Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Геометрия в трехмерном пространстве

 

1. Векторы и операции с векторами.

 

В пространстве (здесь и далее подразумевается, что речь идет о трехмерном пространстве) точка определяется тремя числами в данной системе координат. В правой прямоугольной декартовой системе три координатные оси обозначаются как ось , ось и ось : если на плоскость смотреть сверху, то ось направлена влево от направления оси , а ось направлена вверх.

Задание точки ее координатами , и будем обозначать в виде . Координаты точки являются компонентами радиус-вектора этой точки: .

Вектор определяется как отрезок прямой , направленный от точки к точке . Его компоненты равны разностям координат точек: . Абстрактный вектор представляет множество пар точек, разности координат которых равны соответствующим компонентам этого вектора. В частности, этот вектор есть радиус-вектор точки некоторой пары, в которой другая точка является началом координат (очевидно, для данного такая пара точек является единственной). Будем обозначать вектор перечислением в скобках компонент в заданном порядке, например, или . Равенство двух векторов означает равенство их соответствующих компонент.

Сумма и скалярное произведение векторов и имеют вид

Умножение числа на вектор означает умножение каждой из компонент на это число (здесь и далее речь идет о действительных числах). Модуль вектора равен .

В пространстве для двух векторов определяется еще один вид парной операции - векторное произведение:

Вектор ортогонален векторам , и направлен вверх (вниз), если вектор находится левее (правее) . Модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

На плоскости мы определили ортонормированный базис векторов , . Добавив к ним единичный вектор , направленный по оси , имеем ортонормированный базис из трех векторов

Очевидно, что

Обозначение вектора в виде теперь означает, что

Отметим следующие свойства операций с векторами:

 

 

Если и , то

где и - некоторые числа.

Различные прямоугольные декартовые системы координат связаны между собой переносами начала координат и вращениями базиса векторов. Перенос начала координат не меняет компоненты вектора. Вращения базиса в пространстве определяются не только углом поворота, но и осью, вокруг которой осуществляется поворот.

Пусть - угол поворота, а - единичный вектор, определяющий ось вращения. Положительный отсчет угла будет означать, что поворот производится против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора в сторону его начала. Исходный базис при таком вращении трансформируется в новый базис так, что

где

здесь индекс ; - произвольный вектор, заданный в старой системе координат. Соотношения (8) представляют законы преобразований базиса и компонент вектора при вращениях.

Отметим, что как и на плоскости вращения оставляют инвариантным скалярное произведение: .

 

2. Прямые и плоскости в пространстве.

 

Множество всех точек , удовлетворяющих уравнению

образуют плоскость в пространстве, определяемую коэффициентами этого уравнения. Вводя вектор , уравнение (9) можно записать в векторной форме , где - радиус-вектор точки плоскости.

Плоскость в пространстве однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Если есть радиус-векторы таких точек, то

При этом тогда и только тогда, когда данные точки лежат на одной прямой. Поэтому, считая , можем разделить (9) на и получить следующее уравнение для точек плоскости

Здесь единичный вектор и число определяют ориентацию и расположение плоскости: она перпендикулярна вектору и находится на расстоянии от начала координат в стороне, в которую направлен вектор . При плоскость проходит через начало координат. В прочих случаях выбирают . Тогда вектор , называемый нормалью плоскости, направлен в сторону, противоположную стороне, в которой находится начало координат. Будем обозначать плоскость, у которой заданы и , через .

При параметрическом задании радиус-вектор точки плоскости зависит от двух параметров и , пробегающих все множество чисел:

здесь , , - любые векторы, связанные следующими условиями

Рассмотрим две плоскости и . Очевидно, эти плоскости параллельны тогда и только тогда, когда (т.е. ). Если , то плоскости пересекаются по прямой, точки которой удовлетворяют одновременно каждому из уравнений плоскостей:

При этом угол между данными плоскостями равен углу между их нормалями: .

При параметрическом задании радиус-вектор точки прямой зависит от одного параметра , пробегающего все множество чисел:

Прямая в уравнении (13) определялась заданием , а в (14) - заданием . Эти величины связаны соотношениями

Для перпендикулярных плоскостей () имеем .

Часто уравнение (14) записывают в виде

где есть расстояние прямой от начала координат, т.е. точка с радиус-вектором есть ближайшая к началу координат точка прямой. Параметр с точностью до знака равен расстоянию искомой точки прямой от точки (т.е. и определяют две точки прямой, равноудаленные от и находящиеся по разные стороны от ). Уравнение (14) приводится к виду (16) заменами

Таким образом, прямая в пространстве определяется четырьмя числами: тремя координатами точки, ближайшей к началу координат, и единичным вектором, задающим ее направление в плоскости, перпендикулярной к прямой, проходящей через начало координат и ближайшую точку (такой вектор задается одним числом). Так в уравнении (14) два вектора (это шесть чисел) определяют ту же прямую, что и векторы

где и - любые числа. Т.е. из шести чисел лишь четыре являются независимыми. Далее будем обозначать прямую, задаваемую в (14), в общей форме через , учитывая при этом, что , где связаны с преобразованиями (18).

