Лауреаты конкурса «Свободный полёт - 2013»

    О фонде  Конкурс Свободный полёт  Конкурс творческих идей  Собрание конкурсных работ  Физика  Математика  Это интересно 

Геометрия на плоскости

 

Хотя геометрия на плоскости есть частный случай геометрии в 3-мерном пространстве, мы, следуя традиции, изложим ее в отдельном разделе. Ниже везде (если иное не оговорено) будем использовать правую прямоугольную декартову систему координат.

 

1. Отображение точек векторами.

 

Итак, каждую точку плоскости в данной системе отсчета можно (взаимно однозначно) отобразить двумя действительными числами , которые называются координатами этой точки. При этом координаты точки отсчета (начала координат) равны нулям: .

Радиус-вектором точки называется отрезок прямой, направленный от начала координат к точке . Этот вектор полностью определяется координатами точки и обозначается в виде , где теперь и называются компонентами вектора. Нулевым будем называть вектор (часто вместо будем писать просто ). Умножая вектор на действительное число , получаем радиус-вектор .

Радиус-векторы связывают точки плоскости с точкой начала отсчета. Аналогичным образом можно связывать две любые точки плоскости. Если мы для отрезка прямой, связывающего точки и , зададим направление, то мы имеем объект, который в геометрическом смысле ничем не отличается от радиус-вектора. Выбрав для отрезка направление от точки к точке , мы определяем вектор

(если точка совпадает с началом координат, то (1) есть радиус-вектор).

При таком определении вектора его компоненты не зависят от выбора точки начала отсчета, если не меняются направления координатных осей. Радиус-векторы привязаны к точке отсчета и поэтому их компоненты меняются при переносе начала координат (трансляциях). В остальном радиус-векторы по своим свойствам не отличаются от векторов общего вида.

Вектор в представлении (1) определяет не пару точек и , а только связь между ними: расстояние между ними и ориентацию отрезка, связывающего их, относительно координатных осей. Можно найти сколь угодно много пар точек и таких, что компоненты вектора будут совпадать с компонентами вектора . Такая совокупность векторов связана параллельными переносами, при которых эти векторы полностью совпадут, если свести их в одну исходную точку.

Таким образом, говоря ниже об абстрактном векторе (иногда будем писать ), будем иметь в виду любую пару точек, разность координат которых равна соответствующим компонентам этого вектора.

Для любых векторов и определяются следующие операции: сложение векторов и умножение вектора на число

и скалярного произведения двух векторов

(т.е. результат скалярного произведения есть число (скаляр)).

Смысл, вкладываемый в сложение векторов, более явно демонстрируется следующими соотношениями, справедливыми для любых точек , и

Введем функцию двух векторов и :

Отметим следующие свойства этой функции

Пусть в некоторой точке задано направление, определяемое вектором , и мы хотим определить ориентацию точки по отношению к точке , если смотреть в данном направлении. Будем говорить, что точка находится: слева от точки , если , и справа от , если . При этом вектор направлен соответственно левее или правее относительно вектора . Если же имеет место , то лежит в данном или противоположном направлении.

Отметим, что означает параллельность векторов и , т.е., если , то прямые и параллельны.

Длина (модуль) вектора есть величина

Т.е. есть расстояние между точками и .

Расстояние между концами векторов и , равное

есть длина отрезка . Так как отрезки , и представляют стороны треугольника, для которых соотношение вида (7) содержит косинус угла между сторонами, приходим к следующему геометрическому смыслу скалярного произведения:

здесь - угол между векторами и . В записи будем считать, что данный угол отсчитывается против хода часовой стрелки от вектора к вектору . При этом , если с левой стороны, и , если с правой стороны. Отметим также, что во всех случаях .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы и называются ортогональными (перпендикулярными), если . При этом часто пишут .

Нормированным (единичным) называют вектор с модулем равным . Если такие векторы ортогональны, то говорят об ортонормированных векторах.

Любые три вектора , и являются линейно зависимыми, т.е. найдутся три числа , и (не равные все нулю) такие, что

Отсюда следует, что любой вектор можно выразить линейной комбинацией двух непараллельных друг другу векторов. Наиболее простой вид такое представление имеет, если мы эти два вектора определяют координатные оси: и . Вектора и называются базисными векторами, и в нашем случае (прямоугольная система координат) определяют ортонормированный базис.

