Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Изучение гравитационного красного смещения с помощью мёссбауэровской спектроскопии. Опыт Паунда–Ребка

Гравитационное красное смещение — это эффект уменьшения частот линий излучения атомов на поверхности массивных звезд. Это явление является прямым следствием замедления времени в гравитационном поле. Рассмотрим для примера статическое сферически-симметричное распределение масс (в пренебрежении вращением звезды вокруг своей оси это приближение хорошо работает). Такое распределение масс создает вокруг себя гравитационное поле, т.е. искривление пространство, также обладающее сферической симметрией. Тогда существует система пространственно-временных координат, в которой метрика записывается в виде:

Здесь  — временная координата — причем именно временная координата, а не время, ибо последнее в разных точках пространства течет с разной скоростью. Чтобы понять смысл пространственных координат, запишем интервал плоского пространства Минковского в сферических координатах:

Здесь  — расстояние то точки до начала координат, а  и  — ее широта и долгота. В случае искривленного пространства-времени угловые координаты  сохраняют свой смысл, а поверхность имеет геометрию сферы радиуса : в частности, площадь этой поверхности равна . В то же время, радиальное расстояние до начала координат задается функцией :

В отличии «метрического» радиуса от радиусов окружностей проявляется наличие кривизны пространства. На рисунке ниже слева для примера изображен эллипсоид вращения, являющийся двумерным пространством с положительной кривизной. Желтые и зеленые области градуируют его поверхность по «метрическому» радиусу , а черные и белые — по радиусам окружностей сечения . Две другие картинки иллюстрируют то же самое на плоскости и на поверхности гиперболоида  пространства с отрицательной кривизной. Как видим, рост длины окружности медленнее радиуса (с точностью до множителя ) соответствует пространству с положительной кривизной (слева), быстрее радиуса — пространству с отрицательной кривизной (справа). Точная пропорциональность между радиусом и длиной окружности говорит о нулевой кривизне (в центре). Пространство вокруг гравитирующих масс в теории Эйнштейна имеет отрицательную кривизну, т.е. напоминает гиперболоид.

Вернемся теперь к гравитационному полю рассматриваемой звезды или планеты. Поскольку поле должно ослабевать с расстоянием, на бесконечности интервал пространства-времени должен переходить в интервал пространства Минковского, т.е.

Рассмотрим теперь неподвижный источник света с частотой , находящийся на сфере с координатой . Закон движения этого источника имеет простой вид:

С точки зрения источника, пространство-время в его очень малой окрестности почти не отличается от плоского, т.е. пространства Минковского. С другой стороны, источник в связанной с ним самим системе отсчета покоится, поэтому интервал вдоль его собственной траектории записывается, как для покоящейся частицы в пространстве Минковского:

Здесь  — собственное время, т.е. время, измеренное по часам источника. Сравнивая теперь два выражения для интервалов, получаем связь между собственным временем и координатой :

В радиальном направлении () свет от рассматриваемого источника будет распространяться по световому конусу , откуда

Отсюда мы видим, что сигналы, испущенные в точке в моменты времени и , придут к бесконечно удаленному наблюдателю на сфере с точно такой же разностью . Однако, если перейти от абстрактной координаты к времени по часам наблюдателя, разность окажется равной

Таким образом, времена, измеренные удаленным наблюдателем, отличаются от времен по часам источника множителем, описывающим гравитационное поле. В ньютоновском пределе величина выражается через гравитационный потенциал теории всемирного тяготения:

Например, на расстоянии от тела массы этот потенциал равен

а на высоте над поверхностью Земли

где  — ускорение свободного падения. Здесь важно, что , поэтому , и время , измеренное вдали от массивных объектов, где , всегда больше времени, измеренного в точке с ненулевым потенциалом:

Это и есть замедление времени в гравитационном поле; соответствующее ему соотношение для частот имеет вид:

Поскольку , свет, излученный атомом на поверхности массивной звезды, краснеет, долетая до наблюдателя на Земле, где потенциал практически равен нулю.

Нельзя не отметить, что потерю энергии фотонами, вылетающими из гравитационной потенциальной ямы, предсказывали задолго до Эйнштейна. Например, об этом явлении говорил Джон Митчелл (1724–1793), основываясь на корпускулярной теории света Ньютона и его же законе всемирного тяготения. Он же впервые ввел в физику понятие черной дыры — объекта, из гравитационного поля которого не может вылететь даже свет. Впоследствии влияние гравитации на свет исследовали Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) и Иоганн фон Зольднер (1776–1833). Однако, важно отметить, что только в теории Эйнштейна одинаковое красное смещение возникает у корпускулярных фотонов и световых волн. Более того, в теорию электромагнитного поля Максвелла не нужно добавлять особое взаимодействие с гравитационным полем: оно появляется автоматически, если только корректно сформулировать все понятия теории в искривленном пространстве-времени. В плоском пространстве-времени Минковского максвелловские световые волны не отклоняются в гравитационном поле и не испытывают красного смещения.