Отметим, что плоскость в пространстве определяется тремя числам: расстоянием от начала координат и нормалью. Другими словами, через точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная заданному вектору, в частности, радиус-вектору этой точки. При таком определении явно видно, что плоскость определяется тремя координатами точки этой плоскости, являющейся ближайшей к началу координат.

 

3. Точки пересечения, расстояния и углы.

 

Две прямые и пересекаются тогда и только тогда, когда

При этом радиус-вектор точки пересечения равен

где

Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда . Если , то прямая пересекает плоскость в точке

Две разные прямые находятся в одной плоскости и однозначно ее определяют тогда и только тогда, когда они пересекаются или параллельны. В первом случае прямые ( - радиус-вектор точки пересечения) определяют плоскость , где

Параллельные прямые определяют плоскость , где

Расстояние от точки с радиус-вектором до прямой равно

А расстояние этой же точки до плоскости равно

Расстояние между прямыми и равно

если . Если же эти прямые параллельны (), то это расстояние равно

Расстояние от плоскости до прямой , параллельной ей, равно

Расстояние между параллельными плоскостями , очевидно, равно .

Угол между двумя плоскостями мы определили выше. Угол между прямой и плоскостью определяется соотношением

Пересечение трех плоскостей образует фигуру типа "треугольная труба", если все три нормали лежат в одной плоскости:

При этом "труба" сжимается до прямой , где вектор ортогонален всем трем векторам , если при всех .

Если же , то эти три плоскости пересекаются в одной точке , через которую проходят три прямые , каждая из которых является пересечением двух плоскостей. При этом параметры прямых и точка пересечения определяются следующими соотношениями:

При выводе (31) учитывалось, что

Четвертая плоскость проходит через точку , если

Чтобы обобщить этот вывод в симметричной форме, обозначим смешанное произведение трех векторов через

Модуль есть объем параллелепипеда, построенного на данных трех векторах. Эти три вектора находятся в одной плоскости тогда и только тогда, когда .

Пусть даны четыре плоскости . Введем величины

Будем считать, что векторы не лежат в одной плоскости (при этом, по крайней мере, три величины в (33) обязательно отличны от ). Тогда имеет место следующий вывод: данные четыре плоскости имеют одну и только одну общую точку тогда и только тогда, когда

Очевидно, что плоскостей имеют одну и только одну общую точку тогда и только тогда, когда сформулированный выше вывод имеет место для любых четырех плоскостей из данного набора.

Приведенного выше достаточно, чтобы, не прибегая к "чертежам", можно было исследовать свойства различных пространственных образований с помощью аналитических (алгебраических) методов.

Пространственные фигуры, образовываемые пересечением плоскостей, отличаются от плоских фигур большим разнообразием границ. Поэтому мы, прежде всего, определим ряд понятий, которыми характеризуются фигуры и их границы в пространстве.

Ломаная линия в пространстве имеет тот же смысл, что и в плоскости - это отрезки прямых, которые в определенной последовательности соединяют заданный набор точек (или упорядоченный набор векторов). Простая и замкнутая ломаные линии определяются так же, как и на плоскости.

Если все точки фигуры находятся в одной плоскости, будем называть ее плоской фигурой.

Многоугольник вместе со своими внутренними точками будем называть гранью и обозначать через . Две грани, принадлежащие непараллельным плоскостям, будем считать совместимыми, если хотя бы одна сторона одной грани равна какой-либо стороне другой грани.

Две совместимые грани называются совмещенными, если у них одна сторона (и только одна) является общей. Эта сторона называется ребром.

Множество совмещенных граней называется ломаной поверхностью, если:

  1. каждое ребро является общим лишь для двух граней;
  2. любые две точки этой поверхности можно соединить ломаной линией, полностью входящей в эту область;
  3. грани могут пересекаться (иметь общие точки) только по ребрам.

Ломаная поверхность , состоящая из граней, называется замкнутой, если она делит множество остальных точек пространства на две области так, что никакие две точки из разных областей нельзя связать ломаной линией, не пересекая при этом данную поверхность. При этом каждая из областей по отдельности являются связными. Будем называть такую поверхность -гранником. Та из двух областей, в которой расстояния между точками имеют верхний предел, будет называться внутренней.

