Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Наблюдение замедления времени в гравитационном поле. Опыт Хафеле–Китинга

Гравитационное замедление времени имеет ту же природу, что и гравитационное красное смещение — однако, мы посвятили ему отдельный вопрос, чтобы показать, что замедление имеет место и в весьма бытовых условиях.

Рассмотрим, к примеру, спутник, вращающийся вокруг Земли по круговой орбите радиуса с постоянной скоростью . Будем считать Землю невращающимся шаром массы и работать в ньютоновском приближении. Тогда планета создает вокруг себя искривленное пространство-время со следующей метрикой (см. предыдущий вопрос):

Выберем угловые координаты так, чтобы спутник совершал движение в экваториальной плоскости: . В ньютоновском приближении координата практически совпадает с расстоянием до центра Земли, что мы далее и будем предполагать. Поскольку спутник движется по орбите , интервал вдоль траектории его движения имеет простой вид:

Чтобы придать смысл абстрактной временной координате , рассмотрим наблюдателя, покоящегося на земной поверхности. Интервал вдоль его пространственно-временной траектории

где  — радиус Земли. Вспомним теперь (см. предыдущий вопрос), что интервал вдоль траектории движения тела с точностью до множителя равен собственному времени, т.е. времени, измеренному по часам, движущимся вместе с телом. Тогда перепишем интервал вдоль траектории спутника через время по часам наблюдателя на Земле:

Наконец, спутник движется со скоростью относительно наблюдателя на Земле, поэтому пройденное им расстояние равно

Отсюда мы получаем окончательное выражение для связи времен, измеренных по часам, вращающимся вокруг Земли и покоящимся на ней:

Первый корень описывает лоренцево (кинематическое) замедление времени, а второй — чисто гравитационное. В ньютоновском приближении эти два эффекта разделяются.

Если часы, тикающие на Земле с периодом , сравнить с такими же часами на спутнике, то наблюдателю на Земле покажется, что часы на спутнике тикают в

раз быстрее. Лоренцев фактор всегда не больше единицы, поэтому приводит к замедлению времени на спутнике. С другой стороны, гравитационный множитель больше единицы, т.к. , поэтому дает вклад противоположного знака. Более того, гравитационный вклад превалирует при

С другой стороны, из ньютоновской механики следует, что центростремительное ускорение спутника

Таким образом, условие превалирования гравитационного убыстрения времени над кинематическим замедлением:

Это условие вполне достижимо: спутники летают и на геостационарных орбитах высотой примерно в . Характерная величина эффекта получается при подстановке первой космической скорости и равна примерно .

Рассмотрим другой пример: реактивный самолет со скоростью на высоте над Землей. Относительная величина гравитационного убыстрения времени

а лоренцева замедления —

В данном случае два эффекта также соизмеримы.

Несмотря на их чрезвычайную малость эффектов гравитационного замедления времени, они вполне измеримы с помощью современных часов, например, построенных на излучении атомов цезия-133. Период излучения, возникающего при специфическом квантовом переходе в атомах цезия-133, используется в качестве эталона времени в системе СИ. Данные часы позволяют достичь относительную точность измерения времени до .

Впервые эффект изменения течения времени в гравитационном поле был измерен с помощью атомных часов Джозефом Хафеле и Ричардом Китингом. В октябре 1971 года они поместили цезиевые часы на пассажирские реактивные самолеты, летевшие по курсам, огибающим земной шар в восточном и западном направлениях. После возвращения в исходный пункт показания самолетов сверялись друг с другом и с часами, находившимися на земле. Скорость экватора Земли, обусловленная ее суточным вращением, равна

и поэтому сравнима со скоростями движения самолетов относительно земной поверхности. Скорость самолетов восточного направления складывается со скоростью суточного вращения Земли, западного направления — вычитается. Поэтому относительно центра Земли самолеты восточного направления имеют большую скорость. С другой стороны, из-за гравитационных эффектов время на самолете, набравшем высоту, течет быстрее, чем на земле. Полученные данные показаний часов приведены в следующей таблице:

Направление
полета
Разность показаний часов по сравнению с Землей
в наносекундах
теоретическая измеренная
гравитационная кинематическая суммарная
На Восток 144±14 –184±18 –40±23 –59±10
На Запад 179±18 96±10 275±21 273±7

Отличие в гравитационных поправках для самолетов противоположных направлений связано с несимметричностью их маршрутов, различии высот и длительности полета на них. Как видим, результаты эксперимента великолепно согласуются с предсказаниями общей теории относительности. Комментарии излишни: несмотря на отличие в ходе часов менее чем на микросекунду, эффект вполне наблюдаем и находится сильно выше уровня шума, поскольку накапливается с увеличением времени, проведенного в полете.

Между прочим, именно гравитационное замедление времени разрешает парадокс близнецов, появившийся еще до общей теории относительности. Парадокс рассматривает историю двух близнецов, один из которых стал космонавтом. Предположим, что близнец-космонавт отправляется в путешествие к звезде на расстоянии световых лет на космическом корабле, летящем с примерно постоянной околосветовой скоростью . Для него расстояние до звезды претерпит лоренцево сокращение,

поэтому полет до звезды и обратно для него самого займет время, гораздо меньшее десяти лет. Для оставшегося на Земле близнеца полет брата со скоростью займет как раз около десяти лет. В результате близнец-космонавт, вернувшись на Землю, обнаружит, что его брат постарел по сравнению с ним на десять лет.

С другой стороны, перейдем в систему отсчета, связанную со звездолетом брата-космонавта. Эта система большую часть времени полета движется с постоянной скоростью, поэтому является инерциальной. Относительно нее Земля вместе с братом-домоседом совершает путешествие за пять световых лет и обратно, поэтому «по возвращении» брата-домоседа именно он должен оказаться моложе! В этом и заключается парадокс близнецов: получается, что существует система отсчета, неподвижная в абсолютном смысле слова, — это система отсчета, связанная с Землей. Брат, оставшийся неподвижным относительно этой системы отсчета, всегда будет старше брата-путешественника.

Парадокс близнецов разрешается в рамках общей теории относительности. Дело в том, что брату-космонавту, чтобы вернуться домой, необходимо включить двигатели своего звездолета где-то у желанной звезды — иначе он просто не сможет развернуться. (Он также может использовать гравитационное поле этой звезды, но эффекты гравитации и инерции идентичны в силу принципа эквивалентности.) Сила инерции/гравитации будет очень ощутимой в кабине звездолета: она резко натянет ремни безопасности в кресле. Попав в поле сил инерции, космонавт также заметит, что в окружающей Вселенной время пошло быстрее — это есть рассмотренное выше гравитационное замедление времени. В частности, он увидит, что его брат на Земле стареет. Добавление данного эффекта к кинетическому (лоренцеву) приведет к одинаковой разнице в возрасте между братьями к моменту возвращения одного из них на Землю.

Как видно из парадокса близнецов, в реальных физических системах, заключенных в конечный объем, скорости частиц не могут быть все время постоянными, поэтому системы отсчета, связанные с ними, являются неинерциальными. Для адекватного описания явлений в такой системе отсчета необходимо учитывать эффекты не только специальной, но и общей теории относительности. Таким образом, эффекты кинетического и гравитационного замедления времени оказываются взаимосвязанными.

<<К предыдущему эксперименту  |  Общая теория относительности  |  К следующему эксперименту>>