Подпись:  
Глен Ребка (слева) и Роберт Паунд (справа)
Основная проблема прямого наблюдения гравитационного красного смещения света от звезд заключается в том, что сдвиг частот происходит как из-за эффекта Доплера, так и из-за гравитационного замедления времени. Для Солнца эффект гравитационного красного смещения составляет по относительной величине, поэтому солнечные данные по нему недостаточно убедительны. В то же время для белых карликов , и эффект успешно наблюдался. Первые эксперименты по наблюдению гравитационного красного смещения для белого карлика Сириус B были проведены Уолтером Сидни Адамсом (1876–1956) в 1925 году. Тем не менее, справедливость его результатов долгое время оспаривалась. По сути дела, первые достоверные наблюдения гравитационного красного смещения в отсутствие конкурирующих эффектов были проведены на Земле Робертом Вивианом Паундом (1919–2010) и его аспирантом Гленом Андерсеном Ребка (род. 1931) в 1959 году.

Идея опыта Паунда–Ребка достаточно проста. Согласно квантовой механике, система поглощает фотоны ровно на тех же резонансных частотах, что и излучает (принцип детального равновесия). Поэтому фотон резонансной частоты , излученный атомом (или ядром) на высоте над уровнем моря, такому же атому на высоте будет казаться «покрасневшим». В результате резонанс не наступит, и второй атом не поглотит этот фотон. С другой стороны, если атом на высоте будет двигаться вниз, т.е. навстречу фотону, с некоторой скоростью , то возникнет фиолетовое смещение, которое при определенной величине скорости нейтрализует красное, и фотоны начнут снова поглощаться. Уравнение, из которого получается искомая скорость, нетрудно получить из теории, изложенной выше:

откуда

Наблюдение данного эффекта сильно осложняется тем, что в реальности атом или ядро, излучая фотон, получает отдачу, а, стало быть, кинетическую энергию. В результате энергия излученного фотона оказывается меньше, чем резонансная частота идеального, неподвижного атома. Это есть не что иное, как эффект Доплера: атом, движущийся противоположно фотону из-за отдачи, излучает свет на меньшей частоте. С другой стороны, при поглощении фотона атому передается его импульс, поэтому он поглощает фотон, «убегая» от него. Таким образом, линии поглощения реального атома сдвинуты в фиолетовую сторону по сравнению с частотами переходов в неподвижном атоме.

Величины эффектов отдачи оказываются столь велики, что на их фоне доплеровский и гравитационный сдвиг частоты практически не обнаружим. Тем не менее, в эксперименте Паунда–Ребка использовался эффект Мёссбауэра (эффект ядерного магнитного резонанса), заключающийся в том, что в некоторых веществах отдача при излучении фотона одним из атомов передается всему кристаллу, поэтому излучение и поглощение происходят без сдвига частоты. Данный эффект имеет квантовую природу и связан с квантованием энергии возбуждений кристаллической решетки. Благодаря эффекту Мёссбауэра ширина линий излучения/поглощения уменьшается практически до минимально возможного значения — естественной ширины. Это позволяет сонастроить частоты передающего и принимающего фотоны образцов.

В качестве этих образцов использовался кристалл радиоактивного железа , помещенный на полу здания и такая же железная пластина под его крышей, на высоте над полом (см. рис. справа). Ядра железа-57 излучают фотоны гамма-излучения с энергией 14.4кэВ, частота которых должна измениться на величину порядка . За приемной пластинкой располагался сцинтилляционный счетчик D, который регистрировал число не поглощенных ею фотонов, исходивших от пластины на полу — и таким образом частотную сонастройку двух групп ядер . Этот счетчик обозначен на рисунке красным цветом. Верхняя пластина была закреплена на громкоговорителе, который при подключении к нему переменного напряжения с частотой заставлял ее колебаться:

Изменение скорости движения приемной пластины порождало переменный доплеровский сдвиг и, как следствие, переменный ток в цепи сцинтилляционного счетчика. Наконец, между этим током и током через громкоговоритель измерялась разность фаз. По ней определялось значение скорости приемной пластины, соответствующее нейтрализации гравитационного красного смещения эффектом Доплера и в итоге ядерному резонансу. Результаты эксперимента полностью согласовывались с общей теорией относительности:

Теория Эйнштейна же дает

Эксперименты Паунда–Ребка являются первыми наземными экспериментальными тестами общей теории относительности. Последующие опыты по наблюдению гравитационного красного смещения только уточнили их результаты. Таким образом, гипотеза об искривлении пространства-времени, приводящая к различному темпу хода часах в разных точках пространства, получила непосредственное, лабораторное подтверждение.

<<К предыдущему эксперименту  |  Общая теория относительности  |  К следующему эксперименту>>