 

4. Многогранники.

 

Итак, многогранник - это фигура, образованная замкнутой ломаной поверхностью. Ребра многогранника могут пересекаться только своими концами, причем в одной точке будет сходиться по меньшей мере три ребра. Такие точки называются вершинами. Ребра и грани, сходящие в одной вершине, называются смежными в данной точке. Очевидно, что число смежных ребер и число смежных граней в данной вершине одинаково.

Задание вершин еще не определяет многогранник. Нужно еще определить последовательность соединения вершин ребрами. Однако не всякий набор точек может быть набором всех вершин многогранника. Точно также не всякий набор плоскостей может образовать замкнутую ломаную поверхность .

Далее -гранник будем обозначать так же, как и ломаную поверхность, - через .

В принципе, можно составить некий аналитический алгоритм, который однозначно определял бы тот или иной многогранник. Однако в общем случае он будет чрезвычайно громоздким. Ниже мы ограничимся приведением некоторых необходимых условий, которые удовлетворяются для всякого многогранника.

Пронумеруем грани некоторого . Пусть есть нормаль плоскости, в которой лежит -ая грань (при этом возможно, что некоторые нормали совпадают). Очевидно, что все эти нормали не могут лежать в одной плоскости. Направим каждую нормаль в сторону наружной области относительно соответствующей грани. Тогда для любого найдутся положительные числа такие, что

(отсюда следует, что ). Ниже мы узнаем, что этими коэффициентами могут быть площади граней.

Пусть содержит вершин и ребер. Обозначим через число сторон -ой грани, а через - число смежных граней (ребер) в -ой вершине. Для любого имеют место соотношения

Если данный является выпуклым (любую пару внутренних точек можно соединить отрезком прямой, не пересекающим грани), то сумма углов при вершине будет меньше :

где - угол при -ой вершине, принадлежащий -ой из смежных в данной вершине граней. Отметим, что грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

Если у все грани являются правильными -угольниками, а в вершинах сходится одинаковое число граней, то его называют правильным многогранником. При этом из (36) получаем

А учитывая еще (37), получим неравенство .

Пересечение плоскостей может определить не более прямых и не более точек. Кроме того, очевидно, что число ребер не может быть меньшим , а число вершин не может быть меньшим . Кроме того, в каждой вершине число смежных граней (и ребер) не может быть меньше трех. Все это приводит к следующим неравенствам для правильного :

(напомним, что - число сторон грани, - число граней, - число ребер, - число вершин, - число смежных граней в одной вершине).

Из соотношений (38, 39) можно найти возможные сочетания параметров правильных многогранников. Обозначим через вариант, когда к одной вершине прилегают правильных -угольников. Первое из неравенств (39) дает пять возможных вариантов

Учитывая (38) и остальные неравенства в (39), приходим к следующим возможным комбинациям параметров:

где . Других вариантов для параметров правильного многогранника нет. Таким образом, любой правильный многогранник определяется тремя целыми числами . При этом значения пары первых двух чисел реализуется лишь в одном из пяти вариантов (40), а третье есть любое целое число большее единицы. Обозначая многогранник через с учетом равенств (41) мы определяем любой правильный многогранник с точностью до масштабных преобразований. При многогранники имеют следующие названия:

- тетраэдр, - октаэдр, - икосаэдр, - куб, - додекаэдр

(значения соответствующих чисел граней, вершин и ребер дают (41)).

Отметим, что вышеприведенное имеет место и для многогранников, у которых все грани являются -угольниками, а к каждой вершине прилегает по граней. Однако это не означает, что существуют все виды многогранников, удовлетворяющих приведенным условиям (т.е. эти условиям являются только необходимыми).

Из шестигранников отметим параллелепипеды, у которых все грани являются параллелограммами, причем противоположные грани являются параллельными и одинаковыми. При определении такой фигуры из восьми вершин достаточно задать одну вершину и три смежные (т.е. связанные ребрами) с ней вершины . Объем этой фигуры равен

У четырехгранников гранями могут быть только треугольники. Эти фигуры называют тетраэдрами. Они полностью определяются четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости. Все такие четыре вершины являются взаимно смежными. Объем тетраэдра равен

где и - любая тройка векторов, соединяющих одну вершину с тремя другими.

Особую роль играют пирамиды: -гранники, у которых одна грань (основание) является -угольником, а остальные (боковые) грани являются треугольниками, прилегающими к одной точке, называемой вершиной пирамиды. Ребра, не являющиеся сторонами основания, также называют боковыми. Таким образом, у пирамиды граней, вершин и ребер, и она полностью определяется заданием основания и точки, не лежащей в плоскости основания. Разбив основание на треугольники, мы можем получить разбиение пирамиды на совокупность тетраэдров с общей вершиной. Учитывая это, нетрудно показать, что объем пирамиды равен

где - площадь основания, - расстояние от вершины пирамиды до плоскости, которой принадлежит основание (эту величину называют высотой пирамиды).

