Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Предпосылки общей теории относительности. Прецессия перигелия орбиты Меркурия

В основу общей теории относительности к моменту ее создания могло лечь очень мало экспериментальных фактов. Тем не менее, необходимость в создании новой теории однозначно следовала из специальной теории относительности. Действительно, теория тяготения Ньютона была дальнодействующей моделью: гравитация передавалась на расстояние мгновенно. По этой причине она была несовместима с теорией относительности, где все взаимодействия должны передаваться не быстрее, чем со скоростью света. Конечно, можно было бы построить теорию, в которой скалярный потенциал Ньютона распространяется с конечной скоростью, например, скоростью света. Такую идею пытался развить Гюннар Нордстрём (1881–1923), предложивший в 1912–13 годах скалярное обобщение теории Ньютона. Однако, в его теории существовала априорная геометрия, которую не изменяло гравитационное поле. Поэтому, в частности, не должно было наблюдаться отклонение лучей света вблизи звезд. Нарушалась сильная формулировка принципа эквивалентности: лучи света и релятивистские частицы с ненулевой массой должны были двигаться по разным траекториям.

Попытки создать векторную теорию гравитации не увенчались успехом: в такой теории либо происходит отталкивание зарядов, в в максвелловской электродинамике, либо излучаемые гравитационные волны обладают отрицательной энергией, создавая нестабильность. Сам Эйнштейн в общей теории относительности использовал симметричный тензор (матрицу 4x4), переносящий гравитационное взаимодействие и одновременно описывающий геометрию пространства-времени вблизи данной точки. А именно, расстояние между двумя близкими точками с координатами и равно квадратному корню из квадрата интервала:

Тензор , поскольку он определяет расстояние между ближайшими точками, называется метрическим. Чтобы понимать эйнштейновскую нотацию, советуем обратиться к вопросу, посвященному современным тестам лоренц-инвариантности. Тела движутся по геодезическим, т.е. кривым наименьшего интервала:

где  — кривая в пространстве-времени с заданными концами и . Поскольку понятие геодезических определяется через геометрию пространства-времени, а не через характеристики пробных частиц, принцип эквивалентности автоматически выполняется. Кроме того, в теории Эйнштейна принцип относительности возведен на небывалую высоту: провозглашается точечная инвариантность уравнений движения. Это означает, что при переходе к другим координатам все уравнения гравитационного поля должны сохранить свой вид, если постулировать инвариантность интервала. Метрический тензор при этом преобразуется подобно тому, как преобразуются координаты в специальной теории относительности при переходе к движущейся системе отсчета. Именно поэтому в теории относительности нет априорной геометрии: единственная не относительная характеристика метрического тензора гравитационного поля — это его сигнатура, которая говорит, что в пространстве-времени есть три пространственных и одна временная координата.

Перейдем теперь к экспериментальной предпосылке создания общей теории относительности. Известная еще из школьной астрономии прецессия перигелия Меркурия действительно была одним из аргументов, которые мог использовать Эйнштейн для подтверждения верной модели гравитации. Перигелий — точка эллиптической орбиты Меркурия, в которой он находится ближе всего к Солнцу, очень медленно сдвигается, так что орбита описывает розетку (см. рис.). Ньютоновская теория тяготения не могла объяснить аномальную величину этой прецессии, равную всего 43 угловым секундам в столетие. Важно отметить, что полная прецессия составляла гораздо большее значение: 5000 секунд в столетие накапливалось из-за смещения земных равноденствий (следствие прецессии земной оси), 530 секунд добавляло гравитационное притяжение со стороны других планет Солнечной системы. Первым отклонение от ньютоновской теории обнаружил в 1859 году Урбен Жан Жозер Леверье (1811–1877), проанализировав астрономические наблюдения Меркурия с начала XVIII века. Чтобы исправить это противоречие, предлагались различные гипотезы, однако, они не обладали той элегантностью, которая предлагали теория относительности, теория Нордстрёма и сама теория тяготения Ньютона.

В ньютоновской теории тяготения отсутствие прецессии (в идеальном случае отсутствия других планет) связано с пропорциональностью силы притяжения . Этот факт утверждает в первый закон Кеплера и был доказан еще Ньютоном. Наличие вкладов в силу тяготения с другой зависимостью от расстояния неизбежно приводит к прецессии. Поэтому предлагались модели, аналогичные ньютоновской, но с показателем степени , где  — малое число.

С другой стороны, к прецессии перигелия можно прийти, если рассмотреть уравнения специальной теории относительности в поле :

Это уравнение решается, однако получающаяся орбита обладает отличной от наблюдаемой прецессией перигелия. Необходимо отметить, что, вообще-то говоря, это уравнение было бы правильным, если бы гравитационное поле точечной массы определялось ньютоновской формулой. В общей теории относительности гравитационное поле становится сильнее на малых расстояниях, поэтому в уравнении выше надо исправить и правую часть, добавив малое слагаемое, пропорциональное . В таком виде уравнение действительно даст прецессию в желанные 43 секунды за столетие. Однако необходимо отметить, что данный подход является сугубо частным, поскольку, например, не объясняет замедление времени на неподвижных часах, помещенных в гравитационное поле. Этому и другим явлениям посвящены следующие разделы нашей антологии.

<<К предыдущему эксперименту  |  Общая теория относительности  |  К следующему эксперименту>>