Любой вектор разлагается единственным образом по базисным векторам:

При повороте системы координат на угол мы имеем новые базисные векторы и , которые, как нетрудно убедиться, связаны со старыми следующими соотношениями:

Компоненты вектора при повороте базиса меняются (подчеркнем - меняются компоненты, а не сам вектор):

Отметим, что скалярное произведение и функция не изменяются при поворотах:

А вот при отражении одной из осей (например, ) функция в отличие от скалярного произведения меняет знак. Поэтому говорят, что эта функция не является скаляром. На плоскости ее называют псевдоскаляром, а в трехмерном пространстве это есть одна из компонент псевдовектора (псевдовеличины отличаются от истинных величин тем, что меняют знак при отражении одной из осей).

Таким образом, вся геометрия плоскости может быть выражена алгеброй векторов. Проиллюстрируем это на треугольнике и в определении ломаной линии.

Треугольник задается тремя точками , и , которые определяют три вектора , и , удовлетворяющие соотношению в (4). Если мы отвлекаемся от местоположения вершин треугольника, то имеем дело с абстрактным треугольником, задаваемым векторами , и такими, что . Длины сторон определяются модулями , и этих векторов, углы - соотношениями (8), а площадь есть половина модуля функции (5) от любых двух векторов из данной тройки.

Если считать, что и , то медиана, биссектриса и высота, исходящие из точки в сторону отрезка , определяются соответственно векторами , и :

Ломаная линия определялась заданием некоторой последовательности точек. С точностью до положения начальной точки мы можем определить такую линию последовательностью векторов . То, что в последовательности точек никакие три соседние не находятся на одной прямой, теперь означает, что никакие две соседние пары векторов в последовательности не являются параллельными: при всех .

Простая (не пересекающая сама себя) ломаная линия определяется следующим условием:

при всех

Для замкнутой ломаной линии условие (13) соблюдается с одним исключением, когда . Т.е. для такой линии

Представленные соотношения позволяют выразить практически всю геометрию плоскости в аналитической форме, не прибегая к громоздким рассуждениям, основанным на графических иллюстрациях. Далее на примере многоугольников и кривых на плоскости мы это продемонстрируем.

 

2. Многоугольники и их площади.

 

Многоугольником называется фигура, образованная замкнутой простой ломаной линией на плоскости. Конкретный -угольник определяется последовательностью точек, по которым можно провести указанную линию, имеющую изломы в каждой точке. Абстрактный -угольник задается последовательностью векторов, удовлетворяющих условиям (13, 14) (при этом соседние векторы последовательности не параллельны). Ниже будем обозначать -угольник символом . Точки изломов ломаной линии называются вершинами, а отрезки прямых этой линии - сторонами, длины которых равны модулям соответствующих векторов. Последовательность сторон (а также сумму их длин) называют периметром.

Итак, задается упорядоченным набором: или точек или векторов . Причем круговая перестановка элементов в наборах не меняет суть . Конкретный можно свести к абстрактному , считая, например, что

И наоборот, абстрактному можно определить место на плоскости, если задать радиус-вектор какой-либо вершины. Тогда радиус векторы остальных вершин получаются путем последовательного добавления векторов . Например, если мы задали первую вершину вектором , то остальные определяются векторами

Т.е. абстрактный представляет множество конкретных , которые могут быть совмещены параллельным переносом. Напомним, что по сути параллельный перенос некоторого множества точек означает прибавление к радиус-вектору каждой точки множества одного и того же вектора.

Каждый многоугольник делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Однако определить, к какой части относится та или иная точка, в общем случае не так просто, как у нас получилось с треугольником.

Ясно, что внутренняя область является ограниченной (в силу конечности периметра существует предел для расстояний между точками этой области) и связной (любые две ее точки можно связать ломаной линией, которая не пересекается с периметром). Эти свойства можно было бы оформить в виде строгого определения внутренней области. Однако мы пойдем более конструктивным путем, дающим четкий алгоритм определения того, что та или иная точка принадлежит внутренней области.

