О Математике

1. Математика и реальность.

Более двух тысячелетий математика является объектом многочисленных дискуссий. Что это - наука или нечто иное? Как, какими нитями она связана с реальностью? Божественный подарок или творение людей? Ответы были разные. Одни (прикладные математики) "привязывали" ее к земле, другие (чистые математики) "возносили" на небо. Служанка в засаленном переднике или судья в безукоризненно чистой мантии - вот крайности, каждая из которых имела свое обоснование.

Мы не будем останавливаться на этих спорах. Наверное, они имеют смысл и дают импульсы для развития. Во всем этом для нас бесспорен простой вывод: математика вещь полезная. Трудно спорить с тем, что использование математики резко повышает "производительность труда" исследователей.

Но не менее (а может быть и более) важно то, что математика, если дает, то дает определенные ответы. Если проблема сформулирована на языке математики, т.е. формализована, то можно искать определенное решение. И наоборот, если требуется определенное решение проблемы, то ее нужно формализовать. Могут возразить, что для многих проблем, в которых нет количественных понятий, определенные решения можно искать без привлечения математики, исходя просто из здравого смысла. Это так, если все логически безупречно. Но логика, по сути, есть формализованный здравый смысл (поэтому она представляет один из разделов математики). И, значит, можно утверждать, что определенность является монополией математики.

Замена словосочетания "формулировка на языке математики" на слово "формализация" не просто сокращение, а подчеркивание того, что в словосочетании главное заложено в понятие "формулировка". Не важно, что за язык, как он назван. Важно, что все выражено через понятия (слова, величины, отношения и пр.), имеющие однозначно определенный смысл. Формула - это совокупность символов (слов, знаков и т.д.), каждому из которых дано четкое определение.

Формализуя одну проблему, мы вольно или невольно охватываем ряд других проблем. Таким образом, математика при рассмотрении конкретных проблем повышает "производительность труда", дает определенные ответы и может одним махом охватить широкий круг проблем. Эффективность налицо. Однако за все нужно платить.

Чтобы формализовать проблему, необходимо "оторвать" ее от жизни. Придется кое-что упростить, чем-то пренебречь. Это неизбежные жертвы, так как мы в состоянии определить и использовать лишь конечное число понятий. Математика изучает не реальные явления и даже не их модели (это как раз прерогатива прочих наук), а модели моделей. Точнее говоря, модели, отображающие общее в существенных чертах совокупностей моделей. При этом в целях определенности (формализации), отображается лишь то, что на данный момент математика может описать.

И вот при всех этих ограничениях математика успешно справляется со своими функциями. Но обязано это в первую очередь не интеллекту, а самому факту его наличия. Т.е. тому, что при всем разнообразии и хаосу, царящим в природе, в ней есть некий порядок (в частности, и разум).

На чем же основана наша уверенность в том, что порядок есть, и мы его можем уловить? На одном простом фундаментальном факте: мир устойчив. В большом и малом. Во всяком случае, в ограниченных областях времен и расстояний. И вряд ли так уж и много способов быть устойчивым. Природа бесхитростна, и что попроще, то она и "использует". Поэтому неудивительно, что явления (их ход, связи между ними) можно объединять в конечное число формализуемых моделей. По крайней мере, с той степенью подробности, с какой мы их можем наблюдать.

И все-таки математика - это творение человека. Люди все время что-то открывают и изобретают. Различие простое: открывают, то, что есть в природе, а изобретают, то, чего нет. Открывают месторождения, планеты, законы природы и т.п. Изобретают машины, новые материалы, методы обработки и так далее, т.е., производят локальное упорядочивание вещей и явлений, которое не свойственно природе. Математика в большей мере есть изобретение, так как возможны различные варианты формализации. Но есть один раздел, для которого трудно найти альтернативу. Этот раздел отражает непосредственно некоторые особые свойства реальности. Можно сказать, что это пуповина, связывающая математику с природой. И можно считать, что этот раздел есть открытие. Причем, величайшее и может быть даже первое. Речь идет об арифметике целых чисел.

Сначала человек научился считать! Он видел свои пальцы, видел вокруг себя отдельные объекты и определил, что число объектов можно соотнести с числом "загнутых" пальцев. И при обмене такой информацией людям не нужны были слова. Возможно даже, что сначала было не слово, а число, которое можно было демонстрировать, например, пальцами.

