюдения P, кроме того,  (стандартные обозначения в оптике). Найдем расстояния  от ГОО до точек на фронте, вторичные волны от которых приходят в P с запаздыванием в  полупериодов, т.е. расстояние от которых до P равно . Очевидно, данное расстояние равно

если  и действует приближение Френеля . В этом случае остаточное слагаемое , и мы получаем:

Область фронта между  и  называется -ой зоной Френеля и замечательна тем, что вторичные волны от этой зоны приходят в точку наблюдения с разностью фаз меньше , поэтому приводят к конструктивной интерференции. Соседние же зоны Френеля обладают разностью фаз от  до , поэтому ослабляют вклады друг друга в общую амплитуду дифракционного поля (приводят к деструктивной интерференции). По этой причине на схеме выше нечетные зоны Френеля закрашены красным цветом, а четные, гасящие вклады нечетных, — синим. На этой схеме параметры подобраны так, что поле в точке P создается источниками из первых двух зон Френеля — или, как говорят, открыты первая и вторая зоны. Площадь -ой зоны, характеризующая число вторичных источников на ней, равна

т.е. площади всех зон примерно одинаковы. Из этого замечательного факта следует, что вклад второй зоны практически уничтожает вклад первой , так что световая амплитуда в зависимости от числа открытых зон Френеля будет изменяться от практически нулевой до максимальной, имеющей место, когда открыто нечетное число зон. Аккуратный учет вкладов всех зон также приводит к тому, что амплитуда поля от первой зоны Френеля в два раза больше суммарной амплитуды от всех зон:

Поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, мы получаем, что интенсивность в первом дифракционном максимуме в четыре раза больше интенсивности света в этой же точке в отсутствие экрана. На первый взгляд этот результат весьма парадоксален: поставив на пути света поглощающий экран, мы только повысили интенсивность света за ним! Однако в других точках за экраном интенсивность падает: дифракция приводит только к перераспределению световой энергии за ним.

Далее, из принципа суперпозиции следует, что сложение дифракционных амплитуд для случаев дифракции на дополняющих друг друга круглом отверстии и непрозрачном диске дает амплитуду в отсутствие экрана . Действительно, зоны Френеля, закрытые в одном случае, открываются в другом, и наоборот. В теории дифракции данное утверждение называется принципом Бабине. В итоге при дифракции на диске амплитуда поля также будет изменяться вдоль луча :

Здесь  обозначает уже число закрытых зон Френеля. В данном случае дифракционная амплитуда изменяется по величине от нуля до . Более того, при удалении источника света и точки наблюдения от непрозрачного диска остается закрытой только часть первой зоны, ибо число открытых зон

поэтому в точке наблюдения амплитуда светового поля не равна нулю. Также последнее означает, что если на расстоянии  от диска поставить экран, то при  в центре тени, отбрасываемой диском, будет наблюдаться светлое пятно!

Именно этот парадоксальный на первый взгляд результат получил, основываясь на теории Френеля, Симеон Дени Пуассон (1781–1840), которому на экспертизу и попал трактат Френеля о дифракции. Пуассон счел данный результат веским аргументом против теории Френеля, однако Доминик Араго (1786–1853), которому также было поручено подготовить отзыв на работу Френеля, решил провести его экспериментальную проверку. Вопреки здравому смыслу, опыт показал наличие светлого пятна в самом центре отбрасываемой диском тени. Теперь это пятно называют пятном Араго–Пуассона. Схема опыта Араго изображена на рисунке ниже, где, как видно, диск закрывает только небольшую часть первой зоны Френеля.

Между прочим, Френель первым ответил на вопрос, почему в волновой теории предметы, все же, отбрасывают тень. Это замечание долгое время служило аргументом против этой теории, благодаря которому ростки ее развития рубились на корню. Кроме того, его работа, в отличие от знаменитой работы Юнга по интерференции, отличалась стремлением найти строгое математическое описание явления, а не ограничиться качественными рассуждениями. Не зря работа Френеля, пересланная Юнгу Домиником Араго, была встречена им очень позитивно.

Почему же мы не наблюдаем пятна Пуассона в повседневной жизни? Тому есть несколько причин. Во-первых, оценим пространственные масштабы явления: если расстояния , то диаметр диска должен быть  Тень от такого предмета не больше размеров хрусталика. Если же наблюдать пятно на экране, то оно окажется очень маленьким и поэтому его суммарная яркость будет тоже небольшой. Наконец, для наблюдения данного дифракционного эффекта необходим достаточно когерентный, поэтому, как минимум, монохроматический, свет. Кроме того, наблюдению пятна сильно мешают мелкие неровности диска вблизи его границы.

Справедливости ради надо отметить, что пятно Араго–Пуассона еще в начале XVIII века наблюдали Жозеф Никола де Лиль и Жак Филипп Маральди, однако в условиях монополизма ньютоновской корпускулярной теории света и отсутствия математического аппарата, способного описать наблюдаемое явление, эти открытия были забыты на целый век.

<<К предыдущему эксперименту  |  Оптика  |  К следующему эксперименту>>