Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Геодезическая прецессия (эффект де Ситтера). Кривизна пространства-времени

Геодезическая прецессия — это медленное изменение направления оси вращения гироскопа, свободно падающего в гравитационном поле. В качестве гироскопа может выступать спин частицы, а также любая система, сохраняющая свою ориентацию в отсутствие гравитационного поля. Частным случаем свободного падения является движение искусственного спутника с отключенными двигателями.

Данный эффект имеет некоторые аналогии с прецессией спина в магнитном поле: как известно, спины заряженных частиц, помещенных в однородное магнитное поле , испытывают ларморову прецессию, вращаясь вокруг направления магнитного поля с частотой

где  — заряд частицы,  — гиромагнитное отношение. В противоположность ларморовой, геодезическая прецессия обусловлена чисто геометрическими причинами — и поэтому не зависит от пробной частицы. Геодезическая прецессия была предсказана в 1916 году Виллемом де Ситтером (1872–1934), автором собственной искривленной космологической модели — модели Вселенной де Ситтера.

В современной теории искривленного пространства-времени кривизна определяется через понятие параллельного переноса. Действительно, вблизи каждой своей точки пространство почти не отличается от плоского, поэтому параллельный перенос в этом, касательном пространстве является четко определенным. Перенос же по траектории конечной длины можно разложить на бесконечно большое число маленьких параллельных переносов.

Представить себе такой параллельный перенос достаточно легко на примере милиционера с жезлом. Взяв жезл в одну из рук и держа его, предположим, в направлении под 45 градусов вправо-вперед, он решил, сохраняя направление жезла, идти вперед не поворачиваясь. Теперь вспомним, что милиционер идет не по плоскости, а по поверхности земного шара — что же тогда означают слова «не поворачиваясь» и «сохраняя направление жезла»? Очевидно, первое означает, что милиционер идет по геодезической, т.е. по наикратчайшей, «наипрямейшей» кривой. В случае поверхности Земли это большие окружности, в частности, меридианы и экватор (но не параллели!). Сохранять направление жезла можно только одним способом: не менять положение руки, т.е. поддерживать угол между жезлом и направлением движения постоянным. Таким образом, при параллельном переносе вектора по геодезической угол между ними в каждой точке геодезической одинаков.

Предположим, что наш отважный милиционер решил разлиновать всю Евразию и для начала решил пройти по экватору, затем — на север по Гринвичскому нулевому меридиану, и, наконец, пройдя через Северный полюс и оказавшись уже на 180-м меридиане, снова вернуться на экватор. Его путь на земном шаре изображен на рисунке справа радужной кривой — от красного конца к фиолетовому. Стрелки указывают направление жезла, которое испытывает параллельный перенос вдоль пути движения милиционера. Обойдя по замкнутому контуру, состоящему из двух дуг больших окружностей, он к своему удивлению обнаружит, что жезл смотрит в противоположную сторону (см. рис.)! Вывод в данном случае неутешительный: из-за кривизны земной поверхности абсолютного понятия направления на ней не существует! Результат же параллельного переноса вектора в пространстве зависит от траектории переноса. Приращение вектора при параллельном переносе по бесконечно малому замкнутому контуру около точки пропорционально кривизне , длине вектора и площади, ограничиваемой контуром:

В действительности связь здесь носит не векторный, а тензорный характер, но пропорциональность все равно имеет место.

Эффект геодезической прецессии, как нетрудно догадаться, связан с нетождественным параллельным переносом вектора момента импульса системы вдоль ее замкнутой орбиты. Этот эффект был измерен на околоземной орбите с помощью космического зонда Gravity Probe B, запущенного в 2007 году. На его борту находилось несколько гироскопов, которые совершали обороты вокруг Земли вместе с зондом. После большого количества оборотов зонда вокруг Земли оси вращения гироскопов сверялись с неподвижными звездами  и результаты измерений согласовывались с предсказаниями теории относительности в пределах 0.5–1%. Величину эффекта несложно оценить исходя из формулы для вариации вектора при параллельном переносе. Угол поворота вектора равен

где  — радиус круговой орбиты. Кривизна зависит от вторых производных метрического тензора, поэтому в ньютоновском приближении оценивается как

где  — гравитационный потенциал Земли. Для зонда Gravity Probe B орбиты пролегала на высоте 600 километров над Землей, поэтому ее радиус примерно равен радиусу Земли. В этом случае угол прецессии, приходящийся на один виток зонда вокруг Земли, оценивается по величине как

С учетом того, что орбитальный период зонда равняется примерно 100 минутам, мы получаем оценку угла прецессии в год:

Точный расчет в данном случае дает величину прецессии в год; измеренное зондом значение составляло , т.е. находилось в великолепном согласии с предсказаниями теории относительности.

Эффект геодезической прецессии наблюдается и в астрофизике. Например, ось вращения системы «Земля-Луна» прецессирует в гравитационном поле Солнца, отклоняясь примерно на 1.9 угловой секунды в год. Эта прецессия действительно наблюдается и прекрасно описывается теорией Эйнштейна. Кроме того, в предыдущих разделах упоминался открытый в 2003 году двойной пульсар PSR J0737-3039. Ось вращения одного пульсара меняет свое направление при обращении вокруг другого пульсара. Гравитационное поле этих чрезвычайно плотных и близких друг к другу звезд оказывается столь сильным, что геодезическая прецессия осевого вращения составляет около 5 градусов в год.

<<К предыдущему эксперименту  |  Общая теория относительности  |  К следующему эксперименту>>