Прежде всего, определим понятие внутренних углов . Проходя по вершинам, будем суммировать по отдельности углы с левой и правой сторон. Пройдя все вершины получим две величины, которые, очевидно, в сумме равны . Нетрудно доказать, что их разность равна . Т.е. меньшая из этих величин равна , и для треугольника () является суммой внутренних углов. Приведенная процедура не зависит от числа вершин и, в частности, сохраняет свой смысл, когда одна из вершин стремится к некоторой точке на прямой, проходящей через смежные вершины. Поэтому в общем случае мы можем утверждать: для любого сумма его внутренних углов равна

Таким образом, определяется, какие углы являются внутренними, и мы можем пометить любой внутренний угол, например, дугой, соединяющей две смежные стороны при данной вершине. Радиус дуги можно сделать достаточно малым так, чтобы эта дуга не имела общих точек с периметром, кроме двух крайних. Тогда все отрезки прямых, связывающие данную вершину с внутренними точками дуги, нигде (кроме как в данной вершине) не пересекаются с периметром. Внутренние точки таких отрезков будем считать внутренними точками данного .

Таких точек мы можем найти сколь угодно много, однако нам достаточно определить одну внутреннюю точку, чтобы определить все множество внутренних точек , используя свойство связности этого множества: внутренняя область есть множество всех точек плоскости, которые можно соединить с данной внутренней точкой ломаной линией, не пересекающейся с периметром.

Выпуклый многоугольник определяется тем, что любую пару его внутренних точек можно связать отрезком прямой, не пересекающимся с периметром. Нетрудно доказать, что является выпуклыми тогда и только тогда, когда каждый из его внутренних углов меньше .

Приведем некоторые специальные виды выпуклых многоугольников.

Если внутри найдется точка , удаленная от всех вершин на одно и то же расстояние , то говорят, что вписан в окружность радиуса с центром в точке . Если же найдется внутренняя точка, равноудаленная от всех сторон периметра, то говорят, что в данный многоугольник можно вписать соответствующую окружность.

Многоугольник называется правильным, если у него одинаковы и все внутренние угли, и все стороны периметра. Многоугольник является правильным тогда и только тогда, когда он может быть вписан в окружность и в него может быть вписана другая окружность и при этом центры обеих окружностей совпадают.

Формулы для площадей произвольных можно найти, используя формулы для площади треугольника. Если задан конкретный треугольник с вершинами в точках , и , то его площадь выражается в любом из следующих видов

где - периметр треугольника, а - внутренний угол при вершине . Эту же площадь можно выразить функцией (5). Например, полагая, что вершины пронумерованы по ходу часовой стрелки и обозначая и , имеем

Формулой (16) выражается и площадь абстрактного треугольника, образованного двумя векторами, исходящими из одной точки, если считать, что вектор лежит левее вектора .

Пусть дан выпуклый , и начало координат находится в его внутренней области. Пронумеруем вершины по ходу часовой стрелки, начиная с любой. Пусть есть радиус-вектор -ой вершины. Тогда набор всех таких радиус-векторов разбивает всю внутреннюю область на набор из треугольников. Причем, вектор лежит левее вектора (), а вектор лежит левее . Таким образом, формулу для площади можно записать в виде суммы

Для абстрактных выпуклых , задаваемых упорядоченным набором векторов , (17) переходит в следующую формулу:

Формулы (17) и (18) связаны заменами

Мы записали формулы для площадей выпуклых многогранников, когда все слагаемые в правых частях (17) и (18) являются положительными. Можно доказать, что эти формулы справедливы для произвольных . При этом некоторые слагаемые могут оказаться отрицательными, но вся сумма будет обязательно положительной. Однако в общем случае нумерация по ходу часовой стрелки нуждается в уточнении: вершины пронумерованы так, что при обходе их по росту номеров внутренние углы оказываются справа.

Отметим еще одно обстоятельство: приведенные формулы корректны и для тех случаев, когда какая-либо тройка соседних точек лежит на одной прямой. Т.е. формула для описывает и площади ряда многоугольников с меньшим количеством вершин.

Площадь правильного рассчитывается любым из следующих соотношений:

Здесь - длина стороны ; и - соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей. Периметр данного равен

В пределе правильный сливается с окружностью. Учитывая, что при этом

из (19, 20) получаем площадь круга и длину окружности:

Площадь, как мера области, должна обладать свойством аддитивности. Для функционалов вида (18) нетрудно доказать, что, например,

где

Т.е. площадь , определяемого набором , равна сумме площадей и , соприкасающихся по вектору .