Простой счет есть череда добавлений единицы. И пока не определено сложение чисел, это являлось (в современном понимании) нумерацией чисел ( следует за , следует за и т.д.). Арифметика началась, когда человек определил сложение двух чисел и понял, что всегда и для любых объектов, например, . Т.е. человек открыл, что добавление к заданному числу объектов другого заданного числа объектов дает всегда одно и то же число всех объектов, и это число не зависит от того, с какой группы объектов начинается общий счет.

Подчеркнем, что поначалу имелись в виду объекты, которые можно непосредственно увидеть или ощутить как отдельные предметы (поэтому арифметику мог проверить каждый). Сейчас в математике под объектами понимается все, что существует или представляется людям как нечто отдельное, вне зависимости от внутреннего содержания, размеров и пр. (камень, буква, символ, высказывание, партия, страна, электрон, дракон, ковер-самолет, галактика, идея и т.д. и т.п.). Можно утверждать, что дома плюс партии есть ( объектов. Но сказать то же самое о сумме секунд и граммов мы не можем. Главным образом потому, что речь идет о непрерывных величинах, являющихся параметрами физических явлений. И если мы хотим вложить хоть какой-нибудь смысл в указанную сумму, то должны говорить, что эта сумма есть сочетание " сек. и г.". Но тогда сек. + г.) не эквивалентно сек. + г.).

Таким образом, целые числа и их соотношение друг с другом (связь по сложению) есть модель, в которой реальность предстает в виде множества отдельных объектов. Образно говоря, эскиз (первый набросок) всего, что окружает человека. Причем до тех пор, пока речь идет о сложении, целые числа представляют количество наглядных объектов (т.е. не являются абстракциями). А вот умножение - это уже изобретение человека, которое облегчает расчет сумм с одинаковыми слагаемыми. При этом само число превращается в объект и становится абстракцией. Действительно, операцию вида можно понять или как два объекта, каждый из которых состоит из трех объектов (т.е. объекта), или, наоборот, объекта. Возведение в степень (сокращенная запись произведения) делает целые числа еще более абстрактными.

Вышеизложенным (возможно многословным) хотелось как можно ярче высветить момент, до которого арифметика остается в тесной связи с реальностью и после которого она начинает "отрываться" и превращаться в математическую концепцию. Разумеется, математика имеет и другие точки соприкосновения с реальностью. Дифференциальное и интегральное исчисление есть отражение того факта, что в мире почти все происходит без скачков - малое изменение одного мало меняет (если меняет) другое. В основе геометрии лежит понятие прямой линии, которое тесно связано с траекториями световых лучей. Можно привести и другие примеры, иллюстрирующие связь математических моделей с реальными явлениями. Однако подчеркнем, что арифметика целых чисел в наибольшей мере вплетена в реальный мир. Поэтому здесь и в последующем ей уделено больше внимания, чтобы, не "ущемляя" ее наглядность, представить ее в виде строгой математической концепции.

2. Развитие математики - от наглядности к абстракциям.

Математика в своей внутренней иерархии - это череда дополнений объектов и операций. Имелся класс объектов, смысл которых на данном этапе был ясен. Были определены операции с объектами. При этом одни операции являлись всеобщими (безусловными, замкнутыми), а другие имели смысл, если объекты операций удовлетворяли дополнительным условиям. Далее исходный класс дополнялся объектами (поначалу кажущимися абстрактными) так, что в расширенном классе некоторые из условных операций становились безусловными. При этом попутно появлялась возможность определения новых видов операций. По мере использования дополненной модели, если она демонстрировала свою эффективность, новые объекты становились более наглядными.

Допустим, есть класс "наглядных" объектов , в котором определена некоторая парная операция ( - знак операции), являющаяся замкнутой. Т.е. для любых элементов и (в т.ч. и одинаковых) из этого класса результат также принадлежит данному классу (далее, не ограничивая общность, будем считать операцию коммутативной, т.е. ).