Любой выпуклый -гранник можно разбить на пирамид, у которых основаниями являются грани пирамиды, а вершина одна и та же и находится внутри пирамиды. Т.е. объем -гранника есть сумма объемов пирамид.

Пусть есть нормаль -ой грани -гранника, направленная в сторону наружной области. Через обозначим плоскость -ой грани ( есть расстояние от начала координат до данной плоскости). Выберем внутри данного выпуклого многогранника точку с радиус вектором . Величина есть высота соответствующей пирамиды. Поэтому объем -гранника равен

где - площадь -ой грани. Объем не может зависеть от выбора точки внутри данного -гранника. Этим доказывается следующее соотношение, уточняющее (35):

Таким образом, объем выпуклого -гранника равен

Отметим, что, если начало координат находится внутри -гранника, то все . Перенос начала координат означает замену вида , что, учитывая (45), никак не меняет формулу (46).

Можно показать, что формула (46) справедлива и в общих случаях многогранников. Отличие будет в том, что для невыпуклых многогранников не все будут положительными, даже в случаях, когда начало координат находится внутри многогранников.

Если внутри выпуклого многогранника найдется точка, равноудаленная от каждой грани, то говорят, что в этот многогранник можно вписать сферу. Если есть точка, равноудаленная от вершин, то многогранник можно вписать в сферу. Если многогранник правильный, то в него можно вписать сферу и его можно описать сферой, причем центры сфер будут совпадать.

Объем многогранника, в который можно вписать сферу, равен , где - радиус сферы, - суммарная площадь граней. Отсюда нетрудно предельным переходом найти площадь и объем для сферы радиуса :

 

5. Кривые линии и поверхности.

 

Кривые линии в пространстве определяются или двумя уравнениями для координат

или в параметрической форме

Поверхность определяется или уравнением для координат

или в параметрической форме

Криволинейные координаты задаются тремя обратимыми функциями

Наиболее распространенными являются цилиндрическая и сферическая системы координат. В цилиндрической системе в плоскости вводятся полярные координаты, а координата не меняется:

Сферическая система получается из цилиндрической введением угла между вектором и осью . При этом :

Локальный (т.е. привязанный к точке приложения) базис векторов в сферической системе координат задается соотношениями

Подробнее свойства кривых линий и поверхностей рассматриваются в разделе "Дифференциальная геометрия". Здесь мы ограничимся анализом поверхностей, который можно провести алгебраическими методами.

Поверхность вращения получается, если некоторую плоскую кривую вращать вокруг оси, принадлежащей плоскости кривой. Пусть кривая задана на плоскости уравнением

а ось вращения составляет угол с осью . Тогда поверхность вращения определяется уравнением

где

Перебирая в пределах , мы получим всевозможные поверхности вращения, определяемые кривой (55). Отметим и обратное: всякая поверхность (49) является поверхностью вращения, если можно представить функцией двух функций и , которые зависят от в виде (57).

С плоскими кривыми связаны также и цилиндрические поверхности, описываемые уравнением, зависящим лишь от двух линейных комбинаций координат. В частности, уравнение (55) в пространстве представляет цилиндрическую поверхность, параллельную оси . Название цилиндра обычно связывают с названием плоской кривой (эллиптический цилиндр, параболический цилиндр и т.д.). В общем виде уравнение для цилиндра имеет вид

где - единичный вектор, определяющий направление поверхности.

Так как , то (58) фактически зависит от двух компонент вектора . Если точка принадлежит данному цилиндру, то и точка при любом также принадлежит этому цилиндру.

Поверхности 2-го порядка определяются алгебраическими уравнениями 2-го порядка относительно и . Мы запишем варианты уравнений невырожденных поверхностей в канонической форме.

Эллипсоид

Однополостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Отметим, что перечисленные фигуры будут поверхностями вращения, если какие-либо два коэффициента при слагаемых с одинаковыми знаками будут равны друг другу (в (59) или , или , в (60) , в (61) , в (62) ).

Из вырожденных поверхностей отметим эллиптический конус:

При получаем круговой конус, являющийся поверхность вращения. Остальные вырожденные поверхности являются или цилиндрами, или представляют набор плоскостей, прямых и точек.

В заключение приведем наиболее простые варианты параметрического задания поверхностей (59 - 63):

 

 

 

 

Содержание