 

3. Кривые линии на плоскости.

 

На языке расстояний между точками мы определили такие простейшие линейные объекты, как прямая (а также фигуры из отрезков прямых) и окружность. Однако более сложные объекты определяются на этом языке не так четко и компактно. Язык координат более удобен для определения линейных объектов в общем виде.

Прежде чем говорить об общем случае, выразим через координаты определение прямой и окружности.

Прямая задается вектором , где и есть радиус-векторы точек и . Точка с радиус-вектором лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда удовлетворяется равенство

Окружность радиуса с центром в точке состоит из тех и только тех точек, радиус-векторы которых удовлетворяют уравнению

В приведенных определениях координаты искомых точек определяются одним уравнением. В общем случае будем определять кривую линию на плоскости, как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

где - некоторая непрерывная функция.

Уравнение (25) можно записать в параметрическом виде:

здесь и непрерывные функции такие, что при всех допустимых значениях параметра . Выбор этих функций неоднозначен. В одних случаях их выбирают так, чтобы параметром являлась длина кривой, отсчитываемая от какой-то точки. В других стремятся к максимально возможной простоте этих функций.

Одним из методов, упрощающих задание и интерпретацию кривой, является переход к криволинейным координатам.

Пусть каждая точка плоскости взаимно однозначным образом отображена парой чисел так, что близким точкам соответствуют близкие пары. Это выражается преобразованием

где функции и непрерывны и обратимы. Из (27) можно однозначно определить и для любых и , попутно определяя при этом область допустимых значений и .

Наиболее распространенными криволинейными координатами являются полярные координаты (модуль радиус-вектора точки) и (угол между осью и радиус-вектором точки):

Координатной сеткой в прямоугольной декартовой системе являлось множество прямых, параллельных оси , пересекаемых множеством прямых параллельных оси . В полярной системе такой сеткой является множество окружностей с центром в начале координат, пересекаемых множеством прямых, проходящих через начало координат (последние называют радиальными прямыми).

В прямоугольной декартовой системе базисные векторы определялись направлением прямых в каждом наборе, задающих координатную сетку. Так как каждый из двух наборов представлял множество параллельных прямых, базис не менялся от точки к точке. Поэтому, раскладывая какой-либо вектор по базисным векторам, мы могли не уточнять, к какой точке плоскости привязаны эти вектора.

В криволинейных координатах мы не можем говорить о базисе до тех пор, пока не определены понятия углов между кривыми и направления кривой в данной точке. Все это нетрудно сделать с помощью производных от функций, задающих кривые (см. "Дифференциальная геометрия"). Однако здесь, считая, что дифференциальное исчисление нам незнакомо, мы будем исходить из понятий расстояний, прямых, углов между прямыми и т.п.

Прежде всего, введем понятие плавности кривой. Кривая называется плавной в точке , если для двух точек и , лежащих на кривой по разные стороны от , угол между отрезками и стремится к при любом способе приближения точек , к :

Пусть кривые и пересекаются в точке и являются плавными в окрестности этой точки. Проведем окружность радиуса с центром в точке . При достаточно малых эта окружность пересекает кривую в двух точках и и в двух точках и (при этом внутри окружности нет других точек парного пересечения всех этих кривых кроме перечисленных). В результате окружность делится на четыре дуги длиной и . Углами между данными кривыми в соответствующих направлениях называются пределы

Обычно углом между кривыми считается меньший из приведенных. Если же определены направления хода кривых, то выбирается соответствующий этим направлениям угол. Если при этом нужно уточнять, от какой кривой отсчитывается угол, то определяется и знак угла (если против хода часовой стрелки, то положительный, если по ходу - отрицательный).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая называется касательной к кривой в некоторой точке их пересечения, если угол между и в этой точке равен нулю. Вектор, определяющий такую прямую, называют касательным к кривой в данной точке (или направлением кривой в данной точке).

В общем случае две кривые называются касательными в точке их пересечения, если угол между ними в этой точке равен нулю. Очевидно, для таких кривых касательной в данной точке является одна и та же прямая.