Вроде все нормально, модель работает, результаты однозначны. Но допустим, нужно решить следующую задачу: для данных и из , требуется найти элемент такой, что (т.е. совершить обратную операцию). И тут выясняется, что не для всякой пары и можно найти в такой элемент. Это значит, что обратная операция является условной. Приходится во всех расчетах, где есть такая обратная операция, иметь это в виду. Грубо говоря, "таскать" с собой "инструкцию по применению". Когда все это становится слишком обременительным, математики выходят на новый уровень абстракции: дополняют класс объектов так, чтобы в расширенном классе обратная операция стала безусловной (замкнутой).

Процедура расширения следующая. Вводится (если его не было) единичный элемент такой, что для всех из . Для каждого элемента определяется обратный элемент такой, что . Исходная операция считается определенной в объединенном классе элементов. В результате расширенный класс представляет так называемую группу элементов по данной операции. При этом обратная операция замыкается: из следует для всех и из расширенного класса.

В арифметике такой процедурой были определены дробные числа, замыкающие операцию деления. Вводя отрицательные числа, была замкнута операция вычитания. В результате класс целых чисел расширился до множества рациональных чисел. Расширяя сферу применимости других арифметических операций (извлечение корней, логарифмирование и прочее) были определены иррациональные числа. Вводя в ранг чисел пределы числовых последовательностей, был определен класс всех действительных чисел. И в каждом шаге показывалось, что новые числа можно аппроксимировать с любой точностью рациональными числами.

В классе действительных чисел операция извлечения квадратного корня из отрицательного числа не имела смысла. Введение комплексных чисел сняло это ограничение. Дальнейшее увеличение разнообразия операций привело к таким объектам, как векторы, тензоры, матрицы и пр.

Введение понятий бесконечно малых и бесконечно больших чисел привело к "легализации" операции деления на ноль. В результате дифференцирование и интегрирование функций, стали естественным продолжением арифметических операций с числами.

Очевидно, что такое расширение класса математических объектов не имеет границ. Весь вопрос в том, насколько целесообразно очередное расширение класса объектов. Ведь поначалу новые элементы кажутся не "наблюдаемыми". Можно смело утверждать, что на заре математики многие (а некоторые и сейчас) не понимали смысла дробных чисел. В дальнейшем они практически сравнялись по наглядности с целыми числами.

Лишь математики (и то не все) помнят об их условном характере: - это части из , если частей составляют целое (единицу). Поэтому не стоит с ходу отвергать новые абстракции. Время покажет, насколько новые инструменты, представляемые математикой, станут эффективными орудиями труда исследователей.

Математику часто разделяют на чистую и прикладную. Очень ярко суть этого разделения демонстрирует известное выражение: чистые математики делают то, что можно, как нужно, а прикладные - то, что нужно, как можно. Образно говоря, те, кто на "небесах" (чистые математики), создают стандарты и инструменты, соответствующие этим стандартам, а те, кто на "земле", проверяют эти инструменты на практике, оттачивая их сообразно необходимости или выбрасывая в случае непригодности.

Фантазия неудержима и стремление математиков создавать все новые и новые инструменты вполне объяснимо. Но если не обуздать это стремление, то математика может замкнуться в себе. Или превратиться в некий вид искусства, создавая ослепительно красивые инструменты, или будет уходить все выше и выше (инструменты для инструментов, потом следующий уровень и т.д.).

Конечно, чем выше, тем свободней полет мысли. Оторвался от "земли" и "летишь" в безграничных просторах. Не хочется возвращаться. А потом вдруг выясняется, что непонятно, как вернутся. Восстановить связи, свести концы с концами, - это значительно труднее, чем оборвать все.

Опасность такого развития математики возникает каждый раз, когда появляются иллюзия о ее всемогуществе. Конечно, оснований для восторга достаточно и математика может многое. Но, как и всякое творение человека, она ограничена и никогда не сможет формализовать все разнообразие явлений природы. И надо сказать, что математика сама на своем языке признала это. В 30-ых годах 20-го века выяснилось, что в любой аксиоматической теории, включающей арифметику, найдется утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (теорема Геделя). Проще говоря, математика всегда будет неполна и в своем развитии, чтобы быть непротиворечивой, вынуждена будет или ограничивать сферу приложения, или вводить новые аксиомы и объекты. А вот насколько обоснованы нововведения зависит от их практической востребованности.

Содержание