Теперь мы можем определить базисные вектора в полярной системе координат. Будем считать, что в координатной сетке радиальные прямые направлены от начала координат, а направление на окружностях идет против хода часовой стрелки. Тогда нормированные векторы

являются соответственно касательными к радиальным линиям и окружностям в данной точке. Причем эти векторы зависят только от одной координаты данной точки - полярного угла . Отметим ортогональность этих векторов: . Т.е. полярная система, являясь криволинейной, остается прямоугольной и характеризуется ортонормированным базисом, меняющимся от одной радиальной прямой к другой.

Радиус-вектор точки с полярными координатами в базисе (31) записывается в виде . Выражение для абстрактного вектора зависит от точки, в которую он приводится, и, записывая его компоненты, надо уточнять к какому базису они относятся.

Пусть дан вектор , исходящий из некоторой точки с полярными координатами . Разложение этого вектора в базисе данной точки имеет вид

Как видим, разложение вектора, связывающего две точки, ни одна из которых не является началом координат, в базисе одной из этих точек в полярной системе имеет более сложный вид, чем в декартовой. Т.е. в полярной системе (в отличие от декартовой) перенос начала координат приводит к преобразованиям компонент вектора. В то же время поворот осей (10, 11) в полярной системе выражается в более простой форме - к полярному углу добавляется угол поворота.

 

4. Кривые первого и второго порядков.

 

Если в уравнении кривой (25) функция является алгебраическим многочленом, то порядок этого многочлена (максимальная степень аргументов в слагаемых) называют порядком кривой.

Уравнение первого порядка

определяет прямую. Если , то прямая параллельна оси и проходит через точку . Если , то прямая параллельна оси и проходит через точку . Если , то имеем семейство прямых, проходящих через начало координат. В остальных случаях (33) определяет прямую, проходящую через точки

Отметим, что уравнение (33) можно разделить на любой из отличных от нуля коэффициентов. Т.е. в действительности уравнение прямой зависит от двух констант.

В параметрической форме уравнение прямой можно записать в виде

где - радиус-вектор точки прямой, - некоторый постоянный (обычно нормированный) вектор, - радиус-вектор точки, с которой начинается отсчет параметра . Часто бывает удобным такой отсчет, при котором . При данном (34) представляет семейство параллельных прямых.

При уравнение (33) можно записать в наиболее известном виде:

Здесь , где - угол между прямой и осью ; число определяет точку , в которой прямая пересекает ось . Будем обозначать прямую, определяемую уравнением (35),через .

Приведем ряд соотношений, касающихся геометрической связи точек и прямых (расстояния, углы, точки пересечения и т.д.).

  1. Расстояние от точки до прямой равно

  2. Точка , в которой пересекаются две прямые и при (прямые не параллельны) определяется координатами

  3. Угол между прямыми и , отсчитываемый от , определяется соотношением

    Данные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

  4. Три прямые , , пересекаются в одной точке в том и только в том случае, когда

Кривые второго порядка задаются уравнениями вида

В зависимости от значения определителя матрицы получаются качественно различные типы кривых.

Путем поворотов осей координат и переноса начала отсчета любое уравнение вида (40), имеющее решение в действительных числах, приводится в невырожденных случаях к одному из трех канонических видов, описывающих:

эллипс

гиперболу

параболу

Вырожденные случаи описывают прямые или отдельные точки:

Уравнения (41 - 43), сдвигая начало координат так, чтобы кривые проходили через это начало и были симметричными относительно оси , можно записать в общем виде

(далее для определенности будем считать ).

Величина называется эксцентриситетом. Если , то (45) представляет эллипс. При имеем дело с гиперболой, а при (45) описывает параболу.

Точка называется фокусом кривой.

Прямая, параллельная оси и проходящая через точку , называется директрисой.

Пусть некоторая точка на кривой, удовлетворяющая (45). Расстояние от этой точки до фокуса и директрисы соответственно равны

Нетрудно убедиться, что

для любой точки кривой при любых значениях . Отметим также, что расстояние между фокусом и директрисой равно .

В полярных координатах уравнения (41 - 43) имеют соответственно виды

 

 

Отметим, что для гиперболы (42) прямые, определяемые уравнениями

являются касательными к гиперболе на бесконечности. Они называются асимптотами. Т.е. ветви гиперболы при стремятся каждая к своей асимптоте (нигде не пересекая ее